En las matemáticas, la conjetura de Calabi del es una conjetura sobre la existencia de la buena métrica en los múltiples complejos hechos por el Calabi en cerca de 1954. La conjetura fue probada por el S.

La conjetura de Calabi indica que un múltiple de Kähler del acuerdo tiene un Kähler único métrico en la misma clase cuya forma de Ricci es cualquier forma dada 2 que representa la primera clase de Chern. Particularmente si la primera clase de Chern desaparece hay un Kähler único métrico en la misma clase con la curvatura vanishing de Ricci; éstos se llaman los múltiples de Calabi-Yau

La conjetura de Calabi es estrechamente vinculada a la pregunta cuyo los múltiples de Kähler tienen métricas de Kähler-Einstein

Métrica de Kähler-Einstein

Una conjetura estrechamente vinculada a la conjetura de Calabi indica que si una variedad de Kähler del acuerdo tiene un negativo, cero, o primera clase de Chern del positivo entonces él tiene un Kähler-Einstein métrico en la misma clase que su Kähler métrico, único hasta rescaling. Esto fue probada para las primeras clases de Chern de la negativa independiente por el T. Cuando la clase de Chern es cero fue probada por Yau como consecuencia fácil de la conjetura de Calabi.

Fue refutado para las primeras clases de Chern del positivo por Yau, que observó que el plano descriptivo complejo hecho saltar en 2 puntos no tiene ningún Kähler-Einstein métrico y así que es un contraejemplo. También incluso cuando existe Kähler-Einstein métrico él no necesitar ser único. Ha habido mucho otro trabajo sobre el primer caso positivo de la clase de Chern. Una condición necesaria para la existencia de un Kähler-Einstein métrico es que la álgebra de mentira de los campos de vector olomorfos es reductor. Yau conjeturó que cuando la primera clase de Chern es positiva, una variedad de Kähler tiene un Kähler-Einstein métrico si y solamente si es estable en el sentido de la teoría invariante geométrica .

La caja de superficies complejas ha sido colocada por la cuadrilla Tian . Las superficies complejas con la clase positiva de Chern son un producto de dos copias de una línea descriptiva (que tenga obviamente un Kähler-Einstein métrico) o una explosión del plano descriptivo en a lo más 8 puntos en " position" general;, en el sentido que mentira de no 3 en una mentira de la línea y de no 6 en una cuadrica. El plano descriptivo tiene un Kähler-Einstein métrico, y el plano descriptivo hecho saltar en 1 o 2 puntos no hace, pues la álgebra de mentira de los campos de vector olomorfos no es reductor. Tian demostró que el plano descriptivo hecho saltar en 3, 4, 5, 6, 7, o 8 puntos en la posición general tiene un Kähler-Einstein métrico.

Esquema de la prueba

La conjetura fue probada transformando el problema en una ecuación diferencial parcial no linear del tipo complejo del Monge-Amperio, y después solucionando esta ecuación usar el método de la continuidad del . Esto implica primero el solucionar de una ecuación más fácil, y en seguida el demostrar de que una solución a la ecuación fácil se puede deformir continuamente a una solución de la ecuación dura. La parte más dura de la solución está probando cierto " " a priori; estimaciones para los derivados de soluciones; esto fue hecha por Yau, y la mayor parte de el resto de la solución es debido a Calabi.

Transformación de la conjetura de Calabi a una ecuación diferencial

Suponer que el M es un múltiple compacto complejo con un &omega de la forma de Kahler;. Cualquier otra forma de Kahler en la misma clase está del $\backslash \; omega+dd\text{'}\backslash \; phi$ del de la forma para algún &phi liso de la función; en el M, único hasta la adición de un constante. La conjetura de Calabi es por lo tanto equivalente al problema siguiente: el

l dejó el F = el f del ^{del e ser una función lisa positiva en el M con el valor medio 1. Entonces hay un &phi liso de la función verdadera; con el ^m del $del\; phi\; (\backslash \; omega+dd\text{'}\backslash )\; =\; el$
y el &phi del e^f \ omega^m ; es único hasta la adición de un constante.}

