En las matemáticas, dadas un el determinado X de y un el ~ de la relación de equivalencia en el X, la clase de equivalencia de un del elemento un en el X es el subconjunto de todos los elementos en el X que sean equivalentes al al : = { X del ∈ del x | del ~ del x un }
La noción de clases de equivalencia es útil para construir precisó ya construidas. El sistema de todas las clases de equivalencia en el X dado un ~ de la relación de equivalencia generalmente se denota como el X /~ y es llamado el cociente del determinado del X por el ~. Esta operación se puede pensar en (muy informal de hecho) como el acto del " dividing" la entrada fijó por la relación de equivalencia, por lo tanto ambas el " conocido; quotient", y la notación, que que son ambo evocadores de la división. Una forma en la cual el sistema del cociente se asemeja a la división es que si el X es finito y las clases de equivalencia son todo el Equinumerous, después la pedido del X /~ es el cociente de la orden del X por la pedido de una clase de equivalencia. El sistema del cociente debe ser pensado en como el X del sistema con todos los puntos equivalentes identificados.
Para cualquie relación de equivalencia, hay un π canónico del mapa de la proyección del del X al X /~ dado por el π ( x ) =. Este mapa es siempre el Surjective. En caso de que el X tenga un poco de estructura adicional, uno considera las relaciones de equivalencia que preservan esa estructura. Entonces uno dice que esa estructura es el bien definido, y el sistema del cociente hereda la estructura para convertirse en un objeto de la misma categoría en una manera natural; el mapa a el cual envía un es entonces un Epimorphism en esa categoría. Ver la relación de la congruencia.
El alternativo R del de la notación se puede utilizar para denotar que significamos la clase de equivalencia del del elemento un específicamente con respecto al R de la relación de equivalencia. Esto reputa el R - clase de equivalencia de un . Debido a las características de una relación de equivalencia sostiene que el un está adentro y que son cualesquiera dos clases de equivalencia igual o desunen . Sigue que el sistema de todas las clases de equivalencia del X forma una partición X : cada elemento del X pertenece a una y solamente una clase de equivalencia. Cada partición del X también define inversamente una relación de equivalencia sobre el X . También sigue de las características de una relación de equivalencia ese del del Si el ~ es una relación de equivalencia en el X, y el P ( x ) es una característica de elementos del x, tal que siempre que el y, P ( x ) del ~ del x sea verdad si el P ( y ) es verdad, después el P de la característica reputa el bien definido o una clase invariante del bajo ~ de la relación. Un caso particular frecuente ocurre cuando el f es una función del X a otro Y del sistema; si el x 2 del ~ del x 1 implica el f ( x 1) = el f ( x 2) entonces el f reputa un ~ inferior invariante de la clase, o el ~ inferior simplemente invariante. en la teoría del carácter de grupos finitos. El 3ultimo caso con el f de la función se puede expresar por un triángulo comutativo. Ver también el invariante. " del uso de algunos autores; compatible con el ~" o apenas " respeta el ~" en vez de " ~" inferior invariante;. .
Ejemplos
Si es el X el sistema de todos los coches, y el ~ es el " de la relación de equivalencia; tiene el mismo as" del color;, entonces una clase de equivalencia particular consiste en todos los coches verdes. El X /~ se podía identificar naturalmente con el sistema de todos los colores del coche.
Considerar el " modulo 2" relación de equivalencia en el Z del sistema del y del ~ del x de los números enteros si y solamente si x - el y es el incluso . Esta relación da lugar exactamente a dos clases de equivalencia: consistiendo en todos los números pares, y consistir en todos los números impares. Debajo de esta relación y de toda representar el mismo elemento del Z /~.
Los números racionales se pueden construir como el sistema de las clases de equivalencia de pares pedidos de números enteros ( un, b ) con el b no cero, donde la relación de equivalencia es definida por el del
~ de ( un, b ) ( c, d ) si y solamente si anuncio del = a. el
de aquí la clase de equivalencia de los pares ( un, b ) se puede identificar con el del número racional un /un b . Cualquie f de la función : El Y del → del X define una relación de equivalencia en el X por el x 2 del ~ del x 1 si y solamente si el f ( x 1) de = el f ( x 2). La clase de equivalencia del x es el sistema de todos los elementos en el X que consigan trazados al f ( x ), es decir la clase es la imagen inversa f ( x ). Esta relación de equivalencia se conoce como el núcleo f .
Dado un grupo el G de y un subgrupo el H de, podemos definir una relación de equivalencia en el G por el y del ~ del x si y solamente si xy del ; - H del ∈ 1. Las clases de equivalencia se conocen como a la derecha Cosets del H en el G ; una de ellas es el H sí mismo. Todos tienen el mismo número de elementos (o de la cardinalidad en el caso de un infinito H ). Si el H es un subgrupo normal, después el sistema de todos los cosets es sí mismo un grupo de una manera natural.
Cada grupo puede ser repartido en las clases de equivalencia llamadas las clases de Conjugacy
La clase de Homotopy de un continuo f del mapa es la clase de equivalencia de todos los mapas homotópicos al f .
En el proceso de lenguaje natural, una clase de equivalencia es un sistema de todas las referencias a una sola persona, a un lugar, a una cosa, o a un acontecimiento, verdadero o conceptual. Por ejemplo, en el " de la oración; Los accionistas de GE votarán por un sucesor al CEO saliente Gato Welch" de la compañía;, el GE y el la compañía son sinónimos, y constituyen así una clase de equivalencia. Hay clases de equivalencia separadas para los accionistas de GE del y el Gato galés. Características
un b del ~ de si y solamente si =. Ver también
primer teorema del isomorfismo
hasta
En música ven la equivalencia, equivalencia, equivalencia, equivalencia enarmónica de la octava de Transpositional de Inversional. La teoría determinada musical se aprovecha de todos los éstos, a los diversos grados, mientras que otras teorías aprovechan más o menos de una selección.
En la computación de una forma de prueba se basa en las particiones de la equivalencia, que se basan en clases de equivalencia. Random links: Toledo, Ohio | Astydamia | Aeropuerto de Okadama | Llamero | Mestre Pintor