El de Lagrange, \ {L} mathcal, de un sistema dinámico es una función que resume la dinámica del sistema. Se nombra después José Louis Lagrange . El concepto de un de Lagrange fue introducido original en una reformulación de los mecánicos clásicos conocidos como mecánicos des Lagrange . En mecánicos clásicos, el de Lagrange se define como la energía cinética, T, del sistema menos su energía potencial, V. En símbolos, del l \ mathcal {L} = T - V.
l \ mathcal {L} = T - V
Bajo las condiciones que se dan en los mecánicos des Lagrange, si el de Lagrange de un sistema se sabe, después ecuaciones del movimiento del sistema puede ser obtenido por una substitución directa de la expresión para el de Lagrange en la ecuación, una familia particular de Euler-Lagrange de las ecuaciones diferenciales parciales
La formulación de Lagrange de mecánicos es importante no apenas para sus usos amplios, pero también para su papel en el avance de la comprensión profunda de la física . Aunque Lagrange intentara solamente describir a los mecánicos clásicos, el principio de la acción del que se utiliza para derivar la ecuación de Lagrange ahora se reconoce para ser aplicable a los mecánicos de Quantum .
La acción física y la fase quántum-mecánica (ondas) son relacionadas vía constante de Planck, y el principio del ''' inmóvil de la acción del ''' se puede entender en términos de interferencia constructiva de las funciones de onda
El mismo principio, y el formalismo de Lagrange, se atan de cerca al teorema de Noether, que se relaciona las cantidades conservadas físico con las simetrías continuas de un sistema físico.
Los mecánicos des Lagrange y el teorema de Noether junto rinden un formalismo natural para la primera cuantificación incluyendo los conmutadores entre ciertos términos de las ecuaciones del movimiento des Lagrange para un sistema físico.
la formulación no se ata a ninguÌn un sistema coordinado -- algo, cualquier conveniente \ varphi_i de las variables se puede utilizar para describir el sistema; estas variables se llaman " El generalizó el " de los coordenadas ; y puede ser cualquier variable independiente del sistema (por ejemplo, fuerza del campo magnético en una localización particular; Ángulo de una polea; posición de una partícula en espacio; o grado de excitación de un particular Eigenmode en un sistema complejo). Esto hace fácil incorporar apremios en una teoría definiendo los coordenadas que describen solamente los estados del sistema que satisfacen los apremios.
si el de Lagrange es invariante bajo una simetría, después ecuaciones del movimiento resultantes es también inferior invariante esa simetría. Esto es muy provechoso en demostrar que las teorías son constantes con relatividad especial o relatividad general. Las ecuaciones del
rivaron de una voluntad de Lagrange sean casi automáticamente inequívocas y constantes, desemejante de las ecuaciones apenas lanzadas juntas de varias fuentes.
Las ecuaciones del movimiento se obtienen por medio de un principio de la acción, escrito como: \ frac del l {\ delta \ mathcal {S}} {\ delta \ varphi_i} = 0
l {\ delta \ mathcal {S}} {\ delta \ varphi_i} = 0
donde está un la acción, S del, funcional del l \ {S} = mathcal \ internacional {\ mathcal {L} {} \, \ ^ns del mathrm {d}},
l \ {S} = mathcal \ internacional {\ mathcal {L} {} \, \ ^ns del mathrm {d}},
y donde {} {} {} {} \ s_ \ alfa denota el determinado de los parámetros del sistema.
Las ecuaciones del movimiento obtenidas por medio del derivado funcional son idénticas a las ecuaciones generalmente de Euler-Lagrange. Los sistemas dinámicos cuyas ecuaciones del movimiento son obtenibles por medio de un principio de la acción en un de Lagrange convenientemente elegida se conocen como sistemas dinámicos des Lagrange del . Los ejemplos de sistemas dinámicos des Lagrange se extienden de la versión clásica del modelo estándar, a las ecuaciones de Newton, a los problemas puramente matemáticos tales como ecuaciones geodésicas y problema de la meseta.
Suponer que tenemos un espacio tridimensional y el de Lagrange
L (\, \ punto del vec {x} {\ vec {x}}) \ = \ \ frac {1} {2 \ \ punto {\ vec {x}} ^2 \ - \ V (\ vec {x}) } \ m.
