La cuantificación tiene dos significados distintos.

En las matemáticas y la ciencia empírica, refiere a los actos humanos, conocidos como que cuenta y el que mide que tracen las observaciones humanas del sentido y las experiencias en los miembros de un cierto determinado de la cuantificación de los números en este sentido es fundamental al método científico .

En la lógica, la cuantificación refiere a un operador que ate un variable que se extiende sobre un dominio del discurso . La variable de tal modo se convierte en el encuadernado. La discusión académica de la cuantificación se refiere más a menudo a este significado del término que el preceder.

Ciencia

Una cierta medida de la importancia general indiscutible de la cuantificación en las ciencias naturales se puede espigar de los comentarios siguientes: el éstos es hechos meros, pero son hechos cuantitativos y la base de la ciencia. parece ser sostenida como universal verdad que el la fundación de la cuantificación es medida. no hay duda de que la cuantificación del proporcionó una base para la objetividad de la ciencia. en antiguo los tiempos, los músicos del y los artistas… rechazaron la cuantificación, pero los comerciantes, por definición, cuantificaron sus asuntos, para sobrevivir, hechos les visibles en el pergamino y papel. cualquier comparación razonable del entre Aristotle y Galileo demuestra claramente que no puede haber legitimidad única descubierta sin la cuantificación detallada. incluso hoy, los instrumentos imperfectos del uso de las universidades del llamados los “exámenes ” para cuantificar indirectamente algo llaman conocimiento. este significado de la cuantificación viene bajo título de la pragmática .

Lógica

Más específicamente, en la lengua y la lógica, la cuantificación es una construcción que especifica la cantidad del de individuos del dominio del discurso que se apliquen (o satisfacer) a una fórmula abierta. Por ejemplo, en aritmética, permite la expresión de la declaración que cada número natural tenga un sucesor, y en la lógica, que algo (por lo menos una cosa) en el dominio del discurso tiene cierta característica, es decir, allí las cosas de exist con esa característica en el dominio. Un elemento de lengua que genera una cuantificación se llama un cuantificador . La expresión resultante es una expresión cuantificada, y decimos que hemos cuantificado sobre la expresión del predicado o de función cuya variable libre está el encuadernado por el cuantificador. La cuantificación se utiliza en las idiomas naturales y los ejemplos de los lenguajes formales de cuantificadores en un de lenguaje natural son: para todo el, para algún, muchos, poco, mucho, y ningún . En lenguajes formales, la cuantificación es un constructor de la fórmula que produce nuevas fórmulas las viejas. La semántica de la lengua especifica cómo interpretan al constructor como grado de la validez. La cuantificación es un ejemplo de una operación variable-obligatoria.

Las dos clases fundamentales de cuantificación en la lógica de predicado son la cuantificación universal y la cuantificación existencial . Estos conceptos se cubren detalladamente en sus artículos individuales; aquí discutimos las características de la cuantificación que se aplican en ambos casos. Otras clases de cuantificación incluyen la cuantificación de la unicidad.

El símbolo tradicional para el " universal del cuantificador; all" es el " ∀", un " invertido de la letra; " A ;, y para el " del cuantificador existencial; exists" es el " ∃", un " girado de la letra; " E ;. Estos cuantificadores han sido principio generalizado con el trabajo de Mostowski y Lindström. Ver el cuantificador generalizado y el cuantificador de Lindström para otros detalles.

De lenguaje natural

Todas las idiomas humanas sabidas hacen uso de la cuantificación, incluso idiomas sin un sistema de numeración hecho y derecho (Wiese 2004). Por ejemplo, en inglés:
El cada vidrio en mi orden reciente era saltado.
El alguna de la gente que se coloca a través del río tiene brazales blancos .
El la mayor parte de la gente que hablé no tenía una pista que los candidatos eran .
El cada uno en la sala de espera tenía por lo menos una queja contra el Dr.
El allí estaba alguien en su clase que podía contestar correctamente todos de las preguntas que sometí .
El mucha gente es elegante.

