La cinemática ( griego κινειν, kinein del del, moverse) es una rama de los mecánicos que describe el movimiento de objetos sin la consideración de las masas o de las fuerzas que causan el movimiento. En cambio, la dinámica se refiere a las fuerzas y a las interacciones que producen o afectan al movimiento.

La cinemática estudia cómo la posición de un objeto cambia con tiempo. La posición se mide con respecto a un sistema de coordenadas que la velocidad del es el índice de cambio de la posición. La aceleración es el índice de cambio de la velocidad. La velocidad y la aceleración son las dos cantidades principales que describen cómo la posición cambia.

El uso más simple de la cinemática es señalar el movimiento de la partícula (cinemática de translación o cinemática linear). La descripción de la rotación (cinemática rotatoria o cinemática angular) es más complicada. El estado de un cuerpo rígido genérico puede ser descrito combinando la cinemática de translación y rotatoria (cinemática del Rígido-cuerpo). Un caso más complicado es la cinemática de un sistema del de cuerpos rígidos, ligado posiblemente junto por los empalmes mecánicos . La descripción cinemática del flujo flúido es aún más complicada, y pensó no generalmente en en el contexto de la cinemática.

Movimiento de translación

La cinemática de translación (o linear) es la descripción del movimiento en espacio de un punto a lo largo de una trayectoria (que pueda ser rectilínea o curvada) e implica la definición y el uso de las tres cantidades siguientes:

Posición (linear) : Velocidad (linear) : Aceleración (linear) : (ser escrito)

Velocidad relativa

considera también:

relativo de la velocidad

Para describir el movimiento del objeto A con respecto al objeto O, cuando sabemos cada uno se está moviendo con respecto al objeto B, utilizamos la ecuación siguiente que implica vectores y la adición de vector:

¡

r_ {A/O} = r_ {B/O} + r_ {} \, \! de A/B

La ecuación antedicha del movimiento relativo indica que el movimiento de A O en relación con es igual al movimiento de B O en relación con más el movimiento de A B.

Por ejemplo, dejar a Ana moverse con el V_ de la velocidad {A} y dejar a Bob moverse con el V_ de la velocidad {B} , cada velocidad dada con respecto a la tierra. Para encontrar cómo rápidamente Ana está moviendo a Bob en relación con (llamamos este V_ de la velocidad {A/B} ), la ecuación antedicha da:

¡

V_ {A} = V_ {B} + V_ {} \, \! de A/B .

Para encontrar el V_ {A/B} cambiamos simplemente esta ecuación para obtener:

¡

V_ {A/B} = V_ {A} - V_ {} \, \! de B .

En las velocidades comparables a la velocidad de la luz, estas ecuaciones de movimientos relativos se encuentran con la teoría de Einstein de la relatividad especial algo que la ecuación antedicha del movimiento relativo.

Ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado

Un objeto que se mueve con la aceleración constante reputa que experimenta el movimiento haber acelerado uniformemente del ( UAM ). Su movimiento se puede describir con cuatro ecuaciones algebraicas simples:

\, x_f - x_i = + \ tfrac {1} {2} x_f de at^2 del v_i t \ del qquad - x_i = \ (v_f + v_i) del tfrac {1} {2} t
\, v_f = v_i + un t \ qquad v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)

donde están las velocidades el vi y el vf iniciales y finales, el xi y el xf son las posiciones iniciales y finales respecto a un eje de referencia, el un es la aceleración constante, y el t es la duración entre las posiciones iniciales y finales.

Ejemplo: Movimiento rectilíneo (1D)

Considerar un objeto que se encienda directo hacia arriba y recurra a la tierra para contener su trayectoria en una línea recta. Si adoptamos a convención que la dirección ascendente es la dirección positiva, el objeto experimenta una aceleración constante de aproximadamente -9. Por lo tanto, su movimiento se puede modelar con las ecuaciones que gobiernan el movimiento uniformemente acelerado.

Hay varias preguntas cinemáticas interesantes que podemos hacer acerca del movimiento de las partículas: ¿Cuanto tiempo será aerotransportado? ¿Qué altitud alcanzará antes de que comience a bajar? ¿Cuáles su velocidad final será cuando alcanza la tierra? Por ejemplo, asumir que el objeto tiene una velocidad inicial de +50 m/s.

¿ cuanto tiempo será aerotransportado?

