En las matemáticas, especialmente en la teoría de la orden, los cf del cofinality ( A ) de un pidieron parcialmente el determinado A de son los lo menos de los cardinalities de los subconjuntos del cofinal A .

Esta definición del cofinality confía en el axioma de la opción, pues utiliza el hecho de que cada sistema no vacío de los números cardinales tiene un menos miembro. El cofinality de un determinado parcialmente pedido A se puede definir alternativo como el menos ordinal x tales que hay una función del x al A con la imagen del cofinal. Esta segunda definición tiene sentido sin el axioma de la opción. Si el axioma de la opción se asume, como ser el caso en el resto de este artículo, después las dos definiciones son equivalentes.

Cofinality se puede definir semejantemente para un sistema dirigido y se utiliza para generalizar la noción de un Subsequence en una red .

Ejemplos

El cofinality de un sistema parcialmente pedido con el elemento más grande es 1 pues el sistema que consiste solamente en el elemento más grande es cofinal y se debe contener en cada otro subconjunto del cofinal. Particularmente, el cofinality de cualquier ordinal finito diferente a cero, o el sistema dirigido de hecho finito, es 1, puesto que tales sistemas tienen un elemento más grande.
Cada subconjunto del cofinal de un sistema parcialmente pedido debe contener todos los elementos máximos que de ése fijó. Así el cofinality de un sistema parcialmente pedido finito es igual al número de sus elementos máximos. Particularmente, dejar el A ser un sistema del n del tamaño, y considerar el sistema de subconjuntos del A que no contiene no más que elementos del m . Esto se pide parcialmente bajo inclusión y los subconjuntos con los elementos del m son máximos. Así el cofinality de este poset es n elige el m de .
Un subconjunto del N de los números naturales es cofinal en el N si y solamente si es infinito, y por lo tanto el cofinality del $\backslash \; aleph\_0$ es el $\backslash \; aleph\_0$. Así el $\backslash \; aleph\_0$ es cardenal regular .
El cofinality de los números verdaderos con su ordenar generalmente es el $\backslash \; aleph\_0$, puesto que el N es cofinal en el R . El ordenar generalmente del R no es la orden isomorfo al c, la cardinalidad de los números verdaderos, que tiene cofinality terminantemente mayor que el $\backslash \; aleph\_0$. Esto demuestra que el cofinality depende de la orden; diversas órdenes en el mismo sistema pueden tener diverso cofinality.

Características

Si el A admite un pidió total el subconjunto del cofinal de, después podemos encontrar un B del subconjunto que sea well-ordered y cofinal en el A . Cualquier subconjunto del B es también well-ordered. Si dos subconjuntos del cofinal del B tienen cardinalidad mínima (es decir su cardinalidad es el cofinality del B ), después son orden isomorfa el uno al otro.

Cofinality de ordinales y de otros sistemas well-ordered

El cofinality del de un $ordinal\; \backslash \; alpha$ de es el $ordinal\; más\; pequeño\; \backslash \; delta$ que es el tipo de orden de un subconjunto del cofinal del $\backslash \; alpha$. El cofinality de un sistema de ordinales o de cualquier otro que el sistema Well-ordered sea el cofinality del tipo de orden de eso fijó.

Así para un límite ordinal, existe un $\backslash \; delta$-indexed que aumenta terminantemente secuencia con el $\backslash \; alpha$ del límite. Por ejemplo, el cofinality del ω ² es ω, porque el ω de la secuencia· el m (donde el m se extiende sobre los números naturales) tiende al ω ²; pero, más generalmente, cualquier ordinal contable del límite tiene ω del cofinality. Un ordinal no numerable del límite puede tener cualquier ω del cofinality al igual que $\backslash \; el\; omega\_\; \backslash \; omega$ o un cofinality no numerable.

El cofinality de 0 es 0. El cofinality de cualquier sucesor ordinal es 1. El cofinality de cualquier ordinal del límite es por lo menos el $\backslash \; omega$.

Ordinales regulares y singulares

Un ordinal regular es un ordinal que es igual a su cofinality. Un ordinal singular es el ordinal que no es regular.

Cada ordinal regular es la inicial ordinal de un cardenal. Cualquier límite de ordinales regulares es un límite de ordinales iniciales y es así también inicial pero no necesita ser regular. Si se asume que el axioma de la opción, el $\backslash \; el\; omega\_\; \{\backslash \; alpha+1\}$ es regulares para cada α. En este caso, los ordinales 0, 1, el $\backslash \; omega$, el $\backslash \; omega\_1$, y el $\backslash \; omega\_2$ son regulares, mientras que 2, 3, $\backslash \; el\; omega\_\; \backslash \; omega$, y ω_ω·2 son los ordinales iniciales que no son regulares.

El cofinality de cualquier α ordinal del es un ordinal regular, es decir el cofinality del cofinality del α del es igual que el cofinality del α del . La operación del cofinality es tan el idempotente del .

Cofinality de cardenales

Si el κ es un número cardinal infinito, después el cf (κ) es el lo más menos posible cardinal tales que hay una función ilimitada de ella al κ; y cf (κ) = la cardinalidad de la colección más pequeña de sistemas de cardenales terminantemente más pequeños tales que su suma es κ; más exacto = \ inf del $\backslash \; del\; mathrm\; del$

l {cf} (\ kappa) \ se fue \ {\ mathrm {tarjeta} (i) \ |\ \ kappa = \ sum_ {i \ adentro I} \ lambda_i \ \ mathrm {y} \ (\ forall i) (\ < \ kappa del lambda_i) \ derecho \}

Que el sistema arriba es no vacío viene del hecho eso

$\backslash \; kappa\; =\; \backslash \; bigcup\_\; \{i\; \backslash \; en\; \backslash \}\; \backslash \; \{de\; la\; kappa\; i\; \backslash \}$

i. el desune la unión de los sistemas del singleton del κ. Esto implica inmediatamente ese κ del ≤ de los cf (κ). El cofinality de cualquier sistema total pedido es regular, así que uno tiene cf (κ) = los cf (cf (κ)).

Usar el teorema de König, uno puede probar el κ < el κ^{cf (κ)} y el κ < los cf (2^κ) para cualquier κ cardinal infinito.

La desigualdad pasada implica que el cofinality de la cardinalidad de la serie continua debe ser no numerable. Por una parte,

de Omega.

el ω del número ordinal que es el primer ordinal infinito, de modo que el cofinality del $\backslash \; del\; aleph\_\; \backslash \; omega$ sea tarjeta (ω) = el $\backslash \; aleph\_0$. (Particularmente, el $\backslash \; el\; aleph\_\; \backslash \; omega$ es singulares.) Por lo tanto,

$2^\; \{\backslash \; aleph\_0\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; aleph\_\; \backslash \; omega.$

(Comparar a la hipótesis de la serie continua, que indica = \ aleph_1 de $2^\; \{\backslash \; aleph\_0\}.)$

Generalizando esta discusión, una puede probar que para un δ del ordinal del límite = \ mathrm {cf} (\ delta) del $\backslash \; del\; mathrm\; del$

l {cf} (\ aleph_ \ delta).

Ver también

Ordinal inicial

.

Zenithic

Cofinality

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