La curva de Lorenz del es una representación gráfica de la función de distribución acumulativa de una distribución de probabilidad ; es un gráfico que demuestra la proporción de la distribución presunta por el inferior y % de los valores. Es de uso frecuente representar la distribución de la renta, donde demuestra para el inferior x % de hogares, qué y % del porcentaje de la renta total que tienen. El porcentaje de hogares se traza en el x - eje, el porcentaje de la renta en el y - eje. Puede también ser utilizado para demostrar la distribución de los activos en tal uso, muchos economistas lo considera ser una medida de la desigualdad social . Fue desarrollado por el O. máximo Lorenz en el 1905 para representar la distribución de ingresos.

Explicación

Cada punto en la curva de Lorenz representa una declaración como " los 20% inferiores de todos los hogares tienen 10% del income" total;. Una distribución de ingresos perfectamente igual sería una en el cual cada persona tiene la misma renta. En este caso, el inferior N % de la sociedad tendría siempre N % de la renta. Esto se puede representar por la línea recta y = el x ; llamó la línea del de la igualdad perfecta o de la línea 45°.

Por el contrario, una distribución perfectamente desigual sería una en cuál la persona tiene toda la renta y cada una no tiene ninguno. En ese caso, la curva estaría en el y = 0 para todo el x < 100%, y el y = 100% en que el x = 100%. Esta curva se llama la línea del de la desigualdad perfecta .

El coeficiente de Gini es el área entre la línea de igualdad perfecta y la curva observada de Lorenz, como porcentaje del área entre la línea de igualdad perfecta y la línea de desigualdad perfecta. Esto iguala dos veces el área entre la línea de igualdad perfecta y la curva observada de Lorenz.

Cálculo

La curva de Lorenz se puede representar a menudo por un L ( F ) de la función, donde F es representada por el eje horizontal, y L es representado por el eje vertical.

Para una población del n del tamaño, con una secuencia del i , i del _{del y de los valores = 1 al n, que se ponen en un índice en la orden no decreciente (&le del i} del _{del y ; el i +1} del _{del y ), la curva de Lorenz es la función por trozos linear continua que conecta los puntos ( i} , L i del _{de ), i del del F = 0 al n, donde el F 0 = 0, el L 0 = 0, y para el i = 1 al n : $F\_i\; del\; =\; i/n\; \backslash ,$ S\_i\; del$$
de = \ ^i de Sigma_ {j=1} \; y_j \, $L\_i\; del$
de = S_i/S_n \,}

Para un discreto f ( y ) de la función de probabilidad, dejar el i , i del _{del y = 1 al n, sea los puntos con las probabilidades diferentes a cero puestas en un índice en la orden cada vez mayor (< del i} del _{del y ; i +1} del _{del y ). La curva de Lorenz es la función por trozos linear continua que conecta los puntos ( i} , L i del _{de ), i del del F = 0 al n, donde el F 0 = 0, el L 0 = 0, y para el i = 1 al n : $F\_i\; del\; =\; \backslash \; ^i\; de\; Sigma\_\; \{j=1\}\; \backslash ;\; f\; ()\; \backslash ,\; del\; y\_j$ S\_i\; del$$
de = \ ^i de Sigma_ {j=1} \; f () \, del y_j y_j \, $L\_i\; del$
de = S_i/S_n \,}

Para un f ( x ) de la función de densidad de probabilidad con el F ( x ), el L ( F ( x ) de la función de distribución acumulativa de la curva) de Lorenz se da cerca: $L\; del$

l = \ frac {\ ^ del int_ {- \ infty} {x} t \, (de F (x)) f (t) \, despegue} {\ ^ del int_ {- \ infty} \ t infty \, f (t) \, despegue}

Para un F ( x ) de la función de distribución acumulativa con el inverso x ( F ), el L ( F ) de la curva de Lorenz se da cerca: $L\; del$

l (F)= \ frac {\ int_0^F x (F_1) \, dF_1} {\ int_0^1 x (F_1) \, dF_1}

El x inverso (F) puede no existir porque la función de densidad acumulativa tiene discontinuidades del salto o intervalos de valores constantes. Sin embargo, la fórmula anterior puede todavía aplicarse generalizando la definición de x (F):
x (F₁) del
= inf {y: F (y) ≥ F₁}

Para un ejemplo de una curva de Lorenz, ver la distribución de Pareto.