Entonces, la ecuación de Euler-Lagrange es:
\ frac {d~} {despegue} \ \ ido (\, \ frac {\ L parcial} {\ _i parcial \ del punto {x}} \, \ derecho) \ - \ \ frac {\ L parcial} {\} parcial \ = \ 0 del x_i donde i = 1, 2, 3.
Las producciones de la derivación:
\ frac {\ L parcial} {\ x_i parcial} \ = \ - \ \ frac {\ V parcial} {\ x_i parcial} \ frac {\ L parcial} {\ _i parcial \ del punto {x}} \ = \ \ frac {\ ~ parcial} {\ _i parcial \ del punto {x}} \, \ ido (\, \ frac {1} {2 \ \ punto} \ m {\ vec {x}} ^2 \, \ derecho) \ = \ \ frac {1} {2} \ m \ \ frac {\ ~ parcial} {\} parcial \ del punto \, {x} del _i \ dejó (\, \ _i del punto {x} \, \ _i del punto {x} \, \ derecho) = \ m \, \ el _i del punto {x} \ frac {d~} {despegue} \ \ ido (\, \ frac {\ L parcial} {\} parcial \ del punto \, {x} del _i \) derecho \ = \ m \, \ _i del ddot {x}
Las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden por lo tanto escribir como: + \ nabla V=0 del m \ del ddot del l {\ vec {x}} donde el derivado del tiempo se escribe convencionalmente pues un punto sobre la cantidad que es distinguida, y el \ nabla es el del operator . Usar este resultado, puede ser demostrado fácilmente que el acercamiento de Lagrange es equivalente el neutoniano. Si la fuerza se escribe en términos de \ vec potenciales {F} = - \ nabla V (x); la ecuación resultante es =m del \ del vec {F} \ el ddot {\ vec {x}} , que es exactamente la misma ecuación que en un acercamiento neutoniano para un objeto total constante. Una deducción muy similar nos da el de la expresión \ = \/\ mathrm {d} t del mathrm {d} del vec {F} \ del vec {p}, que es ley de Newton en segundo lugar en su forma general. En el sistema coordinado esférico Suponer que tenemos un espacio tridimensional usar r esférico de los coordenadas, \, \ phi de la theta con el de Lagrange (\ punto {r} ^2+r^2 \ punto {\ theta} ^2 +r^2 \ sin^2 \ theta \ punto {\ varphi} ^2) - V (r). del \ del frac del l 2} {m} { Entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange están: m del l \ ddot {r} - Sr. (\ punto {\ theta} ^2+ \ sin^2 \ theta \ punto {\ varphi} ^2)+V =0, del de \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (mr^2 \ punto {\ theta}) - mr^2 \ pecado \ theta \ lechuga romana \ theta \ punto {\ varphi} ^2=0, del de \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (mr^2 \ sin^2 \ theta \ punto {\ varphi}) =0. Aquí el sistema de los parámetros s_i es apenas el tiempo t, y el dinámico \ phi_i de las variables es el de la trayectoria \ el vec x (t) de la partícula. A pesar de el uso de variables estándar tales como x, el de Lagrange permite el uso de cualquier coordenada, que no necesiten ser ortogonal. Éstos son " El generalizó el " de los coordenadas ;. De Lagrange de una partícula de prueba Una partícula de prueba es una partícula simplificada hipotética del punto sin características con excepción de masa y de carga. Las partículas verdaderas como electrones y para arriba-quarks son más complejas y tienen términos adicionales en su Lagrangians. Partícula de prueba clásica con la gravedad neutoniana ¡El de Lagrange es L \! julios de . ¡Dado una partícula con el m total \! ¡kilogramos de , y metros del de la posición \ del vec {x} en un campo de gravitación neutoniano con el \ la zeta potenciales \! julios de por kilogramo. ¡La línea del mundo de la partícula es dada parámetros por el t del tiempo \! segundos de . La energía cinética de la partícula es: T = {1 \ sobre 2} m \ punto {\} \ cdot \ punto {\ vec {x}} del vec {x} y la energía potencial gravitacional de la partícula es: V del l = m \ zeta [t, t]. Así el de Lagrange es: del l L = T - V = {1 \ sobre 2} m \ punto {\} \ cdot \ punto del vec {x} {\ vec {x}} - m \ zeta [t, t]. ¡Variando \ vec {} \! de x en el integral (equivalente a la ecuación diferencial de Euler Lagrange), conseguimos 0 = \ delta \ internacional {L \, \ mathrm {d} t} = \ internacional {\ delta L \, \ mathrm {d} t} = \ internacional {m \ punto {\ vec {x}} \ cdot \ punto {\ delta \ vec {x}} - m \ nabla \ zeta [t, t] \ cdot \ delta \ vec {} \, \ mathrm {d} t} de x. Integrar por las piezas y desechar el integral total. Entonces dividir hacia fuera la variación para conseguir l 0 = - m \ ddot {\ vec {x}} - m \ nabla \ zeta [t, t] y así m \ ddot del l {\ vec {x}} = - m \ nabla \ zeta [t, t] . (1) es la ecuación del &mdash del movimiento; dos diversas expresiones para la fuerza. Partícula de prueba relativista especial con electromagnetismo En relatividad especial, la forma del término que da lugar el derivado del ímpetu debe ser cambiada; es no más la energía cinética. Se convierte: - m c^2 \ frac {d \ tau} {d t} = - = del de m c^2 \ de la raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}} - m c^2 + {1 \ sobre 2} m v^2 + {1 \ sobre 8} m \ frac {v^4} {c^2} + \ puntos (En relatividad especial, la energía de una partícula de prueba libre es m c^2 \ frac {despegue} {d \ tau} = \ frac {m c^2} {\ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}}} = +m c^2 + {1 \ sobre 2} m v^2 + {3 \ sobre 8} m \ frac {v^4} {c^2} + \ los puntos ) ¡donde c \! ¡los metros de por segundo son la velocidad de la luz en el vacío, \ tau \! segundo es apropiado tiempo (es decir tiempo medido por un reloj que se mueve con la partícula) y v^2 = \ punto {\} \ cdot \ punto del vec {x} {\ vec {x}}. Aviso de que el segundo término en la serie es apenas la energía cinética clásica. ¡Suponer que la partícula tiene q de la carga eléctrica \! ¡los culombios de y están en un campo electromagnético con el \ la phi escalares del potencial \! voltios de (voltio es un julio por culombio) y segundos potenciales de voltio del \ del vec del vector {A} por el metro. El de Lagrange de una partícula de prueba relativista especial en un campo electromagnético es: L = - m c^2 \ raíz cuadrado {1 - \ frac {v^2} {c^2}} - q \ phi, t] + q \ punto {\} \ cdot \ vec {A}, t] del vec {x} Variando esto con respecto al \ al vec {x} , conseguimos 0 = - \ frac {} \ dejado de d} {d t (\ frac {m \ punto {\ vec {x}}} {\ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}}} \) - q \ nabla \ phi, t] - q correcto \ partial_t {\ vec {A}}, t] - q \ punto {\} \ cdot \ nabla \ vec {A}, t] del vec {x} + q \ nabla {\ vec {A}},] \ cdot \ punto de t {\ vec {x}} cuál es \ frac {} \ dejado de d} {d t (\ frac {m \ punto {\ vec {x}}} {\ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}}} \ derecho) = q \ vec {E}, t] + q \ punto {\ vec {x}} \ épocas \ vec {B}, t] está la ecuación cuál para la fuerza de Lorentz donde del l \ vec {E} = - \ nabla \ phi - \ = \ nabla \ épocas \ vec {A} del \ del vec partial_t {\ vec {A}} {B} Partícula de prueba relativista general En la relatividad general, el primer término generaliza (incluye) la energía cinética clásica e interacción con el potencial gravitacional neutoniano. Se convierte: - m c^2 del l \ = frac {d \ tau} {d t} - m c \ raíz cuadrado {- g_ {\ alfa \ beta}] \ frac {x^ de d {\} \ frac {x^ de la alfa}} {d t de d {\ beta}} {d t}}. El de Lagrange de una partícula de prueba relativista general en un campo electromagnético es: del l L = - m c \ raíz cuadrado {-] \ frac {x^ de d {\ alfa}} {d t} del g_ {\ alfa \ beta} \ frac {x^ de d {\ beta}} {d t}} + q \ frac {x^ de d {\ gamma}} {d t} A_ {\ gamma}]. ¡Si cuatro espacio-tiempo