En las matemáticas, una curva integral para un campo de vector definido en un múltiple es una curva en el múltiple cuyo vector de la tangente (es decir derivado del tiempo) en cada punto a lo largo de la curva está el campo de vector sí mismo en ese punto. Intuitivo, una curva integral traza la trayectoria que una partícula imaginaria que se mueve en el campo de vector seguiría. Las curvas integrales son estrechamente vinculadas a las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias y de los problemas de valor inicial

Definición

Dejar el M ser un múltiple de Banach r del ^{del C de la clase con el ≥ 2. Como de costumbre, el M de T denota el paquete de la tangente M con su natural M del _{del π del de la proyección : M del → del M de T dado cerca $del$}}

l \ pi_ {M}: (x, v) \ mapsto x.

Un campo de vector en el M es un seccionado transversalmente del M, es decir una asignación del paquete T de la tangente a cada punto del multíple M de un vector de la tangente al M en ese punto. Dejar el X ser un campo de vector en el M del &minus del r del ^{del C de la clase; 1} y dejaron el M del ∈ del p . Una curva integral para el X que pasa a través del p en el t ₀ del tiempo es un α del de la curva: M del → del J del &minus del r del ^{del C de la clase; 1}, definido en un J del intervalo abierto de la línea verdadera R del que contiene el t ₀, tal que $del$

l \ alfa (t_ {0}) = p; \,
$\backslash \; alpha\; (t)\; =\; X\; (\backslash )\; \backslash \; mbox\; \{para\; todos\}\; t\; \backslash \; en\; de\; la\; alfa\; (t)\; J.$

Relación a las ecuaciones diferenciales ordinarias

La definición antedicha de un α integral del de la curva para un X del campo de vector, pasando a través del p en el t ₀ del tiempo, es igual que diciendo que el α del es una solución local al problema de la ecuación diferencial ordinaria/de valor inicial $del$

l \ alfa (t_ {0}) = p; \, $del$
de \ alpha (t) = X (\ alfa (t)).

Es local en el sentido que está definido solamente por épocas en el J, y no no necesario para todo el t ₀ (aún menos t ₀ del ≥ del t del ≤ del t ). Así, el problema de probar la existencia y la unicidad de curvas integrales es igual que el de encontrar soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias/a los problemas de valor inicial y de demostrar que son únicas.

Observaciones en el derivado del tiempo

En el antedicho, &prime del α del ; ( t ) denota el derivado del α del en el t, el " del tiempo; el α del de la dirección es pointing" en el t del tiempo. De un punto de vista más abstracto, éste es el derivado de Fréchet: $del$

l (\ _ del mathrm {d} {t} f) (+1) \ en \ _ del mathrm {T} {\ alfa (t)} M.

En el caso especial que el M es un cierto abrir el subconjunto del n , éste del ^{del R es el derivado familiar el $del$}

l \ (\ frac {\ el mathrm {} \ alpha_ {1} de d} {\ mathrm {d} t}, dejado \ puntea, \ frac {\ el mathrm {} \ alpha_ {n} de d} {\ mathrm {d} t} \ derecho),

donde está los componentes el α ₁ del ,…, el n del _{del α α del en las direcciones coordinadas generalmente.}

La misma cosa se puede expresar más abstracto en términos de mapas inducidos. Observar que el J del paquete T de la tangente del J es los × triviales del J del paquete; El R y allí es un seccionado transversalmente canónico ι de este paquete tales que el ι ( t ) = 1 (o, más exacto, (el t, 1)) para todo el J del ∈ del t . El α del de la curva induce un α _∗ del del mapa del paquete: M del → T del J de T de modo que el diagrama siguiente conmute:

Entonces el &prime derivado del α tiempo; es el &prime del α del de la composición ; = ι del α _∗ o del, y &prime del α del ; ( t ) está su valor en un cierto J del ∈ del t del punto.