Características

Una curva de Lorenz comienza siempre en (0.0) y los extremos en (1.

La curva de Lorenz no se define si el medio de la distribución de probabilidad es cero o infinito.

La curva de Lorenz para una distribución de probabilidad es una función continua . Sin embargo, las curvas de Lorenz que representan funciones discontinuas se pueden construir como el límite de curvas de Lorenz de las distribuciones de probabilidad, la línea de desigualdad perfecta que es un ejemplo.

Si el variable que es medido no puede tomar valores negativos, la curva de Lorenz:
no puede levantarse sobre la línea de igualdad perfecta,
no puede hundirse debajo de la línea de desigualdad perfecta,
es el que aumenta, y
es una función convexa .

Si el variable que es medido puede tomar valores negativos pero tiene un medio positivo, después la curva de Lorenz se hundirá debajo de la línea de desigualdad perfecta y es una función convexa .

Si el variable que es medido puede tomar valores negativos y tiene un medio negativo, después la curva de Lorenz será sobre la línea de igualdad perfecta, a menos que en los puntos del extremo, y es una función cóncava .

La curva de Lorenz es invariante bajo escalamiento positivo. Si el X del es una variable al azar, porque algún c del número positivo el X del del c de la variable al azar tiene la misma curva de Lorenz que el X del .

La curva de Lorenz es movida de un tirón dos veces, una vez sobre F = 0.5 y una vez sobre L = 0. Si el X del es una variable al azar con el L X ( F ) de la curva de Lorenz del _{de, después - el X del tiene la curva de Lorenz: L DE - X DEL}

DEL

= 1 - L X (1 - F )

DEL DE

La curva de Lorenz es cambiada por traducciones de modo que el boquete F - L de la igualdad (F) cambia en proporción con el cociente de la original y de los medios traducidos. Si el X del es una variable al azar con un L X ( F ) y &mu malo de la curva de Lorenz del _{de del ; X} del _{de, entonces para cualquie &ne constante del c ; - &mu del ; el X} , X del <sub>de del + el c tiene una curva de Lorenz definida cerca:

$F\; -\; =\; \backslash \; frac\; de\; L\_\; \{X+c\}\; (f)\; \{\backslash \; mu\_X\}\; \{\backslash \; mu\_X\; +\; c\}\; (F\; -\; L\_X\; (F))\; \backslash ,$</sub>

Para un F ( x ) de la función de distribución acumulativa con &mu malo del ; y (generalizado) inverso x ( F ), entonces para cualquie F con 0 < < del F ; 1:
Si la curva de Lorenz es diferenciable: del
$de\; \backslash \; frac\; \{d\; L\; (F)\}\; \{d\; F\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\; x\; (F)\}\; \{\backslash \; MU\}$ Si la curva de Lorenz es dos veces diferenciable, después el f ( x ) de la función de densidad de probabilidad existe en ese punto y: del
$de\; \backslash \; frac\; \{d^2\; L\; (F)\}\; \{d\; F^2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; MU\; \backslash ,\; f\; (x\; (F))\}\backslash ,$ Si el L ( F ) es continuamente diferenciable, después la tangente del L ( F ) es paralela a la línea de igualdad perfecta en el F (&mu del punto del ; ). Éste es también el punto en el cual el F del boquete de la igualdad - el L ( F ), la distancia vertical entre la curva de Lorenz y la línea de igualdad perfecta, es los más grandes. El tamaño del boquete es igual a la mitad de la desviación mala relativo: $F\; de\; (\backslash \; MU)\; -\; L\; (F\; (\backslash \; MU))\; =\; \backslash \; frac\; \{medio\; \backslash ;\; desviación\}\; \{2\; \backslash ,\; \backslash \; MU\}$

.

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