En las matemáticas, el conmutador da una indicación del grado a el cual una operación binaria de cierto no puede ser el comutativo. Hay diversas definiciones usadas en la teoría de grupo y la teoría del anillo.

Teoría de grupo

El conmutador del g de dos elementos y del h de un G del grupo es el
'' h '' del
del elemento = ^{&minus de g del ; 1 &minus del h ; 1} gh Es igual a la identidad del grupo si y solamente si el g y el h conmutan (es decir si y solamente si el gh = el hectogramo ). El subgrupo de $G$ generado por todos los conmutadores se llama el grupo derivado o el subgrupo del conmutador del G . Observar que uno debe considerar al subgrupo generado por el sistema de conmutadores porque en general el sistema de conmutadores no es cerrado bajo operación del grupo. Los conmutadores se utilizan para definir el los grupos solubles nilpotent de y . La definición antedicha del conmutador es utilizada por los teóricos del grupo. Muchos otros matemáticos definen el conmutador como
'' h '' del
= ^{&minus del ghg del ; 1 &minus del h ; 1}

Identidades

En la consecuencia el a^x de la expresión denota (por el x ) el x^{&minus conjugado del del elemento; 1}a x .

$=\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash ,$.
X, y^ del $\{-\; 1\}],\; ^y\; \backslash \; cdot\; [[z^\; de\; y\; \{-\; 1\}],\; ^z\; de\; x]\; \backslash \; Z\; del\; cdot,\; x^\; \{-\; 1\}],\; ^x\; =\; 1$.
$y,\; z\; =\; z^y\; \backslash \; cdot\; z$.
$y\; z\; =\; z\; \backslash \; cdot\; y^z$.

La segunda identidad también se sabe bajo el nombre la identidad de Pasillo-Witt del . Es un análogo grupo-teórico de la identidad de Jacobi para el conmutador anillo-teórico (véase la sección siguiente). La cuarta identidad sigue del primera y del tercero. La definición antedicha de la conjugación del un por el x es utilizada por los teóricos del grupo. Muchos otros matemáticos definen conjugación del un por el x como xax^{&minus del ; 1} . Esto se escribe generalmente el ^x a del $\{\}\; (pero\; no\; por\; el\; Harish-Chandra\; ).$

¡Theory< del anillo! -- Esta sección se liga de la álgebra de mentira -->

El conmutador del de dos elementos un y el b de un suenan o una álgebra asociativa es definida por el
'' b '' del
= &minus del ab del ; vagos del Es cero si y solamente si el un y el b conmutan. En la álgebra linear, si dos endomorphisms de un espacio son representados conmutando matrices con respecto a una base, después ellas estar así que representado con respecto a cada base. Usando el conmutador como soporte de la mentira, cada álgebra asociativa se puede dar vuelta en una álgebra de mentira . El conmutador de dos operadores definidos en un espacio de Hilbert es un concepto importante en los mecánicos de Quantum puesto que mide como de bien los dos Observables descritos por los operadores se pueden medir simultáneamente. El principio de incertidumbre es en última instancia un teorema sobre estos conmutadores.

Identidades

El conmutador tiene las características siguientes:

relaciones de la Mentir-álgebra del : ¡$=\; 0\; \backslash ,\; \backslash !$
¡$=\; -\; \backslash ,\; \backslash !$
¡$]\; +]\; +]\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash !$ La segunda relación se llama Anticommutativity, mientras que el tercero es la identidad de Jacobi.

Relaciones adicionales del : ¡$=\; C\; +\; B\; \backslash ,\; \backslash !$
¡$=\; A\; +\; B\; \backslash ,\; \backslash !$
¡$=\; +\; \backslash ,\; \backslash !$
¡$=\; AB\; +\; CA\; +\; A.\; \backslash ,\; \backslash !$
¡ DEL $[A,\; B],\; C],$ + [B, C], D], + [C, D], A], + [D, A], B], = A, C], [B, D \, \!

Si el $A$ es un elemento fijo de un $\backslash \; de\; un\; scriptstyle\; \backslash \; de\; un\; mathfrak\; del\; anillo\; \{R\}$, la primera relación adicional se puede también interpretar como regla de Leibniz para el $\backslash \; el\; scriptstyle\; D\_A\; del\; mapa:\; R\; \backslash \; rightarrow\; R$ dado por el $\backslash \; el\; scriptstyle\; B\; \backslash \; mapsto$. Es decir: el $D\_A$ del mapa define una derivación en el $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; el\; mathfrak\; del\; anillo\; \{R\}$.

La identidad siguiente que implica los conmutadores es también útil:
e^ del $del$

{A} Be^ {- A} =B++ \ frac {1} {2!}] + \ frac {1} {3!}]] +…

Anillos calificados y álgebra

Cuando el ocuparse calificó las álgebra, el conmutador es substituido generalmente por el conmutador calificado, definido en componentes homogéneos como el $\backslash \; \_\; \{GR\}:\; =\; \backslash \; Omega\; \backslash \; eta\; -\; (-\; 1)\; ^\}\; \backslash \; eta\; \backslash \; omega$ {\ grado \ Omega \ grado \ eta

Derivaciones

Especialmente si uno trata de los conmutadores múltiples, otra notación resulta ser útil implicando la representación de Adjoint:

$\backslash \; operatorname\; \{anuncio\}\; (x)\; (y)\; =\; Y.$

Entonces el $\{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; (x)$ es una derivación y el $\{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}$ es linear, el es decir, operatorname del $\{\backslash \; el\; anuncio\}\; del\; rm\; (x+y)=\; \{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; (x)+\; \{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; (y)$ y $\{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; el\; x)=\; \backslash \; lambda\; (\backslash \; lambda\; \backslash ,\; \backslash \; \{anuncio\}\; (x)$, y un homomorfismo de la álgebra de mentira, un anuncio es decir de, del $\{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; (y)=\}\; (x),\; \{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; (y)$, solamente él es el no siempre un homomorfismo de la álgebra, es decir el $\backslash \; el\; operatorname\; de\; la\; identidad\{anuncio\}\; =\; (xy)\; \backslash \; operatorname\; \{anuncio\}\; de\; (x)\; \backslash \; del\; operatorname\; \{anuncio\}\; (y)$ no sostiene en general /B>.

Ejemplos:
$\{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; (x)\; \{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; (x)\; (y)\; =\; \backslash ,]$
$\{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; (x)\; \{\backslash \; anuncio\; del\; rm\}\; (a+b)\; (y)\; =\; \backslash ,]$

Ver también

Anticommutativity
Derivación (álgebra abstracta)
Derivado de Pincherle
Soporte de Poisson
Relación de conmutación canónica

.

Zenithic

Portage Township, Houghton County, Michigan

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