Los coordenadas esferoidales obleados son un sistema coordinado ortogonal tridimensional que resulta de girar el sistema coordinado elíptico de dos dimensiones sobre el eje no prioritario de la elipse, es decir, el eje de la simetría que separa los focos. Así, los dos focos se transforman en un anillo del radio $a$ en el plano de $xy$. (La rotación sobre el otro eje produce los coordenadas esferoidales prolatos .)

Este sistema coordinado es particularmente útil cuando las condiciones de límite de una ecuación diferencial se definen en un esferoide obleado o un hyperboloid de la revolución (e. un inyector) o, en los casos degenerados, de un disco de la circular (μ =0) o en un plano con un agujero de la circular (ν =0).

Definición básica

$x\; =\; \backslash \; \backslash \; garrote\; \backslash \; MU\; de\; a\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; phi\; de\; lechuga\; romana\; \backslash \; NU$

$y\; =\; \backslash \; \backslash \; garrote\; \backslash \; MU\; de\; a\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; pecado\; \backslash \; phi\; de\; lechuga\; romana\; \backslash \; NU$

$z\; =\; a\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; pecado\; \backslash \; NU\; del\; sinh\; \backslash \; MU$

donde está un número verdadero y un $el$ \backslash \; mu$no\; negativos\; \backslash \; NU\; \backslash \; en\; \backslash \; pi/2)$. El $azimutal\; \backslash \; phi$ del ángulo pertenece al $del\; intervalo\; [0,\; 2\; \backslash \; pi)$.

La identidad trigonométrica

$\backslash \; frac\; \{x^\; \{2\}\; +\; y^\; \{2\}\}\; \{a^\; \{2\}\; \backslash \; cosh^\; \{2\}\; \backslash \; MU\}\; +\; \backslash \; frac\; \{z^\; \{2\}\}\; \{a^\; \{2\}\; \backslash \; sinh^\; \{2\}\; \backslash \; MU\}\; =\; \backslash \; cos^\; \{2\}\; \backslash \; NU\; +\; \backslash \; sin^\; \{2\}\; \backslash \; NU\; =\; 1$

demuestra que las superficies del $constante\; \backslash \; mu$ forman los esferoides obleados, puesto que son las elipses giradas sobre el eje separación de sus focos. Semejantemente, la identidad trigonométrica hiperbólica

$\backslash \; frac\; \{x^\; \{2\}\; +\; y^\; \{2\}\}\; \{a^\; \{2\}\; \backslash \; cos^\; \{2\}\; \backslash \; NU\}\; -\; \backslash \; frac\; \{z^\; \{2\}\}\; \{a^\; \{2\}\; \backslash \; sin^\; \{2\}\; \backslash \; NU\}\; =\; \backslash \; cosh^\; \{2\}\; \backslash \; MU\; -\; \backslash \; sinh^\; \{2\}\; \backslash \; MU\; =\; 1$

demuestra que las superficies del $constante\; \backslash \; nu$ forman Hyperboloids de la revolución.

Factores de posicionamiento

Los factores de posicionamiento para el $\backslash \; mu$ de los coordenadas y el $\backslash \; nu$ son iguales

$h\_\; \{\backslash \; MU\}\; =\; h\_\; \{\backslash \; NU\}\; =\; a\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; sinh^\; \{2\}\; \backslash \; MU\; +\; \backslash \; sin^\; \{2\}\; \backslash \; NU\}$

considerando que los iguales azimutales del factor de posicionamiento

$h\_\; \{\backslash \; phi\}\; =\; \backslash \; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; NU\; de\; a\; \backslash \; del\; garrote\; \backslash \; MU$

Por lo tanto, iguales infinitesimales de un elemento de volumen

$\backslash \; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; NU\; del\; dV\; =\; del\; a^\; \{3\}\; \backslash \; del\; garrote\; \backslash \; MU\; \backslash \; \backslash \; (\backslash \; sinh^\; \{2\}\; \backslash \; MU\; +\; \backslash \; sin^\; \{2\}\; \backslash \; NU\; \backslash \; derecho)\; d\; dejada\; \backslash \; MU\; d\; \backslash \; NU\; d\; \backslash \; phi$

y el Laplacian puede ser escrito

$\backslash \; nabla^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{a^\; \{2\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; sinh^\; \{2\}\; \backslash \; MU\; +\; \backslash \; sin^\; \{2\}\; \backslash \; NU\; \backslash \; derechos)\}\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; frac\; del\; garrote\; \backslash \; MU\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; MU\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; garrote\; \backslash \; MU\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; MU\}\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; frac\; de\; lechuga\; romana\; \backslash \; NU\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; NU\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; NU\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; NU\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho]\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{a^\; \{2\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; cosh^\; \{2\}\; \backslash \; MU\; \backslash \; cos^\; \{2\}\; \backslash \; NU\; \backslash \; derechos)\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; phi^\; \{2\}\}$

Otros operadores diferenciados tales como $\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}$ y $\backslash \; nabla\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{F\}$ pueden ser expresados en el $de\; los\; coordenadas,\; \backslash \; NU\; (\backslash \; MU)$ substituyendo los factores de posicionamiento en las fórmulas generales encontraron en los coordenadas ortogonales .

