La cuesta es de uso frecuente describir la medida de la inclinación, de la pendiente, del gradiente, o del grado de una línea recta . Un valor más alto de la cuesta indica una pendiente más escarpada. La cuesta se define como el cociente del " " de la subida ; dividido por el " " del funcionamiento ; entre dos puntos en una línea, o es decir el cociente del cambio de la altitud a la distancia horizontal entre cuaesquiera dos puntos en la línea. Es también siempre la misma cosa que cuántos aumentar de uno funcionan.

Usar el cálculo, uno puede calcular la cuesta de la tangente a una curva en un punto.

El concepto de cuesta, y mucho de este artículo, se aplica directo a los grados o a los gradientes en la geografía y el genio civil .

Definición de la cuesta

La cuesta de una línea en el plano que contiene las hachas del x y del y es representada generalmente por el m de la letra, y definida como el cambio en el y coordina dividido por el cambio correspondiente en el x coordinado, entre dos puntos distintos en la línea. Esto es descrita por la ecuación siguiente: = \ frac del $m\; del$

l {\ delta y} {\ delta x}. (El símbolo, " del delta del ; Δ ", es de uso general en matemáticas significar el " difference" o " change".)

Dado dos puntos ( x ₁, y ₁) y (el x ₂, el y ₂), el cambio en el x a partir del uno al otro es el x ₂ - x ₁, mientras que el cambio en el y es el y ₂ - el y ₁. Substituir ambas cantidades en la ecuación antedicha obtiene el siguiente: = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 del $m\; del\; -\; x\_1\}.$

Definición científica: Se demuestra la tarifa en la cual un objeto acelera en una distancia contra gráfico del tiempo. Calculado por Slope = la subida/funcionamiento de un gráfico. Desde el y - eje es verticales y el x - el eje es horizontal por la convención, la ecuación antedicha se memoriza a menudo como " subida sobre run", donde está el " el y de Δ; rise" y el x de Δ es el " run". Por lo tanto, por la convención, el m es igual al cambio en el y, el coordenada vertical, dividido por el cambio en el x, el coordenada horizontal; es decir, el m es el cociente de los cambios. Este concepto es fundamental a la álgebra, a la geometría analítica, a la trigonometría, y al cálculo .

Observar que la manera los puntos está elegida en la línea y no importa su orden; la cuesta estará igual en cada caso. Otras curvas tienen " que acelera el " de ; las cuestas y una pueden utilizar el cálculo para determinar tales cuestas.

Ejemplos

Suponer que una línea funciona a través de dos puntos: P (1, 2) y Q (13, 8) . Dividiendo la diferencia en el y - coordenadas por la diferencia en el x - los coordenadas, uno pueden obtener la cuesta de la línea: $m\; del\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{y\_2\; -\; y\_1\}\; \{x\_2\; -\; x\_1\}\; =\; \backslash \; frac\; \{8\; -\; 2\}\; \{13\; -\; 1\}\; del\; frac\; \{\backslash \; delta\; y\}\; \{\backslash \; delta\; x\}\; =\; \backslash \; 12\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{6\}\; \{\{2\}.$

La cuesta es del el 1/2 = 0.

Como otro ejemplo, considerar una línea que funcione a través de los puntos (4, 15) y (3, 21). Entonces, la cuesta de la línea es = \ frac del $m\; del\; \{21\; -\; 15\}\; \{3\; -\; 4\}\; =\; \backslash \; frac\; \{6\}\; \{-\; 1\}\; =\; -6.$

Geometría

Cuanto más grande es el valor absoluto de una cuesta, más escarpada es la línea. Una linea horizontal tiene cuesta 0, una línea de levantamiento 45° tiene una cuesta de +1, y una línea que cae 45° tiene una cuesta de -1. Una cuesta de la línea vertical es el indefinido.

El θ del ángulo que una línea hace con el eje positivo del x es estrechamente vinculado al m de la cuesta vía la función de la tangente : = \ tan del $m\; del\; \backslash ,\; \backslash \; theta$ y $del\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash ,\; m$ (véase la trigonometría ).

Dos líneas son paralelas si y solamente si sus cuestas son iguales y ellas no son coincidentes ni si ambas no son verticales y por lo tanto no tienen cuestas indefinidas. Dos líneas son el perpendicular si y solamente si el producto de sus cuestas es -1 o una tiene una cuesta (de una linea horizontal 0) y la otra tiene una cuesta indefinida (una línea vertical).

