En la física matemática, especialmente según lo introducido en los mecánicos estadísticos y la termodinámica por el J. Willard Gibbs en 1878, un conjunto (también conjunto estadístico o conjunto termodinámico del ) es una idealización que consiste en una gran cantidad de copias mentales (a veces infinitamente muchas) de un sistema, considerado de una vez, que representa un estado posible que el sistema verdadero pudo estar adentro. Este artículo trata la noción de conjuntos en una manera matemáticamente rigurosa, aunque los aspectos físicos relevantes sean mencionados.

Consideraciones físicas

El conjunto formaliza la noción que un físico que repite un experimento repetidas veces bajo mismas condiciones macroscópicas, pero incapaz de controlar los detalles microscópicos, puede esperar que observe una gama de diversos resultados.

El tamaño teórico de los conjuntos mentales en termodinámica, mecánicos estadísticos y los mecánicos estadísticos de Quantum puede ser muy grande de hecho, incluir cada estado microscópico posible que el sistema podría estar adentro, constante con sus características macroscópicas observadas . Pero para los casos físicos importantes puede ser posible calcular promedios directo sobre el conjunto del conjunto termodinámico, para obtener las fórmulas explícitas para muchas de las cantidades termodinámicas de interés, a menudo en términos de función de partición apropiada (véase abajo). Algunos de estos resultados se presentan en los mecánicos estadísticos del artículo.

Nota sobre terminología

el conjunto de la palabra también se utiliza a veces para sistemas más pequeños de las posibilidades, muestreado del sistema completo de estados posibles. Así por ejemplo, un conjunto de caminante en una iteración de Monte Carlo de la cadena de Markov.

el conjunto de la palabra se utiliza particularmente en termodinámica; por algunos físicos que trabajan en teoría Bayesian de la probabilidad ; y por los matemáticos cuyo trabajo en la teoría de las probabilidades es influenciado pesadamente por los físicos, especialmente ésos que trabajan en las matrices al azar . La mayoría del " pure" los matemáticos que trabajan en la teoría de las probabilidades no utilizan el término, prefiriendo utilizar la terminología de los espacios de probabilidad

Conjuntos de sistemas mecánicos clásicos

Para un conjunto de un sistema mecánico clásico, uno considera el espacio de fase del sistema dado. Una colección de elementos del conjunto se puede ver como enjambre de puntos representativos en el espacio de fase. Las características estadísticas del conjunto entonces dependen de una medida de probabilidad elegida en el espacio de fase. Si un A de la región del espacio de fase tiene medida más grande que la región B, después un sistema elegido al azar del conjunto es más probable estar en un microstate que pertenece al A que el B . La opción de esta medida es dictada por los detalles específicos del sistema y las asunciones una hacen sobre el conjunto en general. Por ejemplo, la medida del espacio de fase del conjunto de Microcanonical (véase abajo) es diferente de la del conjunto canónico . El factor de normalización de la medida de probabilidad se refiere como la función de partición del conjunto. Físicamente, la función de partición codifica la estructura física subyacente del sistema.

Cuando la medida es independiente del tiempo, el conjunto reputa el inmóvil.

Conjuntos principales de termodinámica estadística

Diversos requisitos ambientales macroscópicos llevan a diversos tipos de conjuntos, con características estadísticas particulares. Los siguientes son los más importantes:
conjunto de Microcanonical o conjunto de NVE -- un conjunto de sistemas, que se requiere para tener la misma energía total (es decir aislado termal).
conjunto canónico o conjunto de NVT -- un conjunto de sistemas, que pueden compartir su energía con un baño grande del depósito de calor o de calor. El sistema se permite a la energía de intercambio con el depósito, y la capacidad de calor del depósito se asume para ser tan grande en cuanto a mantiene una temperatura fija para el sistema emparejado.
conjunto canónico magnífico -- un conjunto de sistemas, que está otra vez en contacto termal con un depósito. Pero ahora además de energía, hay también intercambio de partículas. La temperatura todavía se asume para ser fijada.

