En la teoría de la categoría, el coproduct, o la suma categórica, es la construcción categoría-teórica que incluye el desune la unión de los sistemas y el de los espacios topológicos, el producto libre de los grupos, y la suma directa de módulos y de espacios de vector. El coproduct de una familia de objetos es esencialmente el " la mayoría del general" oponerse a cuál admite cada objeto en la familia un morphism. Es la noción dual categoría-teórico al producto categórico, que significa que la definición es igual que el producto pero con todas las flechas invertidas. A pesar de este cambio de inofensivo-mirada en el nombre y la notación, los coproducts pueden estar y son típicamente dramáticamente diferentes de productos.

Definición

La definición formal es como sigue: Dejar el C ser una categoría y dejar {el X_j : &isin del j ; El J } sea una familia puesta en un índice de objetos en el C . El coproduct del sistema { X_j } es un X del objeto junto con una colección del i_j de Morphisms : X_j → X (llamado el inyecciones canónicas 'aunque no necesiten ser las inyecciones o aún el monic) que satisfacen una característica universal : para cualquie del objeto Y y cualquie colección de de los morphisms f_j: X_j → El de Y, allí existe un único del morphism f del de X al de Y tales que de f_j = del O i_j de f. Es decir, el siguiente del diagrama conmuta (para cada de j):

El coproduct de la familia { de X_j} es a menudo = denotado \ coprod_ {j \ en J} X_j del $del\; X\; o\; =\; \backslash \; bigoplus\_\; \{j\; \backslash \; en\; J\}\; X\_j.$ del $X\; del$

A veces el del morphism f puede ser f_j denotado del $f=\; \backslash \; del\; coprod\_\; del\; \{j\; \backslash \; en\; J\}:\; \backslash \; coprod\_\; \{j\; \backslash \; en\; J\}\; X\_j\; \backslash \; a\; Y$ para indicar su dependencia del individual del _{j del de f.}

Si la familia de objetos consiste en solamente dos miembros el producto se escribe generalmente el ₂ del ∐ X del ₁ de X o el ₂ del ⊕ X del ₁ de X o a veces simplemente el de X el ₂ de ₁ + de X, y el diagrama toma la forma:

El único de la flecha f que hace este diagrama conmuta es entonces el correspondientemente denotado ₂ del ∐ f del ₁ de f o el ₂ del ⊕ f del ₁ de f o de f el ₂ de ₁ + de f o '' f '' ₂.

Ejemplos

El coproduct en la categoría de sistemas que es el del desune simplemente la unión con el i_j de los mapas que es los productos directos desemejante de los mapas de la inclusión los coproducts de en otras categorías no son todos basados obviamente en la noción para los sistemas, porque las uniones no se comportan bien con respecto a preservar operaciones (e. la unión de dos grupos no necesita ser un grupo), y así que los coproducts en diversas categorías pueden ser dramáticamente diferentes de uno a. Por ejemplo, el coproduct en la categoría de los grupos, llamó el del el producto libre, es absolutamente complicado. Por una parte, en la categoría de los grupos abelianos (e igualmente los espacios de vector ), el coproduct, pidió el del la suma directa, consiste en los elementos del producto directo que tienen solamente finito muchos términos diferentes a cero (éste por lo tanto coincide exactamente con el producto directo, en el caso finito de muchos factores). Por consiguiente, desde la mayoría introductorio que los cursos de la álgebra linear se ocupan solamente de los espacios de vector dimensionales finito, nadie oye realmente mucho sobre sumas directas hasta después.

En el caso de espacios topológicos que son los coproducts de desunir las uniones con su desunen las topologías de la unión. Eso es él es una unión de la desunión de los sistemas que son la base, y los sistemas abiertos son de los sistemas abierto en cada uno de los espacios, en un sentido algo evidente. En la categoría de fundamental señalado de los espacios en la teoría de Homotopy, el coproduct es la suma (que de la cuña asciende a ensamblar una colección de espacios con los puntos bajos en un punto bajo común).

A pesar de toda esta desemejanza, todavía hay, en el corazón de los asuntos, una unión de la desunión: la suma directa de grupos abelianos es el grupo generado por el " almost" desunir la unión (desunir la unión de todos los elementos diferentes a cero, junto con un cero común), semejantemente para los espacios de vector: el del espacio atravesó por el " almost" desunir la unión; el producto libre para los grupos es generado por el sistema de todas las letras de un " similar; casi disjoint" unión donde no se permite ningunos dos elementos de diversos sistemas conmutar.

Discusión

La construcción del coproduct dada arriba es realmente un caso especial de un Colimit en teoría de la categoría. El coproduct en un C de la categoría se puede definir como el colimit de cualquier functor de un discreto J de la categoría en el C . No cada familia { j del _{del X } tendrá un coproduct generalmente pero si lo hace, después el coproduct es única en un sentido fuerte: si j} del _{del i : j} del _{del X y del k del → del j} del _{del X : El Y del → del j} del _{del X es dos coproducts de la familia { j} del _{del X }, después (por la definición de coproducts) existe un único f del isomorfismo : Y del → del X tales que j del del i = j}   del _{del k ; f para cada j en el J .}

Como con cualquier característica universal, el coproduct se puede entender como morphism universal. Dejar Δ: El C del × del C del → del C sea el functor diagonal que asigna a cada X del objeto los pares pedidos ( X, X ) y a cada f del morphism: Y del → del X los pares ( f, f ). Entonces el X del coproduct + el Y en el C es dado por un morphism universal al functor Δ del objeto ( X, Y ) en el C del × del C .