Para contestar a esta pregunta, aplicamos el x_f del de la fórmula - + \ frac {1} del x_i = del v_i t {2} at^2. Puesto que la pregunta pide la longitud del tiempo entre el objeto que sale de la tierra y que golpea la tierra en su caída, la dislocación es cero. + \ frac {1} de 0 = del v_i t {2} at^2 = t (+ \ frac {1} {2} en) del v_i Encontramos dos soluciones para él. La solución trivial dice que el tiempo es cero; esto es realmente también verdad, él es el primer momento que la dislocación es cero: en el momento en que comienza el movimiento. Sin embargo, solución de interés es

t = - \ frac {2v_i} {a} = - \ frac {2*50} {- 9.2 \ s

¿ qué altitud él alcanzará antes de que comience a bajar?

En este caso, utilizamos el hecho de que el objeto tiene una velocidad de cero en el ápice de su trayectoria. Por lo tanto, la ecuación aplicable es: v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i) Si el origen de nuestro sistema coordinado está en la tierra, después x_i es cero. Después solucionamos para x_f y substituimos valores conocidos: = \ frac {v_f^2 - v_i^2} {2 a} del x_f del + = \ frac {0-50^2} {2*-9.55 \ m del x_i

¿ cuál su velocidad final será cuando alcanza la tierra?

Para contestar a esta pregunta, utilizamos el hecho de que el objeto tiene una velocidad inicial de cero en el ápice antes de que comience su pendiente. Podemos utilizar la misma ecuación que utilizamos para la pregunta pasada, usar el valor de 127.55 m para x_i. = \ raíz cuadrada del v_f del {v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)} = \ raíz cuadrada {0^2 + 2 (- 9.55)} = 50 \ m/s Si se asume que este experimento fueron realizados en un vacío (que niega efectos de la fricción), nosotros encuentran que las velocidades finales e iniciales son iguales, un resultado que conviene con la conservación de la energía .o) movimiento del proyectil (

Suponer que un objeto no está encendido verticalmente pero es en ángulo el encendido \ theta de la tierra. El objeto entonces seguirá una trayectoria parabólica, y su movimiento horizontal se puede modelar independiente de su movimiento vertical. Asumir que el objeto está encendido en una velocidad inicial de 50 m/s y 30 grados del horizontal.

¿ hasta dónde viajará antes de golpear la tierra?

El objeto experimenta una aceleración de -9.81 ms-2 en la dirección vertical y ninguna aceleración en la dirección horizontal. Por lo tanto, la dislocación horizontal es del \ el delta x = x_f - x_i = v_i \ lechuga romana \ theta \ t + \ frac {1} {2} at^2 = v_i \ lechugas romanas \ thetas \ t Para solucionar esta ecuación, debemos encontrar el T. Esto puede ser hecha analizando el movimiento en la dirección vertical. Si imponemos que la dislocación vertical es cero, podemos utilizar el mismo procedimiento que hicimos para el movimiento rectilíneo para encontrar el del T. 0 = v_i \ pecado \ la theta \ t + \ frac {1} {2} at^2 = t (+ \ frac {1} del v_i \ del pecado \ de la theta {2} en) Ahora solucionamos para t y substituimos esta expresión en la expresión original para la dislocación horizontal. (Observar el uso de la identidad trigonométrica 2 \ pecado \ theta \ lechuga romana \ = \ pecado 2 \ theta de la theta) el del \ el delta x = v_i \ lechuga romana \ theta \ se fueron (\ frac {- 2 v_i \ pecados \ thetas} {a} \ derecho) = - \ frac {v_i^2 \ pecado 2 \ theta} {a} = 220.93 \ m

Movimiento rotatorio

La cinemática rotatoria es la descripción de la rotación de un objeto e implica la definición y el uso de las tres cantidades siguientes:

Posición angular : Si un vector se define como la distancia orientada del eje de la rotación a un punto en un objeto, la posición angular de ese punto es el orientado \ theta del ángulo de un eje de referencia (e. los x-semiaxis positivos) a ese vector. Un ángulo orientado es un ángulo barrido sobre un eje de rotación sabido y en un sentido sabido de la rotación. En la cinemática de dos dimensiones (la descripción del movimiento planar), el eje de rotación es normal al marco de referencia y se puede representar por un punto de la rotación (o el centro), y el sentido de la rotación es representado por la muestra del ángulo (típicamente, un signo positivo significa sentido a la izquierda). La dislocación angular del se puede mirar como posición relativa. Es representada por el ángulo orientado barrido por el punto antedicho (o el vector), de una posición angular de otra.