Los cálculos que se pueden hacer sobre cada uno de estos conjuntos se exploran más lejos en los mecánicos estadísticos del artículo. El resultado principal para cada conjunto sin embargo, es su función de estado característico:

Microcanonical: $\backslash ;\; \backslash \; Omega\; (U,\; V,\; N)\; =\; e^\; \{\backslash \; TS\; beta\}$

Canónico: $\backslash ;\; Z\; (T,\; V,\; N)\; =\; e^\; \{-\; \backslash \; A\; beta\}$

Canónico magnífico: $\backslash ;\; \backslash \; XI\; (,\; \backslash \; MU\; de\; T,\; de\; V)\; =\; e^\; \{\backslash \; P\; beta\; V\}$

Para estos conjuntos, la opción para la medida de probabilidad apropiada es dictada por las expresiones arriba.

Otros conjuntos termodinámicos se pueden también definir, correspondiendo a diversos requisitos físicos, para los cuales las fórmulas análogas pueden ser derivadas a menudo semejantemente.

Características del " good" conjuntos

Las características siguientes se consideran deseables para un conjunto mecánico clásico.
Representatividad del

La medida de probabilidad elegida en el espacio de fase debe ser un estado de Gibbs del conjunto, es decir debe ser invariante bajo evolución del tiempo. Un ejemplo estándar de esto es la medida natural (localmente, es apenas la medida de Lebesgue) en una superficie constante de la energía para un sistema mecánico clásico. El teorema de Liouville indica que esta medida es invariante bajo flujo hamiltoniano .
Ergodicidad del

Un μ de la medida de probabilidad en el $\backslash \; Lambda$ del espacio de fase se especifica una vez, uno puede definir el promedio de conjunto del de un observable, es decir con valores reales f de la función definido en el $\backslash \; Lambda$ vía esta medida cerca $del$

l \ langle f \ _ = \ internacional del rangle {\ lambda} f d \ mu,

donde hemos restringido a esos observables que son μ-integrables.

Por una parte, dejar el $\backslash ;\; x\; (0)$ denota un punto representativo en el espacio de fase, y el $\backslash ;\; x\; (t)$ sea su imagen bajo flujo, especificado por el sistema en la pregunta, en el t del tiempo. El promedio del tiempo del del f se define para ser

$\backslash \; lim\; \_\; \{T\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{^T\; f\; (x\; (t))\; d\; t,$ } \ internacional _0 de T

a condición de que este límite existe μ-almost por todas partes y es independiente del $\backslash ;\; x\; (0)$.

El requisito de la ergodicidad es que el promedio de conjunto coincide con el promedio del tiempo. Una suficiente condición para la ergodicidad es que la evolución del tiempo del sistema es un que mezcla . (Véase también la hipótesis ergódica .) No todos los sistemas son ergódicos. Por ejemplo, es desconocido en este tiempo si los flujos mecánicos clásicos en una superficie constante de la energía son ergódicos en general. Físicamente, cuando un sistema no puede ser ergódico, podemos deducir que hay información más macroscópico discoverable disponible sobre el estado microscópico del sistema que qué primero pensamos. Alternadamente esto se puede utilizar para crear un conjunto condicionado mejor .

Conjuntos en mecánicos estadísticos del quántum

El considera el artículo principal: Mecánicos estadísticos de Quantum

Formulando a un lado por el momento la pregunta de cómo los conjuntos estadísticos son el generado operacionalmente, debemos poder realizar las dos operaciones siguientes en el A, B de los conjuntos del mismo sistema:
Prueba del

si el A, B es estadístico equivalente.

si el p es un número verdadero tales que 0 < el p < 1, después produce un nuevo conjunto por el muestreo de probabilidad del A con el p de la probabilidad y del B con el 1 de la probabilidad - p .

Bajo ciertas condiciones por lo tanto, las clases de la equivalencia de conjuntos estadísticos tienen la estructura de un sistema convexo. En la física de quántum, un modelo general para este sistema convexo es el sistema de los operadores de densidad en un espacio de Hilbert . Por consiguiente, hay dos tipos de conjuntos:
los conjuntos puros del

no se pueden descomponer como combinación convexa de diversos conjuntos. En mecánicos de quántum, una matriz de densidad pura es una del $de\; la\; forma\; |\backslash \; phi\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; \backslash \; phi|$. Por consiguiente, un rayo en un espacio de Hilbert se puede utilizar para representar tal conjunto en mecánicos de quántum. Un conjunto puro corresponde a tener muchas copias del mismo (hasta una fase global) estado de quántum.
Los conjuntos mezclados son descomponibles en una combinación convexa de diversos conjuntos. Un número infinito de descomposiciones distintas será generalmente posible.

