En la geometría diferenciada, la curvatura gausiana o la curvatura del gauss del de un punto en una superficie es el producto del κ ₁ del de las curvaturas principales y del κ ₂ del, del punto dado. Es una medida intrínseca del de curvatura, es decir, su valor depende solamente de cómo las distancias se miden en la superficie, no de la manera que es encajado en espacio. Este resultado es el contenido del egregium de Theorema del del gauss.

¡Simbólicamente, el gausiano Κ de la curvatura se define como el $\backslash \; =\; \backslash \; kappa\_1\; \backslash \; kappa\_2\; del\; de\; la\; kappa\; \backslash ,\; \backslash !$.

También es dado por el $\backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; -\; nabla\_2\; \backslash \; nabla\_1\; \backslash \; nabla\_1\; \backslash \; nabla\_2\; (\backslash )\; \backslash ,\; \_1\; \backslash \; mathbf\; del\; mathbf\; \{e\}\; \{e\}\; \_2\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; det\; g\},$ del de la kappa donde está = \ nabla_ del $\backslash \; del\; nabla\_i\; elderivadode\; la\; covariante\; y\; el\; g\; es\; el\; tensor\; métrico\; .$

En un p del punto en una superficie regular en el 3 del ^{del R, la curvatura gausiana también es dada por = \ det (S del $K\; del\; (\backslash \; mathbf\; \{p\})\; (\backslash \; mathbf\; \{p\})),$ donde está el operador el S de forma .}

Una fórmula útil para la curvatura gausiana es la ecuación de Liouville en términos de Laplacian en los coordenadas isotérmicos .

Definición informal

Representamos la superficie por el teorema de la función implícita como el gráfico de una función f de 2 variables, y la asumimos que el punto p es un punto crítico, es decir el gradiente de f desaparece (esto se puede lograr siempre por un movimiento rígido conveniente). Entonces la curvatura gausiana de la superficie en p es el determinante de la matriz Hessian de f, es decir los 2 por la matriz 2 de los segundos derivados. Esta definición permite que una inmediatamente agarre la distinción entre el comportamiento del punto de silla de montar de la taza/casquillo versus en términos de segundo cálculo del año.

Curvatura total

La superficie integral de la curvatura gausiana sobre una cierta región de una superficie se llama la curvatura del total del . La curvatura total de un triángulo geodésico iguala la desviación de la suma de sus ángulos del $\backslash \; pi$. La suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de la curvatura positiva excederá el $\backslash \; pi$, mientras que la suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de la curvatura negativa será menos que el $\backslash \; pi$. En una superficie de la curvatura cero, tal como el plano euclidiano, los ángulos sumarán exacto al $\backslash \; pi$. $del$

l \ sum_ {i=1} = \ pi de ^3 \ del theta_i + \ iint_T K \, dA.

Teoremas importantes

Egregium de Theorema

considera también: Theorema egregium

El egregium de Theorema del 1828 del gauss (o el teorema notable del ) indica que la curvatura gausiana depende solamente de la primera forma fundamental (tensor métrico ) y de sus derivados y no de la forma en segundo lugar fundamental .

Un corolario de este teorema es que la curvatura gausiana es invariante bajo deformaciones isométricas de la superficie. Por lo tanto la curvatura gausiana de una superficie es una característica intrínseca del de la superficie, y puede ser resuelta sin referencia al que encaja de la superficie en espacio. Por ejemplo, la curvatura gausiana de un tubo cilíndrico es cero, igual que para el " unrolled" tubo (que es plano).

Teorema del Gauss-Capo

considera también:

l teorema del Gauss-Capo El teorema del Gauss-Capo del liga la curvatura total de una superficie a su Euler característico y proporciona un acoplamiento importante entre las características geométricas locales y las características topológicas globales.

Superficies de la curvatura constante

El teorema (1900) de Liebmann del indica que la esfera es la única superficie (encajada en el espacio 3) sin el límite o singularidades con curvatura gausiana positiva constante.
el teorema (1901) de Hilbert del del

indica que existe ninguna superficie regular completa de la curvatura gausiana negativa constante. El Pseudosphere tiene curvatura gausiana negativa constante excepto en su cambio de signo .
el del

que importa del teorema indica que todas las superficies que tienen la misma curvatura constante son el isométrico.

Una consecuencia de importar de teorema es que cualquier superficie de la curvatura por todas partes cero puede ser construida doblando una cierta región plana. Tales superficies se llaman las superficies desarrollables

Fórmulas alternativas

La curvatura gausiana se puede expresar vía forma fundamental del la primera y la forma en segundo lugar fundamental del : = \ frac del $K\; de\; \{eg.\; -\; F^2\}$

la fórmula de Brioschi del da curvatura gausiana solamente en términos de primera forma fundamental: = \ frac del $de\; K\; \{\backslash \; comenzar\; \{vmatrix\}\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; E\_\; \{vv\}\; +\; -\; \{ultravioleta\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; de\; F\_\; \{2\}\; y\; \backslash \; frac\; \{1\}\; de\; G\_\; \{uu\}\; \{2\}\; E\_u\; y\; F\_u-\; \backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; F\_v-\; \backslash \; frac\; \{1\}\; de\; E\_v\; \{2\}\; G\_u\; y\; E\; y\; F\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; G\_v\; y\; F\; y\; G\; \backslash \; el\; extremo\; \{vmatrix\}\; -\; \backslash \; comienzan\; \{vmatrix\}\; 0\; y\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; de\; E\_v\; y\; \backslash frac\; \{1\}\; \{2\}\; G\_u\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; E\_v\; y\; E\; y\; F\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; G\_u\; y\; F\; y\; G\; \backslash \; extremo\; \{vmatrix\}\}\; \{(EG.\; -\; F^2)^2\}$

para una parametrización ortogonal del, curvatura gausiana es: $K\; de\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{EG.\}\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{G\_u\}\; de\; u\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{EG.\}\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{E\_v\}\; de\; v\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{EG.$
La curvatura gausiana del

es la diferencia limitadora entre la circunferencia del de un círculo geodésico y de un círculo en el plano: = \ lim_ {r \ rarr 0} del $K\; de\; (2\; \backslash \; pi\; r\; -\; \backslash )\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{\backslash \; pi\; r^3\}$ del mbox {C} (r)
La curvatura gausiana del

es la diferencia limitadora entre el área del de un círculo geodésico y de un círculo en el plano: = \ lim_ {r \ rarr 0} del $K\; de\; (\backslash \; pi\; r^2\; -\; \backslash )\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{12\}\; \{\backslash \; pi\; r^4\}$ del mbox {A} (r)
La curvatura gausiana del

se puede expresar con los símbolos de Christoffel del : $K\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{E\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; Gamma\_\; \{12\}\; ^2\; de\; u\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; v\; parcial\}\; \backslash \; Gamma\_\; \{11\}\; ^2\; +\; \backslash \; Gamma\_\; \{12\}\; ^1\; \backslash \; Gamma\_\; \{11\}\; ^2\; -\; \backslash \; Gamma\_\; \{11\}\; ^1\; \backslash \; +\; \backslash \; Gamma\_\; \{12\}\; ^2\; de\; Gamma\_\; \{12\}\; ^2\; \backslash \; -\; de\; Gamma\_\; \{12\}\; ^2\; \backslash \; Gamma\_\; \{11\}\; ^2\; \backslash \; Gamma\_\; \{22\}\; ^2\; \backslash \; derechos)$ dejado

.

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