coordenadas bipolares del dos-centro

Los coordenadas bipolares son un sistema coordinado ortogonal de dos dimensiones . Hay dos tipos comúnmente definidos de coordenadas bipolares. El otro sistema es los coordenadas bipolares del Dos-centro. Hay también el tercer sistema coordinado que basó en dos postes (el Biangular coordina ). Primero se basa en El Apollonian circunda . Las curvas del $constante\; \backslash \; sigma$ y del $\backslash \; tau$ son los círculos que se intersecan perpendicularmente. Los coordenadas tienen dos el $F\_\; de\; los\; focos\; \{1\}$ y $F\_\; \{2\}$, que se toman generalmente para ser fijados en el $(-\; a,\; 0)$ y el $(a,\; 0)$, respectivamente, en el $x$-axis de un sistema coordinado de cartesiano.

Los coordenadas bipolares forman la base para varios sistemas de los coordenadas ortogonales tridimensional. Los coordenadas cilíndricos bipolares son producidos proyectando en el $z$-direction. Los coordenadas de Bispherical son producidos girando los coordenadas bipolares sobre el $x$-axis, es decir, el eje que conecta los focos, mientras que los coordenadas toroidales son producidos girando los coordenadas bipolares sobre el $y$-axis, es decir, el eje que separa los focos.

Los usos clásicos de coordenadas bipolares consisten en solucionar las ecuaciones diferenciales parciales, e., ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para la cual los coordenadas bipolares permiten una separación de las variables . Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea dos conductores cilíndricos paralelos.

El " del término; bipolar" se utiliza a veces para describir otras curvas que tienen dos puntos singulares (focos), por ejemplo las hipérbolas de las elipses y los óvalos de Cassini sin embargo, los coordenadas bipolares término son reservados para los coordenadas descritos aquí, y nunca usados para describir los coordenadas asociados a esas otras curvas, tales como coordenadas elípticos .

Definición básica

La definición más común del $bipolar\; de\; los\; coordenadas\; (\backslash \; del,\; \backslash \; tau\; de\; la\; sigma)$ es

$x\; =\; \backslash \; \backslash \; frac\; de\; a\; \{\backslash \; sinh\; \backslash \; tau\}\; \{\backslash \; -\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; sigma\; del\; garrote\; \backslash \; tau\}$

$y\; =\; \backslash \; \backslash \; frac\; de\; a\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; sigma\}\; \{\backslash \; -\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; sigma\; del\; garrote\; \backslash \; tau\}$

donde el coordenada del $\backslash \; sigma$ de un punto $P$ iguala el $F\_\; del\; ángulo\; \{1\}\; P\; F\_\; \{2\}$ y el coordenada del $\backslash \; tau$ iguala el logaritmo natural del cociente del $d\_\; de\; las\; distancias\; \{1\}$ y del $d\_\; \{2\}$ a los focos

$\backslash \; tau\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; frac\; \{d\_\; \{1\}\}\; \{d\_\; \{2\}\}$

(Memoria que el $F\_\; \{1\}$ y el $F\_\; \{2\}$ están situados en el $(-\; a,\; 0)$ y el $(a,\; 0)$, respectivamente.)

Curvas del σ y del τ constantes

Las curvas del $constante\; \backslash \; sigma$ corresponden a los círculos non-concentric

$x^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ido\; (y\; -\; a\; \backslash \; choza\; \backslash \; sigma\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{a^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sin^\; \{2\}\; \backslash \; sigma\}$

eso se interseca en los dos focos. Los centros de los círculos del constant-$\backslash \; sigma$ mienten en el eje de $y$. Los círculos del $positivo\; \backslash \; sigma$ se centran sobre el x - eje, mientras que los de la mentira negativa del $\backslash \; sigma$ debajo del eje. Como el $de\; la\; magnitud\; \backslash \; ido|\; \backslash \; sigma\; \backslash \; derecho|$ aumenta, el radio de los círculos disminuye y el centro se acerca al origen (0.0), se alcanza que cuando el $\backslash \; se\; fue|\; \backslash \; sigma\; \backslash \; derecho|\; =\; \backslash \; pi/2$, su valor máximo.

Las curvas del $constante\; \backslash \; tau$ son círculos non-intersecting de diversos radios

$y^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ido\; (x\; -\; a\; \backslash \; coth\; \backslash \; tau\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{a^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sinh^\; \{2\}\; \backslash \; tau\}$

ese anillo los focos pero no es otra vez concéntrico. Los centros de los círculos del constant-$\backslash \; tau$ mienten en el eje de $x$. Los círculos del $positivo\; \backslash \; tau$ mienten en el lado derecho del plano ( x >0), mientras que los círculos del $negativo\; \backslash \; tau$ mienten en el lado izquierdo del plano ( x <0). La curva del $\backslash \; tau=0$ corresponde al y - eje ( x =0). Mientras que la magnitud del $\backslash \; tau$ aumenta, el radio de los círculos disminuye y sus centros se acercan a los focos.

Factores de posicionamiento

Los factores de posicionamiento para el $bipolar\; de\; los\; coordenadas\; (\backslash ,\; \backslash \; tau\; de\; la\; sigma)$ son iguales

$h\_\; \{\backslash \; sigma\}\; =\; =\; \backslash \; frac\; \{a\}\; del\; h\_\; \{\backslash \; tau\}\; \{\backslash \; -\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; sigma\; del\; garrote\; \backslash \; tau\}$

Así, los iguales infinitesimales del elemento de área

$DA\; =\; \backslash \; frac\; \{a^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; -\; dejado\; (\backslash \; del\; garrote\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; sigma\; \backslash \; derecho\; \backslash \; tau)\; 2\}\}\; \backslash \; d\; \backslash \; sigma\; d\; \backslash \; tau\; del\; ^\; \{$

y el Laplacian se da cerca

$\backslash \; nabla^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{a^\; \{2\}\}\; \backslash \; salió\; (\backslash \; -\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; sigma\; \backslash \; derecho\; del\; garrote\; \backslash \; tau)\; del\; ^\; \{2\}\; \backslash \; se\; fue\; (\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; sigma^\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; tau^\; \{2\}\}\; \backslash \; derecho)$

Otros operadores diferenciados tales como $\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}$ y $\backslash \; nabla\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{F\}$ pueden ser expresados en el $de\; los\; coordenadas\; (\backslash ,\; \backslash \; tau\; de\; la\; sigma)$ substituyendo los factores de posicionamiento en las fórmulas generales encontradas en los coordenadas ortogonales .