El coproduct puesto en un índice por el sistema vacío (es decir, un coproduct vacío ) es igual que un objeto de la inicial en el C .

Si el J es un sistema tales que existen todos los coproducts para las familias puestas en un índice con el J, después es posible elegir los productos en una manera compatible de modo que el coproduct dé vuelta en un C del → del J del ^{del C de Functor . El coproduct de la familia { j del _{del X } entonces es denotado a menudo por el j} del _{del X del j} del ∐_{, y los mapas que el j} del _{del i se conoce como las inyecciones naturales .}}

Dejando Hom _C ( U, V ) denotan sistema de todo el morphisms de U a V en C (es decir, un Hom-fijó en el C ), nosotros tienen natural isomorfismo

$\backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; \_C\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; coprod\_\; \{j\; \backslash \; en\; J\}\; X\_j,\; Y\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; cong\; \backslash \; prod\_\; \{j\; \backslash \; en\; J\}\; \backslash \; \_C\; del\; operatorname\; \{Hom\}\; (X\_j,\; Y)$ dado por bijection que traza cada Tuple de morphisms

$(f\_j)\; \_\; \{j\; \backslash \; en\; J\}\; \backslash \; en\; \backslash \; prod\_\; \{j\; \backslash \; en\}\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (X\_j,\; Y)$ de J (producto en determinado, categoría de sistema, que es el producto de cartesiano, así que él es tuple de morphisms) a morphism

$\backslash \; coprod\_\; \{j\; \backslash \; en\; J\}\; f\_j\; \backslash \; en\; \backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; de\; Hom\; (\backslash \; coprod\_\; \{j\; \backslash \; en\; J\}\; X\_j,\; Y\; \backslash \; derecho).$ Que este mapa es un surjection sigue del commutativity del diagrama: cualquier f del morphism es el coproduct del _ del $del\; del\; tuple\; (i\_j\; de\; f\; \backslash \; del\; circ)\; \{j\; \backslash \; en\; J\}.$ Que es una inyección sigue de la construcción universal que estipula la unicidad de tales mapas. El naturality del isomorfismo es también una consecuencia del diagrama. Así el contravariant Hom-functor cambia coproducts en productos. Indicó otra manera, el hom-functor, visto como functor enfrente del C ^opp de la categoría al que determinado es continuo; preserva límites (un coproduct en el C es un producto en el C ^opp).

Si el J es un sistema finito, decir el J = {1,…, n }, después el producto del X ₁ de los objetos,…, el n del _{del X es denotado a menudo por el n} del _{del X del ⊕ del X 1⊕…. Suponer que todos los coproducts finitos existen en el C, los functors del coproduct se han elegido como arriba, y 0 denota el objeto de la inicial C que corresponde al coproduct vacío. Entonces tenemos isomorphisms naturales : $X\; \backslash \; oplus\; (Y\; \backslash \; oplus\; Z)\; \backslash \; cong\; (X\; \backslash \; oplus\; Y)\; \backslash \; oplus\; Z\; \backslash \; cong\; X\; \backslash \; oplus\; Y\; \backslash $ X\; del\; del\; oplus\; Z$\backslash $ X\; oplus\; 0\; \backslash \; cong\; 0\; \backslash \; oplus\; X\; \backslash \; simeq\; X$\backslash \; oplus\; Y\; \backslash \; cong\; Y\; \backslash \; oplus\; X$ Estas características son formalmente similares a las de un monoide comutativo ; una categoría con los coproducts finitos es una categoría simétrica de Monoidal.}

Si la categoría tiene un Z del objeto cero, después tenemos único Z del → del X del morphism (puesto que el Z es el terminal ) y así un Y del ⊕ del Z del → del Y del ⊕ del X del morphism. Puesto que el Z es también inicial, tenemos un canónico Y del ≅ del Y del ⊕ del Z del isomorfismo como en el párrafo precedente. Tenemos así Y del → del Y del ⊕ del X y del X del → del Y del ⊕ del X de los morphisms, por el cual deducimos un canónico Y del × del X del → del Y del ⊕ del X del morphism. Esto se puede ampliar por la inducción a un morphism canónico de cualquier coproduct finito al producto correspondiente. Este morphism no necesita en general sea un isomorfismo; en el Grp es un monomorfismo apropiado mientras que en el determinado _* es un apropiado Epimorphism . En cualquier categoría de Preadditive, este morphism es un isomorfismo y el objeto correspondiente se conoce como el biproducto . Una categoría con todos los biproductos finitos se conoce como categoría aditiva .

Coproducts es realmente casos especiales Colimits en teoría de la categoría. El coproduct se puede definir como el colimit de una subcategoría discreta en el C . Sigue que si los coproducts existen en una categoría dada (no los necesitan) son único hasta al isomorfismo único que respeta las inyecciones.

Si todas las familias de objetos puestos en un índice por el J tienen coproducts en el C, después el coproduct abarca un C del → del J del ^{del C del functor. Observar que, como el producto, este functor es la covariante del .}

Ver también

Producto
Límites y colimits
Coequalizer
Límite directo

.

Zenithic

Coproduct

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