Ésta es una ecuación del tipo complejo del Monge-Amperio para un solo &phi de la función;. Es una ecuación diferencial parcial particularmente dura a solucionar, pues es no linear en los términos de la orden más alta. Es trivial solucionarlo cuando el f =0, como φ =0 es una solución. La idea del método de la continuidad es demostrar que puede ser solucionada para todo el f demostrando que el sistema del f para el cual puede ser solucionado es ambo abierto y cerrado. Puesto que el sistema del f para el cual puede ser solucionada es no vacío, y el sistema de todo el f está conectado, éste demuestra que puede ser solucionada para todo el f .

El mapa de las funciones lisas para alisar las funciones que toman φ al F definido por el $F=\; del\; del$
phi (\ omega+dd'\) ^m/\ omega^m es ni inyectivo ni surjective. No es inyectivo porque agrega un constante al φ no cambia el F, y no es surjective porque el F debe ser positivo y tener valor medio 1. Tan consideramos el mapa restringido al &phi de las funciones; eso se normaliza para tener valor absoluto 1, y pregunta si este mapa es un isomorfismo sobre el sistema del positivo F = el f del ^{del e con el valor medio 1. Calabi y Yau probó que es de hecho un isomorfismo. Esto se hace en varios pasos, descritos más abajo.}

Unicidad de la solución

Probar que la solución es única implica el demostrar de eso si ^m del $del\; (\backslash \; omega+dd\text{'}\backslash \; phi\_1)\; =\; (\backslash \; omega+dd\text{'}\backslash \; phi\_2)\; ^m$ entonces φ ₁ y φ ₂ diferencian por un constante (tan deben estar iguales si son ambo normalizados para tener valor medio 0). Calabi probó esto demostrando que el valor medio del $del\; |d\; (\backslash \; phi\_1-\; \backslash \; phi\_2)|^2$ es dado por una expresión que sea a lo más 0. Pues es obviamente por lo menos 0, debe ser 0, tan $d\; del\; (\backslash \; phi\_1-\; \backslash \; phi\_2)\; =\; 0$ qué alternadamente fuerza φ ₁ y φ ₂ a diferenciar por un constante.

El sistema del F está abierto

Probar que el sistema del posible F está abierto (en el sistema de funciones lisas con el valor medio 1) implica el demostrar de que si es posible solucionar la ecuación para un cierto F, después él es posible solucionarlo para todos suficientemente el F del cierre. Calabi probó esto usando el teorema de la función implícita para los espacios de Banach para aplicar esto, el paso principal es demostrar que la linearización operador diferenciado antedicho es inversible.

El sistema del F es cerrado

Ésta es la parte más dura de la prueba, y era la pieza hecha por Yau. Suponer que el F está en el encierro de la imagen de posible funciona el φ. Esto significa que hay una secuencia de funciona el φ ₁, φ ₂,… tales que funciona la correspondencia el F ₁, F ₂,… converger al F, y el problema es demostrar a eso algún subsequence del φ s converge a un &phi de la solución;. Para hacer esto, Yau encuentra algunos límites para el &phi de las funciones; i y sus derivados más altos del _{en términos de derivados más altos del registro ( i} del _{del f ) (éstos a veces se llaman " bounds" del apriori;). Encontrar estos límites requiere una secuencia larga de estimaciones duras, cada uno que mejora levemente en la estimación anterior. Los límites que Yau consigue son bastantes para demostrar a eso el &phi de las funciones; el i} del toda la mentira en un subconjunto compacto de un espacio de Banach conveniente de funciones, así que es posibles encontrar un subsequence convergente. Este subsequence converge a un &phi de la función; con el F de la imagen, que demuestra que el sistema del posible F de las imágenes es cerrado.

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