Existe ninguna manera simple de reformular de estas expresiones como una conjunción o separación de oraciones, cada un predicado simple de un individuo tal como que el vidrio de vino era saltado. Estos ejemplos también sugieren que la construcción de expresiones cuantificadas en de lenguaje natural pueda ser sintácticamente muy complicada. Afortunadamente, para las aserciones matemáticas, el proceso de la cuantificación es sintácticamente más directo.

El estudio de la cuantificación en idiomas naturales es mucho más difícil que el problema correspondiente para los lenguajes formales. Esto viene en parte del hecho de que la estructura gramatical de oraciones de lenguaje natural puede encubrir la estructura lógica. Por otra parte, las convenciones matemáticas especifican terminantemente la gama de validez para los cuantificadores del lenguaje formal; para de lenguaje natural, especificar la gama de validez requiere ocuparse de problemas semánticos no triviales.

La gramática de Montague da una semántica formal nueva de idiomas naturales. Sus autores sostienen que proporciona una representación formal mucho más natural de lenguaje natural que los tratamientos tradicionales Frege, Russell y Quine .

Matemáticas

Comenzaremos discutiendo la cuantificación en discurso matemático informal. Considerar el
siguiente 1 del
de la declaración·2 = 1 + 1, y 2·2 = 2 + 2, y 3 · 2 = 3 + 3,…., y n · 2 = n + n, etc. Esto tiene el aspecto de una conjunción infinita de asuntos. Desde el punto de vista de los lenguajes formales esto es inmediatamente un problema, puesto que esperamos que las reglas del sintaxis generen objetos finitos . Poniendo aparte esta objeción, también observar que en este ejemplo que había afortunados en ése es un procedimiento para generar todas las oraciones conjuntivas. Sin embargo, si quisiéramos afirmar algo sobre cada número irracional, no tendríamos ninguna manera que enumeran todas las oraciones conjuntivas puesto que los irrationals no pueden ser enumerados. Una formulación sucinta que evita estos problemas utiliza la cuantificación universal : para cualquie n, n del número natural ·2 = n + n . Un análisis similar se aplica a la separación, el
1 del
es el primero, o 2 es primeros, o 3 es primeros, etc. cuál se puede reformular usar la cuantificación existencial : el para un cierto n, n del número natural es primero.

Es posible idear las álgebra abstractas cuyos modelos incluir los lenguajes formales con la cuantificación, pero el progreso ha sido lento y el interés en tal álgebra se ha limitado. Tres acercamientos se han ideado hasta la fecha:
Álgebra de la relación, inventada por el DeMorgan, y desarrollada por el Ernst Schroder, el Tarski, y los estudiantes de Tarski. La álgebra de la relación no puede representar ninguna fórmula con cuantificadores jerarquizó más de tres profundos. Asombrosamente, los modelos de la álgebra de la relación incluyen el axiomático ZFC de la teoría determinada y el Peano aritmético;
Álgebra cilíndrica, ideada por el Tarski, el Henkin, y los otros;
La álgebra poliádica Paul Halmos .

Sintaxis

La cuantificación en el las idiomas naturales formales de y baja bajo el sintaxis y semántica .

Notación

El símbolo tradicional para el cuantificador universal es " ∀", un " invertido de la letra; " A ;, que representa el " de la palabra; all". El símbolo correspondiente para el cuantificador existencial es " ∃", un " girado de la letra; " E ;, que representa el " de la palabra; exists". Correspondientemente, cuantificado expresión son construido como sigue,

$\backslash \; existe\; \{x\}\; \backslash ,\; P\; \backslash patio\backslash \; forall\; \{\}\; \backslash ,\; de\; x\; P$ donde " " del P ; denota una fórmula. Mucho variable notación son utilizado, por ejemplo

