En la física, está esa formulación el cuadro de Heisenberg del de los mecánicos de Quantum donde los operadores (los observables y otros) es dependiente del tiempo y los vectores de estado son independientes del tiempo. Se coloca en contraste con el cuadro de Schrödinger en el cual los operadores son constantes y los estados se desarrollan a tiempo.

El " " del cuadro de Heisenberg del ; no es ser confundida con los mecánicos de matriz que a veces se llama los mecánicos de quántum de Heisenberg.

Detalles matemáticos

En los mecánicos de Quantum en el cuadro de Heisenberg del el vector de estado, $|\backslash \; la\; PSI\; \backslash \; sonó$ no cambia con tiempo, y un observable A satisface $del$

l \ ^ de A= del frac {d} {despegue} (i \ hbar) {- 1} + \ (\ frac {\ A parcial} {\ t parcial} \ derecho) _ \ mathrm dejados {clásico}.

En un cierto sentido, el cuadro de Heisenberg es más natural y fundamental que el cuadro de Schrödinger, especialmente para las teorías relativistas . La invariación de Lorentz es manifesta en el cuadro de Heisenberg.

Por otra parte, la semejanza a la física clásica se considera fácilmente: substituyendo el conmutador arriba por el soporte de Poisson, la ecuación de Heisenberg del se convierte en una ecuación en los mecánicos hamiltonianos .

Por el teorema de Piedra-von Neumann, el cuadro de Heisenberg y el cuadro de Schrödinger son unitario equivalente.

Ver también el cuadro de Schrödinger.

Derivación de la ecuación de Heisenberg

Suponer que tenemos un observable A (que sea operador linear hermitiano). El valor de expectativa de A para un $dado\; del\; estado|\backslash \; PSI\; (t)\; \backslash \; sonó$ se da cerca: el $del$

l \ el lang A \ sonaron = del _ {t} \ lang \ PSI (t) | A | \ PSI (t) \ sonó

o si escribimos el siguiente de la ecuación de Schrödinger

$|\; \backslash \; la\; PSI\; (t)\; \backslash \; sonó\; =\; e^\; \{-\; el\; iHt/\backslash \; hbar\}\; |\; \backslash \; la\; PSI\; (0)\; \backslash \; sonó$

(donde está el H el hamiltoniano y el ħ es constante de Planck dividido por el 2· π ) conseguimos el $del$

l \ el lang A \ sonaron = \ lang \ PSI (0) del _ {t} | e^ del e^ {iHt/\ hbar} A {- iHt/\ hbar} | \ la PSI (0) \ sonó,

y definimos tan $A\; del$

l (t): = e^ del e^ {iHt/\ hbar} A {- iHt/\ hbar}.

Ahora, _ \ mathrm del $del$

l {d \ sobre despegue} A (t) = {i \ sobre \ hbar} + \ dejado del e^ del e^ de H {iHt/\ hbar} A {- iHt/\ hbar} (\ frac {\ A parcial} {\ t parcial} \ derecho) {clásico} + {i \ sobre \ hbar} e^ {iHt/\ hbar} A \ e^ del cdot (- H) {- iHt/\ hbar}

(distinguiendo según la regla del producto), $del$

l = {i \ sobre \ hbar} e^ {iHt/\ hbar} \ (H A - un H \ derecho) e^ dejado {- iHt/\ hbar} + \ (\ frac {\ A parcial} {\ t parcial} \ derecho) _ \ mathrm dejados {clásico} = {i \ sobre \ hbar} \ (H A (t) - + \ dejado de A (t) H \ derecho) (\ frac {\ A parcial} {\ t parcial} \ derecho) _ \ mathrm dejados {clásico}

(el paso pasado es válido desde entonces: el e^ del $\{-\; iHt/\backslash \; hbar\}$ conmuta con el H ) $del$

l = {i \ sobre \ hbar} H, _ de A (t) + \ dejado (\ frac {\ A parcial} {\ t parcial} \ derecho) \ mathrm {clásico} (donde está el conmutador de dos operadores y definido como: =   XY del ; −   YX )

Tan conseguimos el _ \ el mathrm del $del\; \{d\; \backslash \; sobre\; despegue\}\; A\; (t)\; =\; \{i\; \backslash \; sobre\; \backslash \; hbar\}\; H,\; A\; (t)\; +\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; A\; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \backslash \; derecho)\; \{clásicos\}.$

Hacer uso de la identidad del operador $del$

l {e^ del e^B A {- B}} = A + + \ frac {1} {2!} ] + \ frac {1} {3!}]] + \ cdots

vemos que para un observable independiente del tiempo A, conseguimos: ¡$A\; (-\; \backslash \; frac\; \{t^\; \{2\}\; de\; t)=A+\; del$

l \ del frac {él} {\ hbar}} {2! \ hbar^ {2}}] ¡- \ frac {it^3} {3! \ hbar^3}]] + \ cdots.

Debido a la relación entre el soporte de Poisson y los conmutadores que esta relación también celebra para los mecánicos clásicos .

Relaciones del conmutador

Obviamente, las relaciones del conmutador son absolutamente diferentes que en el cuadro de Schrodinger debido a el depencancy del tiempo de operadores. Por ejemplo, considerar a operadores $x\; del$

l (t_ {1}), x (t_ {2}), p (t_ {1}) y $p\; (t\_\; \{2\})$. La evolución del tiempo de esos operadores depende del hamiltoniano del sistema. Para el oscilador armónico unidimensional + \ frac {x^ de m \ omega^ {2} {2}} {2} del $H=\; \backslash \; del\; frac\; del$

l {p^ {2}} {los 2m} La evolución de los operadores de la posición y de ímpetu se da cerca: $del$

l {d \ sobre despegue} x (t) = {i \ sobre \ hbar} H, x (t) = \ $frac\; \{p\}\; \{m\}$ {d \ sobre despegue} p (t) = {i \ sobre \ hbar} H, p (t) = - m \ omega^ {2} x

Distinguiendo ambas ecuaciones una más vez y solucionándolas con condiciones iniciales apropiadas $del$

l \ =-m del punto {p} (0) \ = \ frac {p (0) del $\backslash \; del\; punto\; omega^\; \{2\}\; x\; (0)$ {x} (0)}{m}

lleva a: ¡

$x\; (t)=x\_\; \{0\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; Omega\; t)+\; \backslash \; frac\; \{p\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; Omega\; m\}\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; Omega\; t)$
$p\; (t)=p\_\; \{0\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; Omega\; t)\; -\; m\; \backslash \; Omega\; \backslash !\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; Omega\; t)$

Ahora, estamos listos para computar directo las relaciones del conmutador: = \ frac {i del $x\; (t\_\; \{2\}\; del$
) del
\ hbar} {m \ Omega} \ =i del $p\; (t\_\; \{2\}\; del$
) del pecado (\ t_ de Omega {2} - \ t_ de Omega {1}) \ m hbar \ Omega \ =i del $p\; (t\_\; \{2\}\; del$
) del pecado (\ t_ de Omega {2} - \ t_ de Omega {1}) \ hbar \ lechuga romana (\ t_ de Omega {2} t_ - \ de Omega {1})

Observar que para 1} =t_ del $t\_\; \{\{2\}$, uno consigue simplemente las relaciones de conmutación canónicas bien conocidas.

Lectura adicional

Ver también

Cuadro de Schrödinger
Cuadro de interacción
Mecánicos de Quantum
Ecuación de Schrödinger
Notación del Sujetador-ket
Mecánicos de matriz

.

Zenithic

Emile Nau

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