Velocidad angular : La magnitud del \ omega de la velocidad angular es la tarifa en la cual el \ la theta de la posición angular cambia con respecto al tiempo t:

= \ frac {\ mathrm {} \ theta de d} {\ mathrm {d} t}

del
\ del mathbf {\ Omega}

Aceleración angular : La magnitud del angular \ alpha de la aceleración es la tarifa en la cual el \ omega de la velocidad angular cambia con respecto al tiempo t:

= \ frac {\ mathrm {} \ mathbf de d {\ Omega}} {\ mathrm {d} t}

del
\ del mathbf {\ alfa}

Las ecuaciones de la cinemática de translación se pueden ampliar fácilmente a la cinemática rotatoria planar con intercambios variables simples:

¡

\, \! \ theta_f - \ theta_i = \ omega_i t + \ frac {1} {2} \ alfa t^2 \ qquad \ theta_f - \ = \ frac {1} del theta_i {2} (\ + \ omega_i del omega_f) t
¡
\, \! \ omega_f = \ omega_i + \ alfa t \ qquad \ alfa = \ frac {\ omega_f - \} \ qquad \ omega_f^2 del omega_i} {t = \ omega_i^2 + 2 \ alfa (\ - \ theta_i del theta_f)
.

¡Aquí \, \! ¡\ theta_i y \, \! ¡\ theta_f son, respectivamente, iniciales y finales las posiciones angulares, \, \! ¡\ omega_i y \, \! ¡\ omega_f son, respectivamente, iniciales y finales las velocidades angulares, y el \, \! \ alpha es la aceleración angular constante. Aunque la posición en espacio y la velocidad en espacio sean ambos vectores verdaderos (en términos de sus características bajo rotación), al igual que la velocidad angular, el ángulo sí mismo no es un vector verdadero.

Sistemas coordinados

En cualquier situación dada, los coordenadas más útiles se pueden determinar por los apremios en el movimiento, o por la naturaleza geométrica de la fuerza que causa o que afecta al movimiento. Así, describir el movimiento de un grano que se mueva a lo largo de un aro circular, se obliga al coordenada más útil puede ser su ángulo en el aro. Semejantemente, describir el movimiento de una partícula actuaba sobre por una fuerza central, los coordenadas más útiles puede ser los coordenadas polares

Coordenadas rectangulares fijos

En este sistema coordinado, los vectores se expresan como adición de vectores en la dirección de x, de y, y de z de un origen no-giratorio. El i es generalmente un vector de unidad en la dirección de x, el j es un vector de unidad en la dirección de y, y el k es un vector de unidad en la dirección de z.

El vector de posición, el s (o el r ), el vector de la velocidad, el v, y el vector de la aceleración, un se expresan usar coordenadas rectangulares así:

¡ \ vec s = x \ vec i + y \ vec j + z \ vec k \, \!

¡ \ vec v = \ punto {s} = \ punto {x} \ vec {i} + \ punto {y} \ vec {j} + \ punto {z} \ vec {} \, \! de k

¡ \ vec a = \ ddot {s} = \ ddot {x} \ vec {i} + \ ddot {y} \ vec {j} + \ ddot {z} \ vec {} \, \! de k

Nota: = \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} , = \ frac {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} del \ del punto {x} del \ del ddot {x}

Marco de referencia giratorio de dos dimensiones

Este sistema coordinado expresa solamente el movimiento planar.

Este sistema de coordenadas se basa en tres vectores de unidad ortogonales : el i del vector, y el j del vector que forman una base para el plano en el cual los objetos que estamos considerando residen, y k sobre el cual la rotación ocurre. Desemejante de los coordenadas rectangulares, que se miden concerniente a un origen que sea fijo y no giratorio, el origen de éstos coordina puede girar y traducir - a menudo siguiente una partícula en un cuerpo se esté estudiando que.

Derivados de los vectores de unidad

La posición, la velocidad, y los vectores de la aceleración de un punto dado se pueden expresar usar estos sistemas coordinados, pero tenemos que tener un poco más cuidados que hacemos con los marcos de la referencia fijos. Puesto que el marco de la referencia está girando, debemos tomar en cuenta los derivados de los vectores de unidad al tomar el derivado de ninguno de estos vectores. Si el marco coordinado está girando a un índice del \ omega en la dirección a la izquierda (que es el k del \ omega usar la regla derecha ) entonces los derivados de los vectores de unidad están como sigue:

= \ Omega \ vec k \ épocas \ = \ Omega \ vec j del \ del punto {\ vec i} del vec i

= \ Omega \ vec k \ épocas \ vec del \ del punto {\ vec j} j = - \ Omega \ vec i

Posición, velocidad, y aceleración

Dado estas identidades, podemos ahora imaginar cómo representar la posición, la velocidad, y los vectores de la aceleración de una partícula usar este marco de referencia .

Posición
Colocar es directo:

\ vec s = x \ vec j

Es apenas la distancia del origen en la dirección de cada uno de los vectores de unidad.