$\backslash \; existe\; \{\}\; \backslash ,\; de\; x\; P\; \backslash \; patio\; (\backslash \; existe\; \{x\})\; P\; \backslash \; patio\; (\backslash \; existe\; x\; \backslash .\; \backslash \; P)\; \backslash \; patio\; (\backslash \; existe\; x:\; P)\; \backslash \; patio\; \backslash \; existe\; \{x\}\; (p)\; \backslash \; patio\; \backslash \; exists\_\; \{x\}\; \backslash ,\; P\; \backslash \; patio\; \backslash \; existe\; \{x\}\; \{,\}\; \backslash ,\; P\; \backslash \; patio\; \backslash \; existe\; \{x\}\; \{\backslash \; adentro\}\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash ,\; de\; N\; P\; \backslash el\; patio\backslash \; existe\; \backslash ,\; x\; \{:\}\backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash ,\; de\; N\; P$ Todas estas variaciones también se aplican a la cuantificación universal. Otras variaciones para el cuantificador universal son $(x)\; del\; \backslash ,\; P\; \backslash \; patio\; \backslash \; el\; bigwedge\_\; \{x\}\; P$

Observar que algunas versiones de la notación mencionan explícitamente la gama de cuantificación. La gama de cuantificación debe ser especificada siempre, pero para una teoría matemática dada, esto se puede hacer de varias maneras:
Asumir un dominio fijo del discurso para cada cuantificación, como se hace en la teoría determinada de Zermelo Fraenkel,
Fijar varios dominios del discurso por adelantado y requerir que cada uno variable tiene un dominio declarado, que es el tipo del de esa variable. Esto es análogo a la situación en las idiomas estáticamente mecanografiadas de la programación de computadora, donde las variables han declarado tipos.
Mencionar explícitamente la gama de cuantificación, quizás usar un símbolo para el determinado de todos los objetos en ese dominio o el tipo de los objetos en ese dominio.

También observar que uno puede utilizar variable como variable cuantificada en lugar de cualquier otro, bajo ciertas restricciones, que esté en qué captura variable del no ocurre. Incluso si la notación utiliza variables mecanografiadas, una puede todavía utilizar cualquier variable de ese tipo. La aplicación la captura variable del es excesivamente importante, y discutimos eso en la semántica formal abajo.

Informal, el " " del x del ∀; o " " del x del ∃; pudo aparecer bien después del P ( x ), o aún en el centro si el P ( x ) es una frase larga. Formalmente, sin embargo, la frase que introduce la variable simulada estándar se pone en frente.

Observar que las fórmulas matemáticas mezclan las expresiones simbólicas para los cuantificadores, con cuantificadores de lenguaje natural tales como para cualquier x del número natural,…. El
allí existe un x tal que….
por lo menos un x . Las palabras claves para la cuantificación de la unicidad incluyen: para exactamente un x del número natural,…. El
allí es un y solamente un x tal que…. Uno pudo incluso evitar nombres variables tales como x usar un pronombre . Por ejemplo, el para cualquier número natural, su producto con 2 iguales a su suma consigo mismo
un cierto número natural es primero.

Jerarquización

Considerar la declaración siguiente: para cualquie n del número natural, hay un s del número natural tales que el s = los × del n ; n . Esto es claramente verdad; apenas afirma que cada número natural tiene un cuadrado.

El significado de la aserción en la cual se cambian los cuantificadores es absolutamente diferente: el allí es un s del número natural tales que para cualquier n, s del número natural = los × del n ; n . Esto es claramente falso; afirma que hay un solo s del número natural que es inmediatamente el cuadrado del cada número natural de .

Esto ilustra fundamental un aspecto importante cuando se jerarquizan los cuantificadores: La orden de la alternación de cuantificadores es de importancia absoluta.

Un ejemplo menos trivial es el concepto importante de la continuidad del uniforme del análisis, que diferencia del concepto más familiar de la continuidad del pointwise solamente por un intercambio en las posiciones de dos cuantificadores. Para ilustrar esto, dejar el f ser una función con valores reales en el R .

