Por otra parte, el Z ( G ) es un subgrupo abeliano G, un subgrupo normal G, e incluso terminantemente un subgrupo característico G, pero no siempre completamente de característica.

El centro del G es todo el de G del si y solamente si el G de es un grupo abeliano. En el otro extremo, un grupo reputa el que centerless si el Z ( G ) es trivial, es decir consiste solamente en el elemento de identidad.

Considerar el f del mapa: &rarr de G del ; Aut ( G ) del G al grupo del automorfismo G definido por el f ( g ) = φ g del _{, donde φ el g} del _{es el automorfismo del G definido por φ g} ( h ) del _{= ^{&minus del ghg del ; 1}. Esto es un homomorfismo del grupo, y su núcleo es exacto el centro del G, y su imagen se llama el grupo interno del automorfismo G, mesón denotado ( G ). Por el primer teorema del isomorfismo conseguimos el
$G/Z\; del$
(G) \ cong \ rm {mesón} (G).}

Ejemplos

el centro del _n del $\backslash \; del\; mbox\; del\; grupo\; \{GL\}\; (F)$ del n - por las matrices inversibles n sobre el campo $F$ es la colección de $de\; las\; matrices\; escalares\; \backslash \; \{sI\_n\; |\; s\; \backslash \; en\; F\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \}$.
El centro del $O\; ortogonal\; del\; grupo\; (n,\; F)$ es $\backslash \; \{I\_n,\; -\; I\_n\; \backslash \}$.
El centro del = \ {del $Q\; del\; grupo\; de\; Quaternion\; 1,\; -1,\; i,\; -\; i,\; j,\; -\; j,\; k,\; -\; k\; \backslash \}$ es $\backslash \; \{1,\; -1\; \backslash \}$.
El centro del grupo multiplicativo de diferente a cero Quaternions es el grupo multiplicativo de números verdaderos diferentes a cero.
Usar la ecuación de la clase uno puede probar que el centro de cualquier P-grupo finito no trivial es no trivial.