Un cicloide es la curva definida por la trayectoria de un punto en el borde de la rueda circular pues la rueda rueda a lo largo de una línea recta. Es un ejemplo de una ruleta, una curva generada por un balanceo de la curva en otra curva.

La cicloide es la solución al problema (es decir del brachistochrone es la curva de la pendiente más rápida bajo gravedad) y al problema relacionado (es decir el período del tautochrone de un balanceo de la bola adentro no depende hacia adelante y hacia atrás de la posición de salida de la bola).

Historia

La cicloide primero fue estudiada por el Nicholas de Cusa y más adelante por el Mersenne . Fue nombrada por el Galileo en el 1599 . 1634 de Roberval demostró que el área bajo cicloide es tres veces el área de su círculo de generación. En el Wren de Christopher 1658 demostró que la longitud de una cicloide es cuatro veces el diámetro de su círculo de generación. La cicloide se ha llamado " La Helen de Geometers" como causó peleas frecuentes entre los matemáticos del siglo XVII

Ecuaciones

La cicloide con el origen, creado por un círculo del r del radio, consiste en los puntos ( x, y ) con $x\; del$

l = r (- de t \ pecado t) \,

l $y\; =\; r\; (1\; -\; \backslash \; lechuga\; romana\; t)\; \backslash ,$

donde está un parámetro el t verdadero ; el rt es el x - coordenada del centro del círculo de balanceo.

Esta curva es el diferenciable por todas partes excepto en los cambios de signo en donde golpea el x - el eje, con el derivado tendiendo hacia el $\backslash \; infty$ o el $-\; \backslash \; infty$ como uno se acerca a un cambio de signo. Satisface la ecuación diferencial $del$

l \ (\ frac {dy} {dx} \ derecho) ^2 = dejado \ frac {2r-y} {y}.

Área

Un arco de una cicloide genereated por un círculo del r del radio se puede parametrized cerca $x\; del$

l = r (t - \, \, del pecado t)

l $y\; =\; r\; (1\; -\; \backslash ,\; \backslash ,\; de\; lechuga\; romana\; t)$

con

$0\; \backslash \; le\; t\; \backslash \; le\; 2\; \backslash \; pi\; del\; .\; \backslash ,$

Desde entonces $del$

l \ frac {dx} {despegue} = r (1 - \ lechuga romana t),

encontramos el área debajo del arco para ser $A=\; del$

l \ ^ del int_ {t=0} {t=2 \ pi} y \, dx = \ ^ del int_ {t=0} {t=2 \ pi} r^2 (1 \ lechuga romana t)^2 \, despegue

\ ido. r^2 \ ido (\ frac {3} {t-2 de 2} \ pecado t + \ frac {1} {2} \ lechuga romana t \ pecado t \ derecho) \ derecho|^ del _ {t0} {t2 \ pi}

3 \ pi r^2.

Péndulo Cycloidal

Si su longitud es igual a la de la mitad de la cicloide, la sacudida de un péndulo suspendió del cambio de signo de una cicloide invertida, tal que el " string" se obliga entre los arcos adyacentes de la cicloide, también remonta una trayectoria cicloide. Un péndulo tan cycloidal es el isócrono, sin importar amplitud.

Curvas relacionadas

Varias curvas se relacionan con la cicloide. Cuando relajamos el requisito que el punto fijo sea en el borde del círculo, conseguimos el la cicloide acortada y a la cicloide prolata . En el caso anterior, el punto que traza la curva está dentro del círculo, y, en el 3ultimo caso, está afuera. Un trocoide refiere a la cicloide ua de los, a la cicloide cicloide y prolata acortada. Si permitimos más lejos la línea en la cual el círculo rueda para ser un círculo arbitrario entonces nosotros conseguir el del epicicloideo (balanceo del círculo en fuera de otro círculo, punto en el borde del círculo de balanceo), el hipocicloide (círculo del en el interior, a punto en el borde), el Epitrochoid (el círculo en el exterior, señala dondequiera en círculo), y el Hypotrochoid (el círculo en el interior, señala dondequiera en círculo).

Todas estas curvas son las ruletas con un círculo rodado a lo largo de una curvatura uniforme . La cicloide, los epicycloids, y los hypocycloids tienen la característica que cada uno es el similar a su Evolute . Si el q es el producto de esa curvatura con el radio del círculo, del positivo firmado para el epi- y de la negativa para el hypo-, entonces la curva: el cociente de la similitud del evolute es 1+2 el q .

El juguete clásico del Spirograph traza las curvas de Epitrochoid del hypotrochoid y.

Ver también

Spirograph
epicicloideo

.

Zenithic

Steuart Blakemore Building

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