En las matemáticas, un operador de la clase del rastro del es un operador para quien un rastro puede ser definido, tal del acuerdo que el rastro es finito y independiente de la opción de la base. Los operadores de la clase del rastro son esencialmente iguales que el nuclear muchos autores de los operadores reserva sin embargo el " del término; operator" de la clase del rastro; para el caso especial de operadores nucleares en los espacios de Hilbert y de operadores nucleares de la reserva (clase del =trace) para espacios de Banach más generales

Definición

Mímico definición para matriz, limitado linear operador A sobre separable Hilbert espacio H reputa en rastro clase si para cierto (y por lo tanto todo el) ortonormal base { k del <sub>del e } k de H suma de positivo término

$\backslash \; sum\_\; \{\}\; \backslash \; langle\; (A^*A)\; de\; k\; \backslash ,\; e\_k,\; ^\; del\; e\_k\; \backslash \; del\; rangle\; \{el\; 1/2\}$ es finito. En este caso, el $del\; de\; lasuma\backslash \; el\; sum\_\; \{k\}\; \backslash \; el\; e\_k\; del\; langle\; A,\; e\_k\; \backslash \; rangle$ está absolutamente la convergente y es independiente de la opción de la base ortonormal. Este valor se llama el rastro del A, denotado por Tr ( A ). Cuando el H es finito-dimensional, esta definición del rastro del A coincide con la definición del rastro de una matriz .</sub>

Por la extensión, si el A es operador no negativo del uno mismo-adjoint, podemos también definir el rastro del A como número verdadero extendido por $del\; de\; la\; suma\; \backslash \; e\_k\; posiblemente\; divergentes\; del\; sum\_\; \{k\}\; \backslash \; del\; langle\; A,\; e\_k\; \backslash \; rangle.$

Características

Si el A es un uno mismo-adjoint no negativo, el A es clase del rastro si y solamente si Tr ( A ) < ∞. Por lo tanto un A del operador de adjoint del uno mismo es de la clase del rastro si y solamente si su positivo A ⁺ y ^{&minus negativo de la parte del A de la parte;} son ambos clase del rastro. (Obtienen a las partes positivas y negativas de un operador de adjoint del uno mismo vía el cálculo funcional continuo .)

El rastro es un funcional linear sobre el espacio de los operadores de la clase del rastro, es decir $del\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (aA+bB)\; =a\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (A)+b\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (B).$

Es continuo en la topología débil del operador y satisface las características 1 y 2 arriba.

El $del\; del\; mapa\; \backslash \; el\; langle\; bilinearios\; A,\; B\; \backslash \; =\; del\; rangle\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (A^*\; B)$ es un producto interno en la clase del rastro; la norma correspondiente se llama la norma de Hilbert-Schmidt . La terminación de los operadores de la clase del rastro en la norma de Hilbert-Schmidt se llama los operadores de Hilbert-Schmidt.

Relación entre algunas clases de operadores

Uno puede ver a ciertas clases de operadores limitados como análogo no conmutativo de los espacios clásicos de la secuencia. operadores de la Remontar-clase como análogo no conmutativo del l ¹ ( N ) del espacio de la secuencia. De hecho, aplicando el teorema espectral, cada operador normal de la remontar-clase en un espacio de Hilbert separable puede ser observado como l secuencia de ¹. En la misma vena, los operadores limitados son versiones no conmutativas del l ^{&infin de ;} ( N ), los operadores del acuerdo a que del c ₀ (las secuencias convergentes a 0), operadores de Hilbert-Schmidt corresponder al l ² ( N ), y operadores espesos finitos las secuencias que tienen solamente finito muchos términos diferentes a cero. Hasta cierto punto, las relaciones entre estas clases de operadores son similares a las relaciones entre sus contrapartes comutativas.