A: Continuidad de Pointwise del f en el R : del
, \ existe \ delta del épsilon

intercambiando los cuantificadores universales sobre los apoyos, éste es igual que
continuidad de A': Pointwise del f en el R : del
épsilon

Esto diferencia de
B: Continuidad uniforme del f en el R : del
épsilon intercambiando los cuantificadores existenciales y universales sobre los apoyos en A'.

La ambigüedad es evitada poniendo los cuantificadores (en símbolos o palabras) en frente:
$\backslash \; exists$ A: $\backslash \; forall$ B: C - inequívoca
hay una A tales que el $\backslash \; forall$ B: C - inequívoca
hay una A tales que para todo el B, C - inequívoca, a condición de que la separación entre B y C está clara
hay una A tales que C para todo el B - está a menudo claro que se significa qué es el del
allí es una A tales que (C para todo el B)
pero ella de se podría interpretar como (hay una A tales que C) para todo el B hay una A tales que el $\backslash \; forall$ B de C - sugiere más fuerte que el primer esté significado; esto se puede reforzar por la disposición, por ejemplo poniendo el " $\backslash \; forall$ B" de C; en una nueva línea.

Ver también abajo.

Gama de cuantificación

Cada cuantificación implica un variable específico y un dominio del del discurso o la gama del de la cuantificación de esa variable. La gama de cuantificación especifica el sistema de los valores que la variable toma. En los ejemplos arriba, la gama de cuantificación es el sistema de números naturales. La especificación de la gama de cuantificación permite que expresemos la diferencia en medio, afirmando que un predicado se sostiene para un cierto número natural o para un cierto número verdadero . Las convenciones expositivas reservan a menudo algunos nombres variables tales como " " del n ; para los números naturales y el " " del x ; para los números verdaderos, aunque la confianza exclusivamente en convenciones de nombramiento no puede trabajar en general puesto que las gamas de variables pueden cambiar en el curso de una discusión matemática.

Una manera más natural de restringir el dominio del discurso utiliza la cuantificación guardada . Por ejemplo, el
guardado del
de la cuantificación para un cierto n, n del número natural está incluso y el n es primero significa el para un cierto n, n del número par es primero.

En algunas teorías matemáticas uno asume un solo dominio de el discurso fijó por adelantado. Por ejemplo, en la teoría determinada de Zermelo Fraenkel, las variables se extienden sobre todos los sistemas en este caso, los cuantificadores guardados se pueden utilizar para mímico una gama más pequeña de cuantificación. Así en el ejemplo sobre para expresar el para cualquie n, n del número natural ·2 = n + n en la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel, uno puede decir el para cualquier n, si el n pertenece al N, entonces el n ·2 = n + n, donde está el sistema el N de todos los números naturales.

Semántica formal

La semántica matemática es el uso de las matemáticas para estudiar el significado de expresiones en un formal - es decir, matemáticamente especificar-lengua. Tiene tres elementos: Una especificación matemática de una clase de objetos vía el sintaxis, una especificación matemática de los dominios semánticos del vario y la relación entre los dos, que se expresa generalmente como función de objetos sintácticos los semánticos. En este artículo, abordamos solamente la aplicación cómo se interpretan los elementos del cuantificador.

En esta sección solamente consideramos el la lógica de primer orden con símbolos de la función. Referimos a lector al artículo sobre la teoría modelo para más información sobre la interpretación de fórmulas dentro de este marco lógico. El sintaxis de una fórmula se puede dar por un árbol del sintaxis. Los cuantificadores tienen alcance y un variable x es libera si no está dentro del alcance de una cuantificación para esa variable. Así en

$\backslash \; forall\; x\; (\backslash \; existe\; y\; B\; (x,\; y))\; \backslash \; uve\; C\; (y,\; x)$ la ocurrencia del x y del y en el C ( y, x ) está libre.