coordenada x^ {\} \! de la alfa¡ son dado en arbitrario unidad (es decir unidad-menos), entonces g_ {\} alfa \ beta \! los metros de ajustados son el tensor métrico simétrico de la fila 2 que es también el potencial gravitacional. ¡También, A_ {\} \! de la gammalos segundos de voltio de son el potencial electromágnetico de 4 vectores. Notar que un factor del c se ha absorbido en la raíz cuadrada porque es el equivalente de c del l \ = \ raíz cuadrada, \ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}} {- (- c^2 + v^2)}. Observar que esta noción se ha generalizado directo de relatividad especial Lagrangians y densidades des Lagrange en teoría de campo El integral del tiempo del de Lagrange se llama la acción denotada por S. En la teoría de campo, una distinción se hace de vez en cuando entre el L de Lagrange, cuyo la acción es el integral del tiempo: del l \ {S} = mathcal \ internacional {L \, \ mathrm {d} t} y el de Lagrange de la densidad del \ {L} el mathcal, cuál integra sobre todo el espacio-tiempo para conseguir la acción: del l \ {S} = mathcal \ internacional {\ {L} (x) mathcal \, \ mathrm {d} ^4x} El de Lagrange es entonces el integral espacial de la densidad de Lagrange. Sin embargo, el \ {L} mathcal también con frecuencia simplemente se llama el de Lagrange, especialmente en uso moderno; es lejos más útil en las teorías relativistas puesto que es un localmente definido, campo escalar de Lorentz . Ambas definiciones del de Lagrange se pueden considerar como casos especiales de la forma general, dependiendo de si el \ el vec variables espaciales x está incorporado en el índice i o los parámetros s en el \ varphi_i. Las teorías de campo de Quantum en la física de partícula, tal como electrodinámica de Quantum, se describen generalmente en términos de \ {L} mathcal, y los términos en esta forma del de Lagrange traducen rápidamente a las reglas usadas en los diagramas de evaluación de Feynman Campos seleccionados Para ir con la sección en partículas de prueba arriba, aquí están las ecuaciones para los campos en los cuales se mueven. Las ecuaciones abajo pertenecen a los campos en los cuales las partículas de prueba describieron sobre movimiento y permiten el cálculo de esos campos. Las ecuaciones abajo no le darán las ecuaciones del movimiento de una partícula de prueba en el campo sino en lugar de otro le darán el potencial (campo) inducido por cantidades tales como densidad en cualquier momento de la masa o de carga. Por ejemplo, en el caso de la gravedad neutoniana, la densidad de Lagrange integrada sobre espacio-tiempo le da una ecuación que, si estuvo solucionada, rendiría el \ la zeta . Este \ zeta , cuando está substituido detrás en la ecuación (1), la ecuación de Lagrange para la partícula de prueba en un campo gravitacional neutoniano, proporciona la información necesaria para calcular la aceleración de la partícula. Gravedad neutoniana El de Lagrange (densidad) es \ {L} julios mathcal de por metro cúbico. ¡El m \ la zeta del término de la interacción \! ¡ es substituido por un término que implica un total continuo \ MU de la densidad \! kilogramos de por metro cúbico. Esto es necesario porque usar una fuente de punto para un campo daría lugar a dificultades matemáticas. El resultar de Lagrange para el campo gravitacional clásico es: del l \ mathcal {L} = - \ MU \ zeta - {1 \ sobre 8 \ pi G} (\ nabla \ zeta) ^2 ¡donde G \! los metros de cubicados por el kilogramo ajustado en segundo lugar son el constante gravitacional . ¡Variación del integral con respecto a \ a zeta \! da: l 0 = - \ MU \ delta \ zeta - {2 \ sobre 8 \ pi G} (\) \ cdot del nabla \ de la zeta (\ nabla \ delta \ zeta). Integrar por las piezas y desechar el integral total. ¡Entonces dividir hacia fuera por el \ el delta \ la zeta \! a conseguir: 0 = - \ MU + {1 \ sobre} \ nabla \ cdot \ nabla \ zeta de 4 \ pi G y así 4 \ pi G \ MU del = \ nabla^2 \ zeta. Electromagnetismo en relatividad especial ¡Interacción llama - q \ phi, t] + q \ punto {\} \ cdot \ vec {A}, t] del vec {x} son substituidos por los términos que implican un \ un rho continuos de la densidad de carga \! ¡ culombio por metro cúbico y corriente densidad \ vec {} \! de jamperios de por metro cuadrado. El resultar de Lagrange para el campo electromagnético es: del l \ mathcal {L} = - \ rho \ phi + \ vec {} \ cdot \ vec {A} de j + {\ epsilon_0 \ sobre 2} {E} ^2 - {1 \ encima {2 \ mu_0}} {B} ^2. ¡Variación de esto con respecto a \ a phi \! , conseguimos l 0 = + \ epsilon_0 \ nabla \ cdot \ vec {E} - \ de rho cuál rinde la ley de los gauss. Variando en lugar de otro con respecto al \ al vec {A} , conseguimos 0 = \ vec {j} + \ epsilon_0 \ partial_t \ vec {E} - {\ mu_0} 1 \ sobre \ nabla \ épocas \ vec {B} cuál rinde la ley de Ampère. Electromagnetismo en relatividad general Para el de Lagrange de la gravedad en relatividad general, ver la acción de Einstein-Hilbert. El de Lagrange del campo electromagnético es: del l \ mathcal {L} = + J^ {\ gamma} A_ {\ gamma} - {1 \ sobre 4 \ mu_0} F_ {\ MU \ NU} F_ {\ alfa \ beta} g^ {\ MU \ alfa} g^ {\ NU \} beta \ raíz cuadrada {\ frac {- 1} {c^2} \ mathrm {det}]} ¡Si cuatro espacio-tiempo coordenada x^ {\} \! de la alfa se dan en unidades arbitrarias, entonces: el \ {L} los segundos mathcal del julio de es los des Lagrange, una densidad escalar; ¡J^ {\} \! de la gammalos culombios de son la corriente, una densidad del vector; ¡y F_ {\} \! de MU \ de NUlos segundos de voltio de son el tensor electromágnetico, un tensor antisimétrico de la covariante de la fila dos. ¡Notan que determinante debajo cuadrado raíz muestra es aplicado a matriz de componente de covariante métrico tensor g_ {\} alfa \ beta \! ¡, y g^ {\} alfa \ beta \! es su lo contrario. ¡Notar que las unidades del de Lagrange cambiado porque estamos integrando sobre x^0, x^1, x^2, x^3 \! ¡ que son unidad-menos algo que sobre el t, x, y, z \! que tienen unidades de metros de los segundos cubicados. El tensor de campo electromagnético es formado anti-symmetrizing el derivado parcial del potencial electromágnetico del vector; no es tan una variable independiente. La raíz cuadrada es necesaria convertir ese término en una densidad escalar en vez apenas de un escalar, y también compensar el cambio en las unidades de las variables de la integración. ¡El factor del \ del frac {- 1} {c^2} dentro de la raíz cuadrada es necesario normalizarla de modo que la raíz cuadrada reduzca a una en relatividad especial (puesto que el determinante es el - c^2 \! en relatividad especial). Lagrangians en teoría de campo de quántum Dirac de Lagrange La densidad de Lagrange para un campo de Dirac es: ¡ del l \ {L} = mathcal \ barra \ PSI (i \ c hbar \ no \! D - mc^2) \ psi ¡donde \ PSI \! ¡ es un espinor, \ barra \ PSI = \ psi^ \ daga \ gamma^0 es su adjoint, D de Dirac \! ¡ es el derivado de la covariante del calibrador, y \ no \! ¡D es la notación de Feynman para el \ el gamma^ \ la sigma D_ \ sigma \! . De Lagrange electrodinámico de Quantum La densidad de Lagrange para el QED es: ¡ del l \ = mathcal \ barra \ PSI (i \ c hbar \ no \! del _ {L} {\ mathrm {QED}}D - mc^2) \ PSI - {1 \ sobre 4 \ mu_0} F_ {\ MU \ NU} F^ {\ MU \ NU} ¡donde F^ {\} \! de MU \ de NU es el tensor electromágnetico De Lagrange chromodynamic