En la teoría de la categoría, un clasificador del subobject del es un &Omega especial del objeto; de una categoría; intuitivo, el Subobjects de un X del objeto corresponde a los morphisms del X al Ω. Mientras que el nombre sugiere, un qué clasificador del subobject del hace es identificar/clasifica subobjects de un objeto dado según el cual los elementos pertenezcan al subobject en la pregunta. Debido a este papel, el clasificador del subobject también se refiere como el objeto del valor de verdad del . De hecho la manera de la cual el clasificador del subobject del clasifica subobjects de un objeto dado, está asignando los valores verdades a elementos que pertenecen al subobject en la pregunta, y falsos a los elementos que no pertenecen al subobject. Ésta es manera que el clasificador del subobject del es ampliamente utilizado en la descripción categórica de la lógica.

Ejemplo introductorio

Como ejemplo, el &Omega del sistema; = {0.1} es un clasificador del subobject en la categoría de los sistemas y de funciones: a cada j del subconjunto: &rarr del U ; El X podemos asignar el &chi del de la función; _j del X al Ω eso traza exacto los elementos del U a 1 (véase la función característica ). Cada función del X al Ω se presenta de este modo de exacto un U del subconjunto.

Para hagamos este ejemplo más claro consideran un A del subconjunto S ( S del ⊆ del A ), donde está un sistema el S . La noción de ser un subconjunto se puede expresar matemáticamente usar la función característica supuesta: A → {0.1} del χ_{, se define que como sigue: $\backslash \; chi\_A\; del$}

l (x) = \ comenzar {los casos} 0, y \ mbox {si} x \ del notin A \ \ 1, y \ mbox {si} x \ en A \ extremo {casos}

(Aquí interpretamos 1 tan verdad y 0 como falso.) El papel de la función característica es determinar qué elementos pertenecen o no a cierto subconjunto. Puesto que en cualquier categoría los subobjects se identifican como flechas monic, identificamos el valor verdad con la flecha: verdadero: {0} → {0, 1} que traza 0 a 1. Dado esta definición la puede ser visto fácilmente que el A del subconjunto se puede definir únicamente a través del del =χ _{del A de la función característica A} ^-1(1). Por lo tanto el diagrama es una retirada .

El ejemplo antedicho del clasificador del subobject en el determinado es muy útil porque nos permite probar fácilmente el axioma siguiente:

Axioma : Dado un C de la categoría, entonces existe un isomorfismo,
y del
: C del ∈ del X del ∀ del C (X, Ω) de Hom _{del ≅ del C} ( X ) de Sub

En el determinado este axioma puede ser expuesto en forma modificada como sigue:

Axioma : La colección de todos los subconjuntos de S denotados por el $\backslash \; \{P\}\; (S)$ mathcal, y la colección de todos los mapas de S al sistema {0, 1} =2 denotado por 2 ^{el S} es el isomorfo es decir el $de\; la\; función\; y:\backslash mathcal\; \{P\}\; (s)\; \backslash \; rightarrow2^S$, cuál en términos de solos elementos del $\backslash \; \{P\}\; de\; (S)$ mathcal es &rarr del A ; χ el A del _{, es un Bijection .}

El axioma antedicho implica la definición alternativa de un clasificador del subobject:

Definición : Ω es un clasificador iff del subobject del allí es una una a una correspondencia entre el subobject del X y el Morphisms del X a Ω.

Definición

Para la definición general, comenzamos con un C de la categoría que tenga un objeto terminal, que denotamos por 1. El &Omega del objeto; del C es un clasificador del subobject para el C si existe un morphism &rarr del

1 del ; Ω

con la característica siguiente:

l para cada j del monomorfismo : &rarr del U ; El X allí es un &chi único del del morphism; _j : &Omega del → del X ; tales que el diagrama comutativo siguiente el es un &mdash del diagrama de la retirada; es decir, el U es el límite del diagrama:

El &chi del del morphism; el _j entonces se llama el que clasifica el morphism para el subobject representado por el j .

Otros ejemplos

Cada Topos tiene un clasificador del subobject. Para los topos de las gavillas de sistemas en un X, del espacio topológico puede ser descrito en estos términos: tomar el desunen &Omega de la unión ; de todo el abierto U de los sistemas X, y de su &pi de trazado natural; al X que viene de toda la inclusión traza &pi de entonces; es un homeomorfismo local, y la gavilla correspondiente es el clasificador required del subobject (es decir la construcción de Ω está por medio de su étalé de Espace). Uno puede también considerar Ω para ser, en sentido (tautológico) de a, el gráfico de la relación de la calidad de miembro entre el x de los puntos y abrir el U de los sistemas del X . Para una pequeña categoría $C$, el classifer del subobject del en los topos del del $de\; los\; presheaves\; \backslash \; del\; ^\; mathcal\; \{S\}\; \{C^\; \{de\; Op.\}\}$ se da como sigue. Para cualquie $c\; \backslash \; en\; C$, $\backslash \; Omega\; (c)$ es el sistema de los tamices en $c$.