Recordar que cada compacto T del operador en un espacio de Hilbert toma la forma canónica siguiente $del$

l \ forall h \ en, \; de H T h = \ suma _ {i = 1} \ alpha_i \ langle h, v_i \ rangle u_i \ patio \ mbox {donde} \ patio \ alpha_i \ geq 0 \ patio \ mbox {y} \ patio \ alpha_i \ rightarrow 0

para algunas bases ortonormales { u_i } y { v_i }. Haciendo los comentarios heurísticos antedichos más exactos, tenemos que el T es clase del rastro si el &sum de la serie; &alpha del del i del _{; i es convergente, el T es Hilbert-Schmidt si ∑ &alpha del del i} del _{; i ² es convergente, y el T es fila finita si la secuencia {&alpha del ; i } tiene solamente finito muchos términos diferentes a cero.}

La descripción antedicha permite que una obtenga fácilmente algunos hechos que relacionen a estas clases de operadores. Por ejemplo, las inclusiones siguientes celebran y son todas apropiadas cuando el H es dimensional infinito: {&sub de la fila finita}; {&sub de la clase del rastro}; {&sub de Hilbert-Schmidt}; {acuerdo}.

Dan los operadores de la remontar-clase la norma del rastro || T ||₁ = Tr ( T*T ) ^½ = ∑ &alpha del del i del _{; i . La norma que corresponde al producto interno de Hilbert-Schmidt es || T ||2 = ( T*T del Tr) ^½ = (∑ &alpha del del i} del _{; i ²) ^½ . También, la norma generalmente del operador es || T || = i} (&alpha del sup _{del ; i ). Por desigualdades clásicas con respecto a secuencias,}

$\backslash |T\; \backslash |\; \backslash \; leq\; \backslash |T\; \backslash |\_2\; \backslash \; leq\; \backslash |T\; \backslash |\_1,$

para el apropiado T .

Está también claro que los operadores espesos finitos son densos en remontar-clase e Hilbert-Schmidt en sus normas respectivas.

Remontar la clase como el dual de operadores compactos

El espacio dual del c ₀ es el l ¹ ( N ). Semejantemente, tenemos que el dual de operadores compactos, denotado por el K ( H ) *, somos los operadores de la remontar-clase, denotados por el C ₁. La discusión, que ahora bosquejamos, es evocadora de ésa para los espacios correspondientes de la secuencia. Dejar el &isin del f ; El K ( H ) *, identificamos el f con el T_f del operador definido cerca $del$

l \ langle T_f x, y \ rangle = f (S_ {x, y}),

donde está el x, y del _{del S alinear-uno a operador dado cerca = \ langle h, y \ rangle x. del $S\_\; del$}

l {x, y} (h)

Esta identificación trabaja porque los operadores espesos finitos son norma-densos en el K ( H ). En caso que sea el T_f un operador positivo, para cualquier ortonormal u_i, uno de la base tiene

$\backslash \; sum\_i\; \backslash \; langle\; T\_f\; u\_i,\; u\_i\; \backslash \; rangle\; =\; f\; ()\; \backslash \; leq\; de\; I\; \backslash |f\; \backslash |,\; \backslash \; patio\; \backslash \; mbox\; \{donde\}\; \backslash \; patio\; del\; operador\; de\; identidad\; I\; =\; \backslash \; sum\_i\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; u\_i\; \backslash \; u\_i\; del\; rangle.$

Pero esto significa que el T_f es remontar-clase. Una súplica a la descomposición polar amplía esto al caso general donde el T_f no necesita ser positivo.

Una discusión limitadora vía operadores espesos finitos demuestra eso || T_f ||₁ = || f ||. Así el K ( H ) * es isométrico isomorfo al C ₁.

Como el predual de operadores limitados

Recordar que el dual del l ¹ ( N ) es el l ^{&infin de ;} ( N ). En el actual contexto, el dual del C ₁ de los operadores de la remontar-clase es los operadores limitados B ( H ). El C ₁ del sistema es más exacto un bilateral ideal en B ( H ). Tan dado cualquier operador el T en B ( H ), podemos definir un &phi funcional linear continuo ; T del _{en $C\_1$ por φ =Tr DEL T} ( A ) DEL _{( EN ). Esta correspondencia entre el &phi de los elementos; el T} del del espacio dual de $C\_1$ y de operadores lineares limitados es un isomorfismo isométrico . Sigue que el de B ( H ) es el espacio dual de $C\_1$. Esto se puede utilizar definió la topología del weak-* en B ( H ).

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