Definición alternativa

Una alternativa y un sistema geométrico intuitivo del $esferoidal\; obleado\; de\; los\; coordenadas\; (\backslash \; de,\; \backslash \; phi,\; \backslash \; tau\; de\; la\; sigma)$ se utilizan a veces, donde = \ garrote \ mu del $\backslash \; de\; la\; sigma\; y$ \backslash \; tau\; =\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; nu$.\; Por\; lo\; tanto,\; las\; curvas\; del$ constante\; \backslash \; sigma$son\; esferoides\; prolatos,\; mientras\; que\; las\; curvas\; del$ constante\; \backslash \; tau$son\; hyperboloids\; de\; la\; revolución.\; El$ coordinado\; \backslash \; tau$pertenece\; al\; intervalo\; 1,\; mientras\; que\; el\; coordenada\; del$ \backslash \; sigma$debe\; ser\; mayor\; o\; igual\; uno.\; El$ de\; los\; coordenadas\; (\backslash \; sigma$y$ \backslash \; tau$tiene\; una\; relaciónsimplea\; las\; distancias\; al\; anillo\; focal.\; Para\; cualquier\; punto,\; el$ d\_\; de\; lasumadel\; \{1\}\; +d\_\; \{2\}$de\; sus\; distancias\; al\; anillo\; focal\; iguala$ 2a\; \backslash \; sigma$,\; mientras\; que\; su\; d\_\; del$ d\_\; de\; la\; diferencia\; del\; \{1\}\; -\; \{2\}$iguala$ 2a\; \backslash \; tau$.\; Así,\; el\; "\; far"\; ladistanciaal\; anillo\; focal\; es\; el$ a\; (\backslash \; sigma+\; \backslash \; tau)$,\; mientras\; que\; el\; "\; near"\; la\; distancia\; es\; el$ a\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; tau)$.$

Desafortunadamente, los coordenadas obleados del esferoide no tienen una 1 transformación to-1 a los coordenadas cartesianos

$x\; =\; a\; \backslash \; sigma\; \backslash \; tau\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; phi$

$y\; =\; a\; \backslash \; sigma\; \backslash \; tau\; \backslash \; pecado\; \backslash \; phi$

$z^\; \{2\}\; =\; a^\; \{2\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; sigma^\; \{2\}\; -\; 1\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; dejado\; (1\; -\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; \backslash \; derechos)$

Factores de posicionamiento alternativos

Los factores de posicionamiento para el $esferoidal\; obleado\; alternativo\; de\; los\; coordenadas\; (\backslash ,\; \backslash \; phi,\; \backslash \; tau\; de\; la\; sigma)$ son

$h\_\; \{\backslash \; sigma\}\; =\; a\; \backslash raíz\; cuadrada\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; +\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; del\; sigma^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma^\; \{2\}\; +\; 1\}\}$

$h\_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; -\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; de\; a\; \backslash \; de\; la\; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; +\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; del\; sigma^\; \{2\}\}\; \{1\}\}$

considerando que el factor de posicionamiento azimutal es $h\_\; \{\backslash \; phi\}\; =\; a\; \backslash \; la\; sigma\; \backslash \; tau$.

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal puede ser escrito

$dV\; =\; a^\; \{3\}\; \backslash \; sigma\; \backslash \; tau\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; +\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; del\; sigma^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; dejado\; (\backslash \; sigma^\; \{2\}\; +\; 1\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; dejado\; (1\; -\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; \backslash \; derechos)\}\}\; d\; \backslash \; sigma\; d\; \backslash \; tau\; d\; \backslash \; phi$

y los iguales de Laplacian

$\backslash \; nabla^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{a^\; \{2\}\; \backslash \; dejados\; (\backslash \; +\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; del\; sigma^\; \{2\}\; \backslash \; derechos)\}\; \backslash \; ido\; \backslash \; \{\; \backslash \; el\; frac\; \{\backslash \; parciales\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; sigma\}\; \backslash \; se\; fueron\; \backslash \; ido\; (\backslash \; sigma^\; \{2\}\; +\; 1\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; sigma\}\; \backslash \; derecho]\; +\; \backslash \; el\; frac\; \{\backslash \; parciales\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; se\; fueron\; \backslash \; ido\; (1\; -\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; derecho]\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{a^\; \{2\}\; \backslash \; dejados\; (\backslash \; sigma^\; \{2\}\; +\; 1\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; dejado\; (1\; -\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; phi^\; \{2\}\}$

Otros operadores diferenciados tales como $\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}$ y $\backslash \; nabla\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; mathbf\; \{F\}$ pueden ser expresados en el $de\; los\; coordenadas\; (\backslash ,\; \backslash \; tau\; de\; la\; sigma)$ substituyendo los factores de posicionamiento en las fórmulas generales encontradas en los coordenadas ortogonales .

Al igual que el caso con los coordenadas esféricos, la ecuación de Laplaces se puede solucionar por el método de separación de las variables para rendir soluciones bajo la forma de armónicos esferoidales obleados, que son convenientes utilizar cuando las condiciones de límite se definen en una superficie con un coordenada esferoidal obleado constante (véase a Smythe, 1968).