La circunferencia es la distancia alrededor de una curva cerrada . La circunferencia es una clase del perímetro .

Círculo

La circunferencia de un círculo se puede calcular de su diámetro usar la fórmula: $c=\; \backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; \{d\}\; del$

l . ¡\, \!

O, substituyendo el radio para el diámetro: ¡

$c=2\; del\; \backslash \; =\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash !\; del\; pi\; del\; pi\; \backslash \; del\; cdot\; \{r\}\; \backslash \; del\; cdot\; \{2r\}$

donde está el r el radio y el d es el diámetro del círculo, y el π (el griego pi de la letra) es el constante 3.141 592 653 589 793…

La fórmula de la circunferencia se puede derivar absolutamente simplemente usando un cierto cálculo integral básico: la circunferencia es la suma de la longitud de arcos infintesimal. La mitad superior del círculo es el gráfico del $f\; de\; la\; función\; (x)\; =\; \backslash raíz\; cuadrada\{r^2-x^2\}$ de donde x funciona - r a +r y 0 es el centro del círculo. la longitud de
The de una parte infintesimal del arco se puede calcular usar el Pythagoras “fórmula para la longitud del hypothenusa de un triángulo rectangular con el dx lateral del dx y de f de las longitudes” (x), que lleva al $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1+f\text{'}(x)^2\}\; dx$. la circunferencia del círculo de
The se puede calcular así como
$2\; \backslash \; ^r\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1+f\text{'}(x)^2\}\; del\; int\_\; \{-\; r\}\; dx$ = $2\; \backslash \; ^r\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1+\; \backslash \; frac\; \{x^2\}\; \{r^2-x^2\}\; del\; int\_\; \{-\; r\}\}\; dx$ = $2\; \backslash \; ^r\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; del\; int\_\; \{-\; r\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{r\}\; ^2\}\}\; dx$ = $2r\; \backslash \; int\_\; \{-\; 1\}\; ^1\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-x^2\}\}\; dx$ el Antiderivative de
The necesario es el $arcsin\; (x)$, llevando a una circunferencia del círculo de

$2r\; =\; 2r\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}--\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\})\; =2\; \backslash \; pi\; r$

¡Elipse

La circunferencia de una elipse es más problemática, pues la solución exacta requiere encontrar el integral elíptico completo del segundo bueno. Esto se puede alcanzar vía la integración numérica (el mejor tipo que es la cuadratura gausiana ) o por una de muchas extensiones de la serie binomial .

¡Donde está el el $a,\; b$ las hachas semi-de menor importancia semi-principales de de la elipse y, respectivamente, y $o\; \backslash !\; ¡\backslash \; varepsilon\; \backslash ,\; \backslash !$ es la excentricidad angular de la elipse,

¡$o\; \backslash !\; ¡\backslash \; varepsilon=\; \backslash \; arccos\; \backslash !\; ¡\backslash \; (\backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\}\; \backslash \; derecho)\; =2\; \backslash \; arctan\; dejados\; \backslash !\; ¡\backslash \; se\; fue\; (\backslash !\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \}\; \backslash ,\; del\; frac\; \{a-b\}\; \{a+b\}\; \backslash \; derecho);\; ¡\backslash ,\; \backslash !$

Allí son mucho diferente aproximación para $\backslash \; mbox\; \{E2\; diferencia\; dividida\; \}\; \backslash \; left$, con diversos grados de sofisticación y de exactitud correspondiente.

¡En comparar las diversas aproximaciones, el $\backslash \; el\; tan\; \backslash !\; ¡\backslash \; se\; fue\; (\backslash \; frac\; \{o\; \backslash !\; ¡\backslash \; varepsilon\}\; \{2\}\; \backslash )\; ^2\; derecho\; \backslash ,\; \backslash !\; la\; extensión\; de\; serie\; basada$ se utiliza para encontrar el valor real:

Muir-1883 el de

el más exacto a su simplicidad dada es probablemente de Thomas Muir: el $del\; \backslash \; comienza\; \{alinear\}\; la\; banda\; ¡y\; \backslash \; =a\; del\; ^\; aproximadamente\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{a^\; \{1.5\}\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; del\; frac\; \{1\}\; \{1.5\}\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash !\; ¡\backslash \; se\; fue\; (o\; \backslash !\; \backslash \; varepsilon\; \backslash )\; ^\; correcto\; \{1.5\}\}\; \{2\}\; \backslash )\; ^\; \backslash \; frac\; correctos\; \{1\}\; \{1.5\},\; \backslash \; \backslash \; ¡y\; \backslash \; patio\; \backslash \; aproximadamente\; \{a\}\; \backslash \; épocas\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash !\; ¡\backslash \; se\; fue\; (\backslash \; frac\; \{o\; \backslash !\; ¡\backslash \; varepsilon\}\; \{2\}\; \backslash derecho)\; ^2\; \backslash \; se\; fue\; (1+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \backslash \; tan\; \backslash !\; ¡\backslash \; se\; fue\; (\backslash \; frac\; \{o\; \backslash !\; \backslash \; varepsilon\}\; \{2\}\; \backslash )\; ^4\; \backslash \; derecho\; derechos);\; ¡\backslash \; fin\; \{alinear\}\; \backslash ,\; \backslash !$

Ramanujan-1914 (#1, #2) aproximaciones introducidas del dos de Srinivasa Ramanujan del de

diversas, ambas a partir del el $del$

l del
\ comienza {alinear} 2. \; Pr& \ aproximadamente \ frac {1} {2} \} grande (a+b \ grande) \ de la cebada bigg ^2 (1+ \ frac {3 \ grandes (\ frac {a-b} {a+b} \ grande)} {10+ \ raíz cuadrada {4-3 \ grande (\ frac {a-b} {a+b} \ grande) ^2} \ cebada bigg); \ \ ¡y \ quad=a \ épocas \ lechuga romana \! ¡\ se fue (\ frac {o \! ¡\ varepsilon} {2} \) ^2 derecho \ cebada bigg (1+ \ frac {3 \ tan \! ¡\ grande (\ frac {o \! ¡\ varepsilon} {2} \) ^4 grande} {10+ \ raíz cuadrada {4-3 \ tan \! ¡\ grande (\ frac {o \! \ varepsilon} {2} \) ^4}} grande \ cebada bigg); ¡\ fin {alinear} \, \! el

l la segunda ecuación es demostrativo el en gran medida mejor de los dos, y puede ser la aproximación más exacta sabida.

Dejando el = 10000 y el b = los ×cos de un {oε del }, los resultados con diversas elipticidades puede ser encontrado y ser comparado:

.

Zenithic

Jeanne Chinn

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