En la álgebra linear y la teoría de las matrices, el complemento de Schur del (nombrado después Issai Schur ) de un bloque de una matriz dentro del una matriz más grande se define como sigue. Suponer el A, B, C, D están respectivamente × del p ; p, × del p ; q, × del q ; p y × del q ; las matrices del q, y el D es inversibles. Dejado

$M=\; \backslash \; se\; fue\; A\; y\; B\; \backslash \; \backslash \; C\; y\; D\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; right$ de la matriz

de modo que el M sea × de a ( p + el q ); ( p + q ) matriz.

Entonces el complemento de Schur del del D del bloque del el M de la matriz es los × del p ; matriz del p $A-BD^\; del$

l {- 1} C.

El complemento de Schur se presenta como resultado de realizar una eliminación gausiana del bloque multiplicando el M de la matriz de la derecha con el " bajar el triangular" bloquear la matriz el $L=\; del$

l \ salió de I_p y de 0 \ \ - D^ {- 1} C y D^ {- 1} \ fin {} \ right. de la matriz

Aquí el I_p denota × del p un ; matriz de unidad del p . Después de la multiplicación con el L de la matriz el complemento de Schur aparece en los × superiores del p ; bloque del p . La matriz del producto es

$M\; \backslash \; cdot\; L=\; \backslash \; se\; fue\; A-BD^\; \{-\; 1\}\; C\; y\; BD^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; I\_q\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; right.$ de la matriz

Lo contrario del M se puede expresar así implicando el $D^\; \{-\; 1\}$ y lo contrario del complemento de Schur (si existe) solamente como

$\backslash \; ido\; \backslash \; comienzan\; \{matriz\}\; A\; y\; B\; \backslash \; \backslash \; C\; y\; D\; \backslash \; fin\; \{matriz\}\; \backslash \; right^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; comienzan\; \{\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; de\; la\; matriz\; (A-B\; D^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash derecho)\; ^\; \{-\; 1\}\; y\; -\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (A-B\; D^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; \backslash \; -\; del\; ^\; \{-\; 1\}\; B\; D^\; \{-\; 1\}\; D^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; dejó\; (A-B\; D^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; derecho)\; el\; ^\; \{-\; 1\}\; y\; D^\; \{-\; 1\}\; +\; D^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; ido\; (A-B\; D^\; \{-\; 1\}\; C\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{-\; 1\}\; B\; D^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho,$

o puesto más simplemente,

$\backslash \; ido\; \backslash \; comienza\; \{matriz\}\; A\; y\; B\; \backslash \; \backslash \; C\; y\; D\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; right^\; de\; la\; matriz\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; ido\; \backslash \; comenzar\; \{matriz\}\; I\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; -\; D^\; \{-\; 1\}\; C\; y\; I\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \; ido\; \backslash \; comienzan\; \{matriz\}\; (A-BD^\; \{-\; 1\}\; C)^\; \{-\; 1\}\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; D^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \; ido\; \backslash \; comenzar\; \{matriz\}\; I\; y\; -\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; I\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho\; de\; BD^\; \{-\; 1\}.$

Si el M es una matriz simétrica positivo-definida, después está tan el complemento de Schur del D en el M .

Si el p y el q son ambo 1 (es decir el A, el B, el C y el D son todos los escalares), conseguimos la fórmula familiar para lo contrario de 2 por la matriz 2:

$M^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; dejado\; de\; AD-BC\; \backslash \; comenzar\; \{matriz\}\; D\; y\; -\; \backslash \; \backslash \; -\; de\; B\; C\; y\; A\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash$ derecho

a condición de que el $AD-BC$ determinante es diferente a cero.

Uso a solucionar ecuaciones lineares

El complemento de Schur se presenta naturalmente en solucionar un sistema de ecuaciones lineares por ejemplo $Ax\; del$

l + por = $Cx\; del$
de a + Dy = b

donde está el p - dimensional y, b de los vectores de la columna es el q - los vectores dimensionales de la columna, y el el x, un A, B, C, el D está como arriba. Multiplicar la ecuación inferior por el $BD^\; \{-\; 1\}$ y después el restar de la ecuación superior una obtiene $del$

l (A - BD^ {- 1} C) x = a - BD^ {- 1} B. \,

Así si uno puede invertir el D así como el complemento de Schur del D, uno puede solucionar para el x, y entonces usando el $Cx\; de\; la\; ecuación\; +\; el\; Dy\; =\; el\; b$ uno puede solucionar para el y . Esto reduce el problema de invirtiendo un $(p+q)\; \backslash \; la\; matriz\; de\; las\; épocas\; (p+q)$ a la de invertir × del p un ; × de la matriz del p y del q un ; matriz del q . Uno necesita en la práctica el D bien-ser condicionado para que este algoritmo sea exacto.

Usos a la teoría de las probabilidades y a las estadísticas

Suponer el al azar X, Y de los vectores de la columna viven en el n del ^{del R y el m} del ^{del R respectivamente, y el vector ( X, Y ) en el n del del R + el m tiene un de distribución normal multivariante cuya variación sea la matriz positivo-definida simétrica}

$V=\; \backslash \; se\; fue\; A\; y\; B\; \backslash \; \backslash \; B^T\; y\; C\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; right.$ de la matriz

Entonces la variación condicional dado Y del X es el complemento de Schur del C en el V : $del$

l \ operatorname {var} (X \ mediados de Y) = A-BC^ {- 1} B^T.

En ese caso, el complemento de Schur del C en el V también tiene una distribución de Wishart.

Ver también

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