= 0

aplicado a los coordenadas homogéneos para el plano descriptivo ; o la versión no homogénea para el afina el espacio determinado fijando el Z = 1 en tal ecuación. Aquí el F es una combinación linear diferente a cero de los monomios del grado tres X ³, Y DEL

DEL

DEL X ²,…, Z ³

en el X, el Y, y el Z . Éstos son diez en gran número; por lo tanto las curvas cúbicas forman un espacio descriptivo de la dimensión 9, sobre cualquier dado K del campo . Cada P del punto impone una sola condición linear ante el F, si preguntamos que paso del C a través del P . Por lo tanto podemos encontrar alguna curva cúbica a través de cualquier nueve puntos dados.

Una curva cúbica puede tener un punto singular ; en este caso hace que una parametrización en términos de descriptivo alinee . Si no una curva cúbica no singular del se sabe para tener nueve puntos de la inflexión, sobre un campo algebraico cerrado tal como los números complejos esto puede ser demostrada tomando la versión homogénea de la matriz Hessian, que define otra vez un cúbico, e intersecándola con el C ; las intersecciones entonces son contadas por el teorema de Bézout. Estos puntos no pueden sin embargo todos ser verdaderos, para no poderlos considerar en el plano descriptivo verdadero dibujando la curva. Los puntos verdaderos de curvas cúbicas fueron estudiados por el Isaac Newton ; caen en uno o dos “óvalos”.

Un cúbico no singular define una curva elíptica, sobre cualquier K del campo para el cual haga un punto definir. Las curvas elípticas ahora se estudian normalmente en una cierta variante de las funciones elípticas de Weierstrass, definiendo una extensión cuadrático del campo de las funciones racionales hechas extrayendo la raíz cuadrada de un cúbico. Esto depende de tener un K - el punto racional, que sirve como el punto en el infinito en la forma de Weierstrass. Por ejemplo, hay muchas curvas cúbicas que no tienen ningún tal punto, cuando el K es el campo del número racional .

Los puntos singulares de una curva cúbica del plano son absolutamente limitados: un punto doble, o un cambio de signo .