Cuesta de un camino artículos principales del del de

: Grado (cuesta), separación de grado Hay dos maneras comunes de describir cómo es escarpado es un camino o el ferrocarril . Uno está por el ángulo grados, y el otro está al lado de la cuesta en un porcentaje. Ver también el ferrocarril de la montaña. Las fórmulas para convertir una cuesta como porcentaje en un ángulo grados y viceversa están: $del\; \backslash \; mbox\; \{ángulo\}\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mbox\; \{cuesta\}\}\; \{100\},$ y, \, del $\backslash \; del\; mbox\; del\; \{cuesta\}\; =\; 100\; \backslash \; tan\; (\backslash \; mbox\; \{ángulo\})$ donde está el ángulo del grados y las funciones de la trigonometría funcionar grados. Por ejemplo, una cuesta del 100% es 45°.

Una tercera manera es dar una unidad de subida adentro dice 10, 20, 50 o 100 unidades horizontales, e. 1:20, 1:50 o 1:100 (etc.

Álgebra

Si el y es una función linear x, después el coeficiente del x es la cuesta de la línea creada trazando la función. Por lo tanto, si la ecuación de la línea se da en el de la forma $y\; =\; MX\; +\; b\; \backslash ,$ entonces el m es la cuesta. Esta forma de la ecuación de una línea se llama el cuesta-intercepta la forma, porque el b se puede interpretar como el Y-intercepta de la línea, el y - coordinar donde la línea interseca el y - eje.

Si el m de la cuesta de una línea y un punto ( x ₀, el y ₀) en la línea ambas se sabe, después la ecuación de la línea se puede encontrar usar la fórmula de la punto-cuesta: ) $y\; x\_0\; \backslash ,\; del\; -\; y\_0\; =\; m\; (x\; -.$ ¡la representación del HTML -->

Por ejemplo, considerar una línea que funciona a través de los puntos (2, 8) y (3, 20). Esta línea tiene una cuesta, m, del $del\; \backslash \; del\; frac\; \{(20\; -\; 8)\}\; \{(3\; -\; 2)\}\; \backslash ;\; =\; 12\; \backslash ,$. Uno puede entonces escribir la ecuación de la línea, en forma de la punto-cuesta: - 8 = 12 (x - 2) $y\; =\; 12x\; -\; 24\; \backslash ,$ o: $y\; =\; 12x\; -\; 16\; \backslash ,$.

La cuesta de una ecuación linear en la forma general: $Ax\; del\; +\; por\; +\; C\; =\; 0\; \backslash ,$ es dado por la fórmula:

$\backslash \; frac\; \{-\; A\}\; \{\}\; \backslash ;\; de\; B\; \backslash ,$.

Cálculo

El concepto de una cuesta es central al cálculo diferenciado . Para las funciones no lineares, el índice de cambio varía a lo largo de la curva. El derivado de la función en un punto es la cuesta de la línea tangente a la curva en el punto, y es así igual al índice de cambio de la función en ese punto.

Si dejamos el x de Δ y el y de Δ ser las distancias (a lo largo de las hachas del x y del y, respectivamente) entre dos puntos en una curva, entonces la cuesta dada por la definición antedicha, = \ frac {\ delta y} {\ delta x} , del $m\; del$

está la cuesta de una línea secante a la curva. Para una línea, la secante entre cualquier dos puntos es la línea sí mismo, pero ésta no es la caja para ningún otro tipo de curva.

Por ejemplo, la cuesta del de intersección secante y = el x ² en (0.9) es   del m ; =  (9  -   0)   /  (3  -   0)   =  3 (en las cuales sucede ser la cuesta de la tangente, y solamente en, x = 1.5, una consecuencia del teorema de valor medio ).

Moviendo los dos puntos más cerca juntos de modo que el y de Δ y disminución del x de Δ, la línea secante aproxime más de cerca una línea de tangente a la curva, y como tal la cuesta de la secante se acerca a el de la tangente. Usar el cálculo diferenciado, podemos determinar el límite, o el valor a que el x del y /Δ de Δ se acerca como el y de Δ y x de Δ consigue más cercano a cero; sigue que este límite es la cuesta exacta de la tangente. Si el y es dependiente en el x, después está suficiente tomar el límite donde solamente los acercamientos cero del x de Δ. Por lo tanto, la cuesta de la tangente es el límite del x del y /Δ de Δ pues los acercamientos cero del x de Δ. Llamamos este límite el derivado .

Ver también

El gradiente es una generalización del concepto de cuesta para las funciones más que una variable.
Definiciones de la cuesta

.

Zenithic

Cuesta

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