En la geometría diferenciada, una conexión descriptiva es un tipo de la conexión de Cartan en un múltiple diferenciable .

La estructura de una conexión descriptiva se modela en la geometría del espacio descriptivo, algo que el afina el espacio que corresponde a un afina la conexión . Como afinar las conexiones, aunque, las conexiones descriptivas también definen la geodesia . Sin embargo, este la geodesia no es el affinely parametrized. Projectively parametrized algo, significando que su clase preferred de parametrizaciones es actuada sobre por el grupo de las transformaciones lineares fraccionarias

Como una conexión de afinación, las conexiones descriptivas han asociado la torsión y la curvatura.

Espacio descriptivo como la geometría modelo

El primer paso en la definición de cualquier conexión de Cartan es considerar el caso plano: en cuál corresponde la conexión a la forma de Maurer-Cartan en un espacio homogéneo .

En el ajuste descriptivo, el multíple subyacente M del espacio homogéneo es el RP ⁿ del espacio descriptivo que representaremos por los coordenadas homogéneos . El grupo de la simetría del M es el G = PSL ( n +1, R ). Dejar el H ser el grupo de la isotropía del punto. Así, el M = el G / H presenta el M como espacio homogéneo.

Dejar el $\{\backslash \; mathfrak\; g\}$ sea la álgebra de mentira del G, y el $\{\backslash \; mathfrak\; h\}$ que del H . Observar ese $\{\backslash \; mathfrak\; g\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; s\}\; \{\backslash \; mathfrak\; l\}\; (n+1,\; \{\backslash \; mathbb\; R\})$. Como matrices concerniente a la base homogénea, el $\{\backslash \; mathfrak\; g\}$ consiste en el Remontar-libre ( n +1)× (matrices del n +1): $del$

l \ ido ( \ comenzar {la matriz} \ del lambda&v^i \ \ w_j&a_j^i \ extremo {matriz} \), derecho \ patio (v^i) \ en {\ mathbb R} ^ {1 \ épocas n}, (w_j) \ en {\ mathbb R} ^ {n \ épocas 1}, () \ en del a_j^i {\ mathbb R}, \ lambda del ^ {n \ épocas n} = a_i^i - \ del sum_i .

Y el $\{\backslash \; mathfrak\; h\}$ consiste en todas estas matrices con (el w _j) = 0. Concerniente a la representación de matriz arriba, la forma de Maurer-Cartan del G es un sistema de las formas 1 (ζ, α_j, α_jⁱ, αⁱ) satisfaciendo el ζ del d del de las ecuaciones + el ∑_i estructurales αⁱ∧α_i = 0 d del
α_j + α_j∧ζ + ∑_k α_j^k∧α_k = 0 d del
α_jⁱ + αⁱ∧α_j + ∑_k α_kⁱ∧α_j^k = 0 d del
αⁱ + ζ∧αⁱ + ∑_kα^k∧α_kⁱ = 0

Estructuras descriptivas en los múltiples

Una estructura descriptiva es una geometría linear del en un múltiple en el cual dos puntos próximos sean conectados por una línea (es decir, un unparametrized geodésico) de una manera única. Además, una vecindad infinitesimal de cada punto se equipa de una clase de los bastidores descriptivos “. Según Cartan (1924), el qui descriptivo del numérique del variété del une del est de la conexión del à del variété del
Une del
(espace del ou), el punto de voisinage immédiat de chaque del au, el projectif y el douée tous de del espace del d'un de los caractères de los les del présente más voisins entourent del infiniment de los puntos del deux de raccorder en la O.U del loi del d'une del seul del espace del projectif de los les del deux de los petits del qui permettant del morceaux.
Analytiquement del, en choisira, arbitraire de los d'ailleurs del manière del d'une, del punto del chaque del à del attaché del projectif del l'espace de los dans un de la variété, projectives définissant del repére la un système de coordonnées del de la O. El deux del à de los attachés de los projectifs de los espaces de los les del entre de Le raccord señala el de los voisins del infiniment un y el ” un homographique de la transformación del une de la igualdad del analytiquement del traduira del SE de .

Esto es análogo a la noción de Cartan de un de afina el de la conexión, en el cual los puntos próximos están conectados y tienen así un capítulo de la afinación de la referencia que se transporta a partir del uno al otro (Cartan, 1923): " del à del dite de los sueros del variété del La del
del
; affine" de la conexión; el défini de la aureola del lorsqu'on, arbitraire de los d'ailleurs del manière del d'une, espaces permettant de los les del l'autre del à del informe de la igualdad del l'un de repérer del loi del une afina el m de los quelconques de los voisins del infiniment del de los puntos del deux del à de los attachés y el m' de la variété; el que calamitoso tel point de l'espace del de del permettra del loi del cete afina el m del punto del au del attaché corresponde à tel point de l'espace afina el m, espace équipollent del punto del au del attaché del du segundo del vecteur del teléfono del à del ou del que del espace de tel vecteur du del parallèle primero del es.

En lengua moderna, una estructura descriptiva en un de n - el del múltiple M es una geometría de Cartan modelada en el espacio descriptivo, donde este 3ultimo se ve como espacio homogéneo para PSL ( +1 de n, R ). Es decir es un PSL ( +1, R ) - paquete de n equipado del
un PSL ( +1, R ) - conexión (la conexión de n de Cartan)
una reducción del grupo de la estructura al estabilizador de un punto en espacio descriptivo tales que la forma de la soldadura inducida por estos datos es un isomorfismo.