En las matemáticas, las conjeturas de la multiplicidad de Serre del son ciertos problemas puramente algebraicos, en la álgebra comutativa, motivada por las necesidades de la geometría algebraica . Desde definición rigurosa inicial de s de Weil André 'de los números de la intersección alrededor de 1949, había habido una cuestión de cómo proporcionar una teoría más flexible y más computable.

Dejar el R ser el anillo local del asiduo de a (Noetherian, comutativo) y el P y el Q sean los ideales primeros R . En 1961, el Juan Pedro Serre realizó que las ideas algebraico-geométricas clásicas de la multiplicidad se podrían generalizar usar los conceptos de la álgebra Homological . Serre definió la multiplicidad de la intersección R/P y del R/Q por medio de los functors del Tor de la álgebra Homological, como

$\backslash \; ji\; (R/P,\; R/Q):\; =\; \backslash \; ^i\; del\; ^\; del\; \_\; de\; la\; suma\; \{i=0\}\; 1)\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; \backslash \; ell\_R\; (^R\_i\; del\; Tor\; (R/P,\; R/Q)).$

Esto requiere el concepto de la longitud de un módulo, denotada aquí por el l_R, y la asunción eso

Si esta idea fuera trabajar, sin embargo, ciertas relaciones clásicas tendrían que probablemente continuar sosteniéndose. Serre seleccionó cuatro características importantes. Éstas entonces se convirtieron en conjeturas, desafiando en el caso general.

Desigualdad de la dimensión

$dim\; (R/P)\; +\; amortiguan\; ()\; \backslash \; le\; de\; R/Q\; dévil\; (R)$

Serre verificó esto para todos los anillos locales regulares. Él estableció las tres características siguientes cuando el R es Unramified, y conjeturado que se sostienen en general.

Nonnegativity

$\backslash \; ji\; ()\; \backslash \; GE\; 0$ de R/P, de R/Q

El Ofer Gabber verificó esto, absolutamente recientemente.

Desaparición

Si $dim\; del$

l (R/P) + amortiguar (R/Q) < (r) dévil \

entonces $del$

l \ ji (R/P, R/Q) = 0. \

Esto fue probada alrededor de 1986 por el Paul C. Roberts, e independiente por Gillet y Soulé.

Positividad

Si $dim\; del$

l (R/P) + amortiguar (R/Q) = (r) dévil \

entonces $del$

l \ ji (R/P, R/Q) > 0. \

Esto sigue siendo abierto.