El copo de nieve de Koch del (o la estrella de Koch del ) es una curva matemática y una de las curvas más tempranas del fractal haber sido descrito. Apareció en un 1904 empapela el " dado derecho; En una curva continua sin las tangentes, construibles de geometry" elemental; (título francés original del : " El courbe del une de Sur continúa sin el tangente, élémentaire" del géométrique de la construcción del une de la igualdad del obtenue; ) por el sueco Helge von Koch del matemático . La curva menos conocida de Koch del es igual que el copo de nieve, excepto él comienza con una línea segmento en vez de un triángulo equilateral . La curva de Koch es un caso especial de la curva de De Rham.
Uno puede imaginarse que fue creado comenzando con una línea segmento, entonces alterando recurrentemente cada línea segmento como sigue: dividir la línea segmento en tres segmentos de la longitud igual.
Después de hacer esto una vez que el resultado es una forma similar a la estrella de David .
La curva de Koch es el límite acercado como los pasos antedichos se sigue una y otra vez.
La curva de Koch tiene una longitud infinita porque cada vez que los pasos antedichos se realizan en cada línea segmento de la figura hay cuatro por tanta línea segmentos, la longitud de cada uno que es una mitad de la longitud de los segmentos en la etapa anterior. Por lo tanto los aumentos de la longitud total por una mitad y la longitud en el n del paso serán así (4/3)n: la dimensión del fractal es el ≈ 1.26 del registro 4/log 3, mayor que la dimensión de una línea (1) pero menos que curva compilación de s de Peano de ' (2).
La curva de Koch es el continuo pero no el diferenciable dondequiera.
El área del copo de nieve de Koch es , donde está la medida el s de un lado del triángulo original, y así que un perímetro infinito incluye un área finita.
Según lo observado en el artículo sobre la serie geométrica, el área del copo de nieve de Koch es 8/5 de las épocas el área del triángulo bajo.
Representación como sistema de Lindenmayer
La curva de Koch se puede expresar por un sistema (sistema de la reescritura de Lindenmayer). alfabeto dell : Constantes del
de F: +, − axioma del
: Reglas de producción del del
de F++F++F : &rarr del
F; F− F++F− F
Aquí, el F significa el " forward" del drenaje;, el + significa el " dar vuelta a 60°" derecho;, y - significa el " dar vuelta a 60°" izquierdo; (véase los gráficos de tortuga ).
Puestas en práctica
Debajo están una variedad de puestas en práctica del copo de nieve de Koch.
Insignia
Debajo está una puesta en práctica recurrente en la insignia . Puede ser probada con la mayoría de las puestas en práctica de la insignia, o en línea con la puesta en práctica XLogo de Java . Intentar el comienzo, koch 100 del al koch: x repetición 3: x rt 120 extremo al triline: x si: x < 1: x: x/3 triline del lt 60: triline de x/3 rt 120: x/3 triline del lt 60: x/3 extremo DEJAR A 5 ; calcular la lado-longitud ajustada DEJAR B 243 REPETIR A DEJAR B B/3 DESPUÉS ; colocar el indicador PUNTO 150 MOVIMIENTO 140 PUNTO 0 ; comienzo VA EL LADO La DERECHA 120 VA EL LADO La DERECHA 120 VA EL LADO ; finished. EXTREMO ; lazo principal # LADO VA F IZQUIERDA 60 VA F La DERECHA 120 VA F IZQUIERDA 60 VA F VUELTA ; delantero # F SI A > 1 ; ir más profundo dependiendo de nivel DEJAR un A-1 VA EL LADO DEJAR un A+1 ; o apenas hacer una sola línea DIBUJAR B ENDIF VUELTA tortuga de la importación set=" F" para i en gama (5): set=set.replace (" F", " FLFRFLF") turtle.down () para el movimiento en sistema: si el movimiento es " F": turtle.0/3 ** i) si el movimiento es " L": turtle.left (60) si el movimiento es " R": turtle.right (120) entrada () El programa se puede modificar fácilmente para demostrar el copo de nieve entero: tortuga de la importación set=" F" para i en gama (5): set=set.replace (" F", " FLFRFLF") set=set+" R" +set+" R" +set turtle.down () para el movimiento en sistema: si el movimiento es " F": turtle.0/3 ** i) si el movimiento es " L": turtle.left (60) si el movimiento es " R": turtle.right (120) entrada () rt 30 de la llamada. Tortuga del Web
Aquí sigue una puesta en práctica de la muestra de la curva de Koch para una robusteza de la tortuga del escrita en una insignia - como lengua. Puede ser probada en línea con la tortuga del Web. Cambiar el valor de A en la primera línea a cualquier número a partir de la 1 a 5 para ver los diversos niveles de complejidad. Pitón
Aquí está la curva de Koch en pitón. Variantes de la curva de von Koch
Después del concepto de von Koch, varias variantes de la curva de von Koch fueron diseñadas, considerando los ángulos rectos (cuadráticos), otros ángulos (Cesaro) o los círculos y sus extensiones a dimensiones más altas (Sphereflake), Ver también
lista fractales por la dimensión de Hausdorff
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