de Quantum La densidad de Lagrange para el chromodynamics de Quantum es: ¡ del l \ = mathcal \ sum_n \ barra \ psi_n (i \ c hbar \ no \! del _ {L} {\ mathrm {QCD}}D - m_n c^2) \ psi_n - {1 \ sobre 4} G^ \ {} _ alfa {\ MU \ NU} G_ \ {} ^ alfa {\ MU \ NU} ¡donde D \! ¡ es QCD calibrador covariante derivado, y G^ \ alfa {} _ {\} \! de MU \ de NU es el tensor de la fuerza de campo del gluon . Formalismo matemático Suponer que tenemos un n - múltiple dimensional, M, y un múltiple de la blanco, T. Dejar el \ {C} mathcal sea el espacio de configuración de las funciones lisas de M a T. Ejemplos En los mecánicos clásicos, en el formalismo hamiltoniano, M es el \ el mathbb multíples unidimensionales {R} , representando tiempo y el espacio de la blanco es el paquete de la cotangente del espacio de posiciones generalizadas. En teoría de campo, M es el múltiple del espacio-tiempo y el espacio de la blanco es el sistema de valores que los campos pueden tomar en cualquier punto dado. Por ejemplo, si hay el verdadero - de los campos escalares \ phi_ valorados {1} de m,…, \ phi_ {m} , después el múltiple de la blanco es \ el mathbb {R} ^m. Si el campo es un campo de vector verdadero, después el múltiple de la blanco es el isomorfo al \ al mathbb {R} ^n. Hay realmente una manera mucho más elegante usar los paquetes de la tangente sobre M, pero apenas nos pegaremos a esta versión. Desarrollo matemático Considerar un funcional, \ mathcal {S}: \ mathcal {} \ rightarrow \ mathbb {R} de C, llamado la acción . Las razones físicas determinan que es un que traza al \ al mathbb {R} , no \ el mathbb {C} . Para que la acción ser local, nosotros necesitan restricciones adicionales en la acción . Si el \ el varphi \ en \ {C} mathcal, nosotros asumen que \ mathcal {S} es el integral sobre M de una función del \ phi, de sus derivados y de la posición llamada el de Lagrange, \ mathcal {L} (\ varphi, \ parcial \ varphi, \ parcial \ parcial \ varphi,…, x). Es decir \ forall \ varphi \ en \ mathcal {C}, \ \ \ mathcal {S} \ equivalente \ int_M \ mathrm {d} ^nx \ mathcal {L} \ grande (\ varphi (x), \ parcial \ varphi (x), \ parcial \ parcial \ varphi (x),…, x \ grande). Se asume abajo, además, que el de Lagrange depende solamente del valor del campo y de su primer derivado pero no de los derivados más altos. Dado límite condición básicamente especificación de valor de \ phi en límite si M es el compacto o un cierto límite en el \ phi como x se acerca al \ infty (éste ayudará en hacer la integración por las piezas ), el subespacio del \ {C} de las funciones el consistir en mathcal de , el \ phi tal que todos los derivados funcionales de S en el \ phi son cero y el \ phi satisface las condiciones de límite dadas es el subespacio en soluciones de la cáscara . La solución es dada por las ecuaciones (gracias de Euler-Lagrange a las condiciones de límite, = \ partial_ \ MU del \ del frac del l {\ delta \ mathcal {S}} {\ delta \ varphi} \ ido (\ frac {\ parcial \ mathcal {L}} {\ parcial (\ partial_ \ MU \ varphi)}\) + derecho \ frac {\ parcial \ mathcal {L}} {\ parcial \ varphi} =0. El lado de mano izquierda es el derivado funcional de la acción con respecto al \ phi. Ver también class=" del Derivado funcional Integral funcional Principio de menos acción Cálculo de las variaciones El generalizó los coordenadas Mecánicos hamiltonianos Mecánicos des Lagrange Punto de Lagrange Teorema de Noether Teoría de campo clásica de la covariante Teoría de campo escalar
l {\ vec {x}}
donde el derivado del tiempo se escribe convencionalmente pues un punto sobre la cantidad que es distinguida, y el \ nabla es el del operator .