Una interpretación para el cálculo de predicado de primer orden asume según lo dado un dominio del X de los individuos. Variables libres del A un de la fórmula cuyas es el x ₁,…, el x _n se interpreta como a boleano - F ( v ₁ de la función valorada,…, n del _{del v ) de las discusiones del n, donde se extiende cada discusión sobre el X del dominio. Boleano-valorado significa que la función asume uno del T de los valores (interpretado como verdad) o del F (interpretado como falsedad). La interpretación del x_n A (x_1, \ ldots, x_n) del $\backslash \; del\; forall\; del\; de\; la\; fórmula$ está el G de la función de las discusiones del n -1 tales que el G ( v 1,…, n -1} del _{del v ) = el T si y solamente si el F ( v 1,…, n -1} del _{del v, w ) = el T para cada w en el X . Si F ( v 1,…, n -1} del _{del v, w ) = F por lo menos un valor del w, entonces G ( v 1,…, n -1} del _{del v ) = F . Semejantemente la interpretación del $del\; de\; la\; fórmula\; \backslash \; existe\; el\; x\_n\; A\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)$ está el H de la función de las discusiones del n -1 tales que el H ( v 1,…, n -1} del _{del v ) = el T si y solamente si el F ( v 1,…, n -1} del _{del v, w ) = el T por lo menos un w y el H ( v 1,…, n -1} del _{del v ) = el F de otra manera.}

La semántica para la cuantificación de la unicidad requiere cálculo de predicado de primer orden con igualdad. Esto significa que se da un " dos-colocado distinguido del predicado; =" ; modificar la semántica también por consiguiente para " =" se interpreta siempre como la relación de la igualdad del dos-lugar en el X . ¡La interpretación del $del\; \backslash \; existe!\; x\_n\; A\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)$ después está la función de las discusiones del n -1, que es el lógico y existe de las interpretaciones del $del\; \backslash $ x\_n\; A\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)$\backslash \; el\; forall\; y,\; z\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{A\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n-1\},\; y)\; \backslash \; la\; cuña\; A\; (x\_1,\; \backslash \; los\; ldots,\; x\_\; \{n-1\},\; z)\; \backslash \; implica\; y\; =\; z\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$

Cuantificadores de Paucal, multal y otro del grado

Hasta ahora solamente hemos considerado cuantificación universal, existencial y de la unicidad según lo utilizado en matemáticas. Nada de esto se aplica a una cuantificación por ejemplo

allí era muchos bailarines hacia fuera en la sala de baile esta tarde.

Aunque este artículo no trate la semántica de lenguaje natural, intentaremos proporcionar una semántica para las aserciones en un lenguaje formal del tipo

allí es el n de muchos números enteros < 100, tales que el n es divisible por 2 o 3 o 5.

Un mecanismo posible de la interpretación puede obtenido como sigue: Suponer que además de un semántico X del dominio, hemos dado una medida de probabilidad P definida en el X y los números del atajo 0 < un ≤ 1. Si el A es una fórmula con el libre x ₁ de las variables,…, el n del _{del x cuya es interpretación el F de la función del v 1 de las variables,…, n} del <sub>del v entonces la interpretación del $\backslash \; del\; x\_n\; A\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n-1\},\; x\_n)\; del\; del\; exists^\; \{\backslash \; mathrm\; \{muchos\}\}$ es función de v 1,…, v n -1 que es T si y solamente si

$\backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash \; \{de\; P\; w:\; F\; (v\_1,\; \backslash \; ldots,\; v\_\; \{n-1\},\; w)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \}\; \backslash \; geq\; b$ de T y F de otra manera. Semejantemente, la interpretación del $\backslash \; del\; x\_n\; A\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n-1\},\; x\_n)\; del\; del\; exists^\; \{\backslash \; mathrm\; \{poco\}\}$ es función de v 1,…, v n -1 que es F si y solamente si

y T de otra manera. Hemos evitado totalmente la discusión de ediciones técnicas con respecto a la posibilidad de medir de las funciones de la interpretación; algunos de éstos son las preguntas técnicas que requieren el teorema de Fubini.</sub>

Advertimos a lector que la lógica del que corresponde a tal semántica es excesivamente complicada.