Velocidad
La velocidad es el derivado del tiempo de la posición:

\ vec v = \ = \ frac del frac {\ mathrm {} \ vec s de d} {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} (x \ vec i)}{\ mathrm {d} t} + \ frac {\ {\ mathrm {d} t} del mathrm {d} (y \ vec j)}

Por la regla del producto, esto está:

= \ punto x \ vec i del \ del vec v + x \ + \ punto y \ vec del punto {\ vec i} j + y \ punto {\ vec j}

Cuáles de las identidades arriba sabemos para ser:

= \ punto x \ vec i del \ del vec v + x \ + \ punto y \ vec j de Omega \ del vec j - y \ Omega \ vec i = (\ punto x - y \ Omega) \ vec i + (\ punto y + x \) \ vec j de Omega

o equivalente

\ vec v = (\ + del punto x \ vec i \ punto y \ vec j) + (y \ punto {\ vec j} + x \ punto {\ vec i}) = \ + \ vec \ Omega \ épocas \ vec r del v_ del vec {rel}

donde está la velocidad el v_ del \ del vec {rel} de la partícula concerniente al sistema coordinado.

Aceleración
La aceleración es el derivado del tiempo de la velocidad.

Sabemos eso:

= \ frac {\ mathrm {} \ vec v de d} {\ mathrm {d} t}

del \ del vec a \ + \ frac {\ {\ mathrm {d} t} del frac {\ v_ del mathrm {d} \ del vec {rel}} {\ mathrm {d} t} del mathrm {d} (\ vec \ Omega \ épocas \ vec r)}

Considerar el \ el frac {\ v_ del mathrm {d} \ del vec {rel}} {\ mathrm {d} t} el de la partición de \ el v_ del vec {rel} tiene dos porciones que queremos encontrar el derivado de: el cambio relativo en la velocidad (a_ del \ del vec {rel} ), y el cambio en el marco coordinado ( \ Omega \ épocas \ v_ del vec {rel} ).

\ frac {\ v_ del mathrm {d} \ del vec {rel}} {\ mathrm {d} t} = \ + \ Omega \ épocas \ v_ del vec {rel} del a_ del vec {rel}

Después, considerar el \ el frac {\ {\ mathrm {d} t} del mathrm {d} (\ vec \ Omega \ épocas \ vec r)} . Usar la regla de cadena:

= \ punto {\ vec \ Omega} \ épocas \ R+ del vec \ vec \ Omega \ épocas \ punto {\ vec r} del \ del frac {\ {\ mathrm {d} t} del mathrm {d} (\ vec \ Omega \ épocas \ vec r)}

\ punto {\ vec r} que sabemos de antedicho:

\ frac {\ {\ mathrm {d} t} del mathrm {d} (\ vec \ Omega \ épocas \ vec r)} = \ punto {\ vec \ Omega} \ épocas \ R+ del vec \ vec \ Omega \ épocas (\ vec \ Omega \ épocas \ vec r) + \ vec \ Omega \ épocas \ v_ del vec {rel}

Tan todos junto:

\ vec a = \ + \ Omega \ épocas \ v_ del vec {rel} del a_ del vec {rel} + \ punto {\ vec \ Omega} \ épocas \ R+ del vec \ vec \ Omega \ épocas (\ vec \ Omega \ épocas \ vec r) + \ vec \ Omega \ épocas \ v_ del vec {rel}

Y recogiendo términos:

\ vec a = \ a_ del vec {rel} + 2 (\ Omega \ épocas \ v_ del vec {rel}) + \ punto {\ vec \ Omega} \ épocas \ R+ del vec \ vec \ Omega \ épocas (\ vec \ Omega \ épocas \ vec r)

Marco coordinado giratorio tridimensional

(ser escrito)

Apremios cinemáticos

Un constreñimiento cinemático es cualquier condición que relaciona características de un sistema dinámico que deba ser verdad siempre. Debajo están algunos ejemplos comunes:

Rueda sin deslizarse

Un objeto que rueda contra una superficie sin deslizarse obedece la condición que la velocidad de su centro de masa es igual al producto cruzado de su velocidad angular con un vector del punto del contacto al centro de masa:

¡

v_G (t) = \ Omega \ época r_ {} \, \! de G/O

Para el caso de un objeto que no incline o no dé vuelta, esto reduce a v = &omega de R; .

Cuerda inextensible

Éste es el caso donde los cuerpos son conectados por un poco de cuerda que permanezca en la tensión y no pueda cambiar longitud. El constreñimiento es que la suma de todos los componentes de la cuerda, no obstante se definen, es la longitud total, y el derivado del tiempo de esta suma es cero.

Ver también


cinemática delantera
Cinemática inversa
Movimiento

.

  • Zenithic
  • Survivors' Talmud
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