El cuerno de Gabriel del (también llamado la trompeta de Torricelli del ) es una figura inventada por el Evangelista Torricelli que tiene superficie infinito, solamente el volumen finito . El nombre refiere a la tradición que identifica el arcángel Gabriel con el ángel que sopla el cuerno para anunciar el día del Juicio Final, asociando el infinito al divino.

Definición matemática

El cuerno de Gabriel es formado tomando el gráfico del $y=\; \backslash \; del\; frac\; \{1\}\; \{x\}$, con el $x\; \backslash \; GE\; 1$ (así evitando la asíntota en el x = 0) y rotación del dominio de él en tres dimensiones sobre el x-axis. El descubrimiento fue hecho usar el principio de Cavalieri antes de la invención del cálculo, pero el cálculo se puede utilizar hoy para calcular el volumen y la superficie del cuerno entre el x = 1 y el x = un, donde > 1. Usar la integración (véase el sólido de la revolución y la superficie de la revolución para los detalles), es posible encontrar el volumen $V$ y la superficie $A$ para el caso donde $p\; =\; 2$: = \ 1} ^ del pi del $V\; del$

l \ del int_ {{a} {1 \ sobre x^2} \ = \ pi \ (1 - {1 \ sobre a} \ derecho) dejado del mathrm {d} x

$A\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\_1^a\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; de\; x^4\}\}\}\; \{x\; x\; >\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; de\; int\_1^a\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1\}\}\; \{x\}\; x\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; ln\; a$

$a$ puede estar como grande como sea necesario, pero puede ser visto de la ecuación que el volumen de la pieza del cuerno entre el $x\; =\; 1$ y el $x\; =\; a$ nunca excederá el $\backslash \; pi$; sin embargo, conseguirá cada vez más cerca del $\backslash \; pi$ del como $a$ llega a ser más grande. Los matemáticos dicen que el del volumen se acerca al del $\backslash \; pi$ de mientras que $a$ se acerca al infinito, que es otra manera de decir que el volumen del cuerno iguala el $\backslash \; pi$. Expresado usar la notación del límite del cálculo:

$\backslash \; lim\_\; \{a\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; pi\; \backslash \; (1\; -\; \{1\; \backslash \; sobre\; a\}\; \backslash \; derecho)\; =\; dejado\; \backslash \; pi$

En cuanto al área, el antedicho demuestra que el área es mayor que tiempos de $2\; \backslash \; de\; pi$ el logaritmo natural de $a$. No hay límite superior para el logaritmo natural de $a$ pues se acerca a infinito. Eso medios, en este caso, que el cuerno tiene una superficie infinita. Es decir;

$2\; \backslash \; pi\; \backslash \; ln\; a\; \backslash \; rightarrow\; \backslash$ infty del como $a\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty$ o $del\; \backslash \; lim\_\; \{a\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; 2\; \backslash \; =\; \backslash \; infty$ del pi \ del ln a

Cuando esto fue descubierta, era considerado el paradójico como, girando una curva infinita sobre el x-axis, un objeto del volumen finito es obtenido.

Esto a veces se llama el " paradox" de los pintores; puesto que toma un infinito ascender de la pintura para pintar un área infinita. Pero si usted llena el cuerno de la pintura usted necesitará una cantidad finita.

Explicación

La explicación para esta paradoja se relaciona con las dimensiones de las cantidades implicadas en los cálculos. La dimensión de la longitud es 1, el área 2 y el volumen 3 ($m$, $m^2$ y $m^3$ respectivamente).

Al calcular la superficie de un gráfico se ha girado que, suponemos que el resultado está compuesto de pequeñas tiras de una cantidad unidimensional - " rings" de quién radios son iguales a la altura del gráfico en un punto dado. Cuando éstos son integrados adelante (es decir agregado encima de), el resultado es una cantidad de dos dimensiones - la superficie. Semejantemente, la medición del volumen de este gráfico girado suma el total de muchos círculos cuyos radios sean la altura del gráfico; el resultado es una cantidad tridimensional (volumen).

La paradoja se presenta porque las tiras de longitud en el " rings" siendo agregado para dar la superficie estar de una dimensión más baja (1 contra 2) que los discos del área que es utilizada para encontrar el volumen. Como el $x\; \backslash \; a\; \backslash \; infty$:

$\backslash \; pi\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x^2\}\; \backslash \; ll\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; frac\; \{\backslash raíz\; cuadrada\{1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x^4\}\}\}\; \{x\}$

Esencialmente, esto significa que como el x llega a ser más grande y más grande, el tamaño numérico de los discos de dos dimensiones se agregan que son tanto más pequeños que los anillos unidimensionales que disminuyen lejos demasiado rápidamente para sacar a colación nunca el volumen del cuerno entero a dondequiera más allá de un volumen del $\backslash \; pi$. Cuando está integrado (como arriba), debe ser evidente que el volumen converge rápidamente al $\backslash \; pi$.

Ver también

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