La G-conexión principal término refiere a veces a los pares ( P, &omega del ; ) y &omega del ; sí mismo se llama la forma de la conexión del o conexión del 1 forma de la conexión principal.

Relación a las conexiones de Ehresmann

Un &omega principal del de la G-conexión; en el P determina una conexión de Ehresmann en el P así. Primera nota que los campos de vector fundamentales que generan la acción de G del en el P proporcionan un isomorfismo del paquete del vertical V del paquete P (con el p (&pi del _{del T del p} = del _{del V del P ; ( p ) ) al $P\; \backslash \; a\; las\; épocas\; \backslash \; mathfrak\; g$. Sigue ese &omega del ; determina únicamente un v del mapa del paquete: &rarr del TP del ; V que es la identidad en el V . Tal v de la proyección es determinado únicamente por su núcleo, que es un liso H del subbundle del TP (llamado el el paquete horizontal ) tales que el TP = &oplus del V ; H . Esto es una conexión de Ehresmann.}

Inversamente, un &sub del H de la conexión de Ehresmann; TP (o v : &rarr del TP del ; El V ) en el P define un principal G - &omega del de la conexión; si y solamente si es el G - equivariant en el sentido ese $H\_\; \{página\}\; =\; \backslash \; \_p\; del\; mathrm\; d\; (R\_g)\; (H\_\; \{p\})$.

Formar en un trivialization local

Un trivialization local de un principal P del paquete es dado por un s de la sección del P sobre un abierto U del subconjunto del M . Entonces el &omega del del s ^* de la retirada ; de una conexión del principal es una 1 forma en el M con valores en el $\backslash \; el\; mathfrak\; g$. Si el s de la sección es substituido por un nuevo sg del de la sección, definido por (sg ) ( x ) del = el g ( x ) del s ( x ), donde el g : &rarr del M ; El G es un mapa liso, entonces (sg del ) &omega del de ^*; = &omega del del s ^*; + g de g ^-1d del . La conexión principal es determinada únicamente por esta familia de formas del $\backslash \; del\; mathfrak\; g$-valued 1, y estas formas 1 también se llaman las formas de la conexión del o las formas de la conexión 1 del, particularmente en una más vieja o física-orientada literatura.

Afinar la característica

Si &omega del ; y &omega del ; “ son conexiones principales en un principal P, entonces el &omega del paquete del de la diferencia; ” - &omega del ; es una forma del $\backslash \; del\; mathfrak\; g$-valued 1 en el P que es no sólo el G - equivariant, pero el horizontal en el sentido que desaparece en cualquier sección del vertical V del paquete del P . Por lo tanto es el básico y así que es determinado por un 1 - formar en el M con valores en el g_P del $\backslash \; del\; mathfrak\; del\; del\; paquete\; de\; Adjoint:\; =P\; \backslash \; times\_G\; \backslash \; mathfrak\; g.$ Inversamente, cualquier una forma define (vía retirada) un G - 1 forma horizontal equivariant en el P, y el espacio del principal G - las conexiones es un espacio de afinación para este espacio de las formas 1.

Covariante inducida y derivados exteriores

Para cualquier W de la representación linear G hay un $asociado\; P\; \backslash \; times\_G\; W$ del paquete del vector sobre el M, y una conexión principal induce un derivado de la covariante en cualquier paquete del vector. Este derivado de la covariante se puede definir usar el hecho de que el espacio de secciones del $P\; \backslash \; times\_G\; W$ sobre el M es isomorfo al espacio del G - equivariant W - las funciones valoradas en el P . Más generalmente, el espacio del equivariant y horizontal W - valorado k del k - de las formas con valores en el $P\; \backslash \; times\_G\; W$ de se identifica con el espacio del G - - formas en el P . Si &alpha del ; es tal k - formar, entonces su &alpha exterior del del derivado d;, aunque G - equivariant, es no más horizontal. Sin embargo, el &alpha del de la combinación d; + &omega del ; Λ α es. Esto define un &omega derivado del del d ^{de la covariante exterior ;} del $P\; \backslash \; del\; k\; -\; formas\; del\; times\_G\; W$-valued en el M a el $P\; \backslash \; times\_G\; W$-valued ( k +1) - formas en el M . Particularmente, cuando el k =0, nosotros obtiene un derivado de la covariante en el $P\; \backslash \; times\_G\; W$.

Forma de la curvatura

La forma de la curvatura de un principal G - &omega del de la conexión; es el &Omega de la forma del $\backslash \; del\; mathfrak\; g$-valued 2; definido por el $\backslash \; +\; \backslash \; tfrac12$ del de Omega=d \ de Omega Es el G - equivariant y horizontal, por lo tanto corresponde a una forma 2 en el M con valores en el $\backslash \; el\; mathfrak\; g\_M$. La identificación de la curvatura con esta cantidad a veces se llama la ecuación de la estructura del segundo.

Conexiones en paquetes y la torsión del marco

Si el principal P del paquete es el paquete del capítulo, o (más generalmente) si tiene una forma de la soldadura, después la conexión es un ejemplo de un afina la conexión, y la curvatura no es la único invariante, desde la estructura adicional del &theta del de la forma de la soldadura;, que es una forma equivariant del R ⁿ-valued 1 en el P, debe ser considerado. Particularmente, la forma de la torsión en el P, es un &Theta de la forma del R ⁿ-valued 2; definido por el $\backslash \; Theta=\; \backslash \; el\; mathrm\; d\; \backslash \; theta+\; \backslash \; Omega\; \backslash \; cuña\; \backslash \; theta\; del\; .$ Θ es el G - equivariant y horizontal, y así que desciende a una forma tangente-valorada 2 en el M, llamado la torsión del . Esta ecuación a veces se llama la primera ecuación de la estructura del .