En las matemáticas, específicamente en la topología algebraica, el cohomology es un término general para una secuencia de los grupos abelianos definido de un Cochain complejo. Es decir, el cohomology se define como el estudio abstracto de los cochains, Cocycles y de los coboundaries . Cohomology se puede ver como método de asignar a invariants algebraicos que lo haga a un espacio topológico que tenga una estructura algebraica refinada que la homología . Cohomology se presenta de la dualización algebraica de la construcción de la homología. En lengua menos abstracta, los cochains en el sentido fundamental deben asignar “cantidades” a las cadenas del de la teoría de la homología.

De su principio en la topología, esta idea se convirtió en un método dominante en las matemáticas de la segunda mitad del vigésimo siglo ; de la idea inicial de la homología del como relación topológico invariante en encadena, la gama de usos de las teorías de la homología y del cohomology se ha separado hacia fuera sobre la geometría y la álgebra abstracta . La terminología tiende a enmascarar el hecho que en el cohomology del de muchos usos, una teoría de Contravariant, es más natural que la homología del . En un nivel básico esto tiene que hacer con las funciones y las retiradas en situaciones geométricas: dado X de los espacios y Y, y una cierta clase del F de la función en el Y, para cualquie que traza el f de : La composición del Y del → del X con el f da lugar a un f del F o de la función en el X . Los grupos de Cohomology a menudo también tienen un producto natural, el producto de taza, que les da una estructura del anillo .

Con la retrospección, la teoría general de la homología se debe haber dado probablemente un significado inclusivo que cubre la homología del y el cohomology del : la dirección de las flechas en una cadena complejo no es mucho más que una convención de la muestra.

Historia

Aunque el cohomology sea fundamental a la topología algebraica moderno, su importancia no fue considerada por unos 40 años después del desarrollo de la homología. El concepto de que la estructura de célula dual, que el Enrique Poincaré utilizó en su prueba de su teorema de la dualidad de Poincaré, contuvo el germen de la idea del cohomology, pero éste no fue considerado hasta más adelante.

Había varios precursores al cohomology. En los años 20 mid-, el J. Alexander y el Solomon Lefschetz fundaron la teoría de la intersección de ciclos en los múltiples que en un n - multíple dimensional M, un p - completan un ciclo y un q - el ciclo con la intersección no vacía, si en la posición general, tener intersección a ( p+q− n ) - ciclo. Esto nos permite definir una multiplicación de las clases de la homología × del p ( M ) del _{del H del}

l ; &rarr del q ( M ) del _{del H ; p+q-n} ( M ) del _{del H .}

Alexander tenía por 1930 definidos una primera noción del cochain, basada en un p - cochain en un X del espacio que tenía importancia a las pequeñas vecindades diagonal en el p +1 del ^{del X .}

En el 1931, el Jorte de Rham relacionó la homología y las formas exteriores del diferencial que probaban el teorema de De Rham. Este resultado ahora se entiende para ser interpretado más naturalmente en términos de cohomology.

En el 1934, el lev Pontryagin probó el teorema de la dualidad de Pontryagin; un resultado en los grupos topológicos esto (en casos algo especiales) proporcionó una interpretación de la dualidad de Poincaré y de la dualidad de Alexander en términos de carácteres del grupo

En una conferencia 1935 en el Moscú, el Andrey Kolmogorov y el cohomology introducido de Alexander e intentado construir una estructura de producto del cohomology.

En el Steenrod normando 1936 publicó un papel que construía el cohomology de Čech dualizing la homología de Čech.

A partir de 1936 al 1938, el Hassler Whitney y el Eduard Čech desarrollaron el producto de taza (que hace cohomology en un anillo calificado) y el producto de casquillo, y realizaron que la dualidad de Poincaré se puede indicar en términos de producto de casquillo. Su teoría todavía fue limitada a los complejos finitos de la célula .

En el 1944, el Samuel Eilenberg superó las limitaciones técnicas, y dio la definición moderna de la homología singular y del cohomology.

En el 1945, Eilenberg y Steenrod indicaron los axiomas que definían una teoría de la homología o del cohomology. En su libro 1952, las fundaciones de la topología algebraica, probaron que las teorías existentes de la homología y del cohomology satisficieron de hecho sus axiomas.

En el Edwin Spanier 1948, empleando el trabajo de Alexander y de Kolmogorov, desarrolló el cohomology de Alexander-Spanier.

Teorías de Cohomology

Teorías de Eilenberg-Steenrod

Una teoría del cohomology del es una familia contravariant Functors de la categoría de pares de los espacios topológicos y de las funciones continuas (o de una cierta subcategoría de eso por ejemplo la categoría de los complejos del CW a la categoría de los grupos abelianos y de Homomorphisms del grupo que satisface los axiomas de Eilenberg-Steenrod.

Algunas teorías del cohomology en este sentido están:

Simplicial cohomology
Cohomology singular
Cohomology de De Rham
Čech cohomology
Cohomology de la gavilla

Teorías extraordinarias del cohomology

Cuando un axioma (axioma de la dimensión del ) es relaxed, uno obtiene la idea de la teoría extraordinaria del cohomology del ; esto permite las teorías basadas en la K-teoría y la teoría de Cobordism. Hay otros, viniendo de la teoría homotopy estable .

Otras teorías del cohomology

Las teorías en un sentido más amplio del cohomology del incluyen:
cohomology del grupo
Galois cohomology
Cohomology de la álgebra de mentira
Cohomology de Harrison
Γ cohomology
Schur cohomology
André-Quillen cohomology
Hochschild cohomology
Cohomology cíclico
Cohomology topológico de André-Quillen
Cohomology topológico de Hochschild
Cohomology cíclico topológico
Cohomology coherente
Cohomology local
Étale cohomology
Cohomology cristalino
Cohomology plano
Motivic cohomology
Deligne cohomology
Cohomology perverso
Cohomology de la intersección
cohomology No-abeliano
Gel'fand-Fuks cohomology
Cohomology de la chaqueta de punto
Bonar-Claven cohomology
Cohomology de Quantum

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