Historia

La lógica del término trata la cuantificación de una forma que está más cercano a de lenguaje natural, y también adaptado menos al análisis formal. tratado aristotélico All de la lógica, algún y ningún en el 1r siglo A., en una cuenta también que toca en las modalidades de Alethic.

El Gottlob Frege, en su 1879 del Begriffsschrift, era el primer para emplear un cuantificador para atar un alcance variable sobre un dominio del discurso y apareciendo en los predicados él cuantificaría universal una variable (o la relación) escribiendo la variable sobre un hoyuelo en una línea de otra manera recta que aparece en sus fórmulas diagramáticas. Frege no ideó una notación explícita para la cuantificación existencial, en lugar empleando su equivalente del ~∀ ~ del x, o contraposición . El tratamiento de Frege de la cuantificación iba en gran parte unremarked hasta los principios 1903 del de s de Bertrand Russell 'de las matemáticas .

En el trabajo que culminó en Peirce (1885), las chorreadoras Peirce de Charles y sus qunatifiers universales del estudiante O. Mitchell y existenciales independiente inventados, y las variables encuadernadas Peirce y Mitchell escribió Π_x y Σ_x donde ahora escribimos el ∀ x y ∃ x . La notación de Peirce se puede encontrar en las escrituras Ernst Schroder, Leopold Loewenheim, Thoralf Skolem, y de los lógicos polacos en los años 50. Especialmente, es la notación documento de la señal 1930 de s de Goedel Kurt de 'sobre lo completo de la lógica de primer orden, y el documento 1931 sobre el estado incompleto Peano aritmético.

El acercamiento de Peirce a la cuantificación también influenció el Guillermo Ernesto Johnson y el José Peano, que inventaron otra más notación, a saber (el x ) para la cuantificación universal del x y (en 1897) del ∃ x para la cuantificación existencial del x . Por lo tanto por décadas, la notación canónica en filosofía y la lógica matemática eran (el x ) el P para expresar el " todos los individuos en el dominio del discurso tienen el P, " de la característica; y " (∃ " del P del x ); para el " existe por lo menos un individuo en el dominio del discurso que tiene el P de la característica. " Peano, que era mucho más conocido que Peirce, en efecto difundió a este 3ultimo que pensaba en Europa. Notación de Peano adoptada por el Principia Mathematica Whitehead y Russell, Quine, y de la iglesia de Alonzo. En 1935, el Gentzen introdujo el ∀ símbolo, por analogía con el &exist de Peano; símbolo. ∀ no llegó a ser canónico hasta los años 60.

Alrededor 1895, Peirce comenzó a desarrollar sus gráficos existenciales cuyas variables se pueden considerar según lo cuantificado tácito. Si el caso más bajo de una variable es uniforme o impar determina si la cuantificación de esa variable es universal o existencial. (La poca profundidad es el contrario de la profundidad, que es determinada por la jerarquización de negaciones.) La lógica gráfica de Peirce ha atraído una cierta atención estos últimos años por ésas que investigaban el razonamiento heterogéneo y la inferencia diagramática .

El desarrollo de Quantitification a través de la especie y dentro de seres humanos

En el análisis cuantitativo del comportamiento, la psicología evolutiva y la psicología de desarrollo, cuantificación cognoscitivo se estudia como comportamiento.

Ver también

Variable encuadernada
Dominio del discurso
Cuantificador generalizado
Cuantificador de Lindström
Gramática de Montague
Operador del atascamiento variable
Álgebra cilíndrica
Álgebra de la relación

.

Zenithic

Arturo Mercado

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