Usar este resultado, puede ser demostrado fácilmente que el acercamiento de Lagrange es equivalente el neutoniano.
Si la fuerza se escribe en términos de \ vec potenciales {F} = - \ nabla V (x); la ecuación resultante es =m del \ del vec {F} \ el ddot {\ vec {x}} , que es exactamente la misma ecuación que en un acercamiento neutoniano para un objeto total constante.
Una deducción muy similar nos da el de la expresión \ = \/\ mathrm {d} t del mathrm {d} del vec {F} \ del vec {p}, que es ley de Newton en segundo lugar en su forma general.
l 2} {m} {
Entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange están: m del l \ ddot {r} - Sr. (\ punto {\ theta} ^2+ \ sin^2 \ theta \ punto {\ varphi} ^2)+V =0, del de \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (mr^2 \ punto {\ theta}) - mr^2 \ pecado \ theta \ lechuga romana \ theta \ punto {\ varphi} ^2=0, del de \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (mr^2 \ sin^2 \ theta \ punto {\ varphi}) =0.
l \ ddot {r} - Sr. (\ punto {\ theta} ^2+ \ sin^2 \ theta \ punto {\ varphi} ^2)+V =0, del de \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (mr^2 \ punto {\ theta}) - mr^2 \ pecado \ theta \ lechuga romana \ theta \ punto {\ varphi} ^2=0, del de \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (mr^2 \ sin^2 \ theta \ punto {\ varphi}) =0.
Aquí el sistema de los parámetros s_i es apenas el tiempo t, y el dinámico \ phi_i de las variables es el de la trayectoria \ el vec x (t) de la partícula.
A pesar de el uso de variables estándar tales como x, el de Lagrange permite el uso de cualquier coordenada, que no necesiten ser ortogonal. Éstos son " El generalizó el " de los coordenadas ;.
Una partícula de prueba es una partícula simplificada hipotética del punto sin características con excepción de masa y de carga. Las partículas verdaderas como electrones y para arriba-quarks son más complejas y tienen términos adicionales en su Lagrangians.
¡El de Lagrange es L \! julios de . ¡Dado una partícula con el m total \! ¡kilogramos de , y metros del de la posición \ del vec {x} en un campo de gravitación neutoniano con el \ la zeta potenciales \! julios de por kilogramo. ¡La línea del mundo de la partícula es dada parámetros por el t del tiempo \! segundos de . La energía cinética de la partícula es:
T = {1 \ sobre 2} m \ punto {\} \ cdot \ punto {\ vec {x}} del vec {x}
y la energía potencial gravitacional de la partícula es: V del l = m \ zeta [t, t].
l = m \ zeta [t, t].
Así el de Lagrange es: del l L = T - V = {1 \ sobre 2} m \ punto {\} \ cdot \ punto del vec {x} {\ vec {x}} - m \ zeta [t, t].
l L = T - V = {1 \ sobre 2} m \ punto {\} \ cdot \ punto del vec {x} {\ vec {x}} - m \ zeta [t, t].
¡Variando \ vec {} \! de x en el integral (equivalente a la ecuación diferencial de Euler Lagrange), conseguimos
0 = \ delta \ internacional {L \, \ mathrm {d} t} = \ internacional {\ delta L \, \ mathrm {d} t} = \ internacional {m \ punto {\ vec {x}} \ cdot \ punto {\ delta \ vec {x}} - m \ nabla \ zeta [t, t] \ cdot \ delta \ vec {} \, \ mathrm {d} t} de x.