Así un conjunto mecánico del quántum es especificado por un estado mezclado en general. Por ejemplo, uno puede especificar los conjuntos canónicos microcanonical, canónicos, y magníficos de la descripción de los operadores de densidad de sistemas mecánicos del quántum, en una manera matemáticamente rigurosa.

El factor de la normalización requerido para que el operador de densidad tenga rastro 1 es la versión mecánica del quántum de la función de partición.

Observamos aquí que los conjuntos de sistema mecánico del quántum son tratados a veces por los físicos en una manera semiclásica del . A saber, uno considera el espacio de fase del sistema clásico correspondiente (e. para un conjunto de osciladores armónicos del quántum, el espacio de fase de un oscilador armónico clásico se considera). Entonces, usar discusiones físicas, una deriva un " conveniente; volume" fundamental; para que el sistema particular refleje el hecho de que los microstates mecánicos del quántum discreto están distribuidos en el espacio de fase. Incierto del principio, se espera este volumen fundamental que se relacionará con el constante de Planck, $\backslash \; hbar$, de cierta manera.

Interpretación operacional

En la discusión dada hasta ahora, mientras que son rigurosos, hemos tomado para dado que la noción de un conjunto es a priori válido, como nos hacemos comúnmente en contexto físico. Qué no se ha demostrado es que el sí mismo (no los resultados consiguientes) del conjunto es un objeto exacto matemáticamente definido. Por ejemplo,

no está claro donde existe este sistema muy grande del de los sistemas (por ejemplo, está un '' gas '' de partículas dentro de un envase ?)

no está claro cómo generar físicamente un conjunto.

En esta sección intentamos contestar parcialmente a esta pregunta.

Suponer que tenemos un procedimiento de la preparación del para un sistema en una física laboratorio: Por ejemplo, el procedimiento pudo implicar un aparato físico y algunos protocolos para manipular el aparato. Como resultado de este procedimiento de la preparación un cierto sistema se produce y se mantiene en el aislamiento para un cierto pequeño periodo de tiempo. Repitiendo este procedimiento de la preparación del laboratorio obtenemos a secuencia del X ₁, X ₂ de los sistemas, …., el k , que del _{del X en nuestra idealización matemática, nosotros asumen es una secuencia infinita de sistemas. Los sistemas son similares en que todos fueron producidos de la misma manera. Esta secuencia infinita es un conjunto.}

En un ajuste del laboratorio, cada uno de éstos los sistemas preparados se pudo utilizar como entrada para el método de prueba subsecuente del del uno . Una vez más el método de prueba implica un aparato físico y algunos protocolos; como resultado de método de prueba obtenemos un sí o el ninguna respuesta de . Dado un E del método de prueba se aplicó a cada sistema preparado, nosotros obtienen una secuencia de valores Meas ( E, X ₁), Meas ( E, X ₂), …., Meas ( k del _{del E, del X ). Cada uno de estos valores es 0 (o ningún) o un 1 (sí).}

Asumir que existe el promedio siguiente del tiempo:

$\backslash \; sigma\; (E)\; =\; \backslash \; lim\_\; \{N\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; operatorname\; \{Meas\}\; (E,\; X\_k)$ Para los sistemas mecánicos del quántum, una asunción importante hecha en El acercamiento de la lógica de Quantum a los mecánicos de quántum es la identificación de las preguntas sí-no del a enrejado de subespacios cerrados de un espacio de Hilbert. Con alguno adicional las asunciones técnicas una pueden entonces deducir que los estados están dados cerca S de los operadores de densidad de modo que: $\backslash \; sigma\; del\; (E)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (E\; S).$

Vemos que esto refleja la definición de los estados de quántum en general: Un estado de quántum es un trazado de los observables a sus valores de expectativa.

Ver también

Matriz de densidad
Función de partición (mecánicos estadísticos)
Conjunto de Microcanonical
Conjunto canónico
Conjunto canónico magnífico
conjunto Isotérmico-isobárico
Espacio de fase
Teorema de Liouville (hamiltoniano)

.

Zenithic

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