Integrar por las piezas y desechar el integral total. Entonces dividir hacia fuera la variación para conseguir
l 0 = - m \ ddot {\ vec {x}} - m \ nabla \ zeta [t, t]
y así m \ ddot del l {\ vec {x}} = - m \ nabla \ zeta [t, t] . (1)
l {\ vec {x}} = - m \ nabla \ zeta [t, t]
es la ecuación del &mdash del movimiento; dos diversas expresiones para la fuerza.
- m c^2 \ frac {d \ tau} {d t} = - = del de m c^2 \ de la raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}} - m c^2 + {1 \ sobre 2} m v^2 + {1 \ sobre 8} m \ frac {v^4} {c^2} + \ puntos
(En relatividad especial, la energía de una partícula de prueba libre es m c^2 \ frac {despegue} {d \ tau} = \ frac {m c^2} {\ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}}} = +m c^2 + {1 \ sobre 2} m v^2 + {3 \ sobre 8} m \ frac {v^4} {c^2} + \ los puntos )
¡donde c \! ¡los metros de por segundo son la velocidad de la luz en el vacío, \ tau \! segundo es apropiado tiempo (es decir tiempo medido por un reloj que se mueve con la partícula) y v^2 = \ punto {\} \ cdot \ punto del vec {x} {\ vec {x}}. Aviso de que el segundo término en la serie es apenas la energía cinética clásica. ¡Suponer que la partícula tiene q de la carga eléctrica \! ¡los culombios de y están en un campo electromagnético con el \ la phi escalares del potencial \! voltios de (voltio es un julio por culombio) y segundos potenciales de voltio del \ del vec del vector {A} por el metro. El de Lagrange de una partícula de prueba relativista especial en un campo electromagnético es:
L = - m c^2 \ raíz cuadrado {1 - \ frac {v^2} {c^2}} - q \ phi, t] + q \ punto {\} \ cdot \ vec {A}, t] del vec {x}
Variando esto con respecto al \ al vec {x} , conseguimos
0 = - \ frac {} \ dejado de d} {d t (\ frac {m \ punto {\ vec {x}}} {\ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}}} \) - q \ nabla \ phi, t] - q correcto \ partial_t {\ vec {A}}, t] - q \ punto {\} \ cdot \ nabla \ vec {A}, t] del vec {x} + q \ nabla {\ vec {A}},] \ cdot \ punto de t {\ vec {x}}
cuál es
\ frac {} \ dejado de d} {d t (\ frac {m \ punto {\ vec {x}}} {\ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}}} \ derecho) = q \ vec {E}, t] + q \ punto {\ vec {x}} \ épocas \ vec {B}, t]
está la ecuación cuál para la fuerza de Lorentz donde del l \ vec {E} = - \ nabla \ phi - \ = \ nabla \ épocas \ vec {A} del \ del vec partial_t {\ vec {A}} {B}
l \ vec {E} = - \ nabla \ phi - \ = \ nabla \ épocas \ vec {A}
l \ = frac {d \ tau} {d t} - m c \ raíz cuadrado {- g_ {\ alfa \ beta}] \ frac {x^ de d {\} \ frac {x^ de la alfa}} {d t de d {\ beta}} {d t}}.
El de Lagrange de una partícula de prueba relativista general en un campo electromagnético es: del l L = - m c \ raíz cuadrado {-] \ frac {x^ de d {\ alfa}} {d t} del g_ {\ alfa \ beta} \ frac {x^ de d {\ beta}} {d t}} + q \ frac {x^ de d {\ gamma}} {d t} A_ {\ gamma}].
l L = - m c \ raíz cuadrado {-] \ frac {x^ de d {\ alfa}} {d t} del g_ {\ alfa \ beta} \ frac {x^ de d {\ beta}} {d t}} + q \ frac {x^ de d {\ gamma}} {d t} A_ {\ gamma}].
¡Si cuatro espacio-tiempo coordenada x^ {\} \! de la alfa¡ son dado en arbitrario unidad (es decir unidad-menos), entonces g_ {\} alfa \ beta \! los metros de ajustados son el tensor métrico simétrico de la fila 2 que es también el potencial gravitacional. ¡También, A_ {\} \! de la gammalos segundos de voltio de son el potencial electromágnetico de 4 vectores. Notar que un factor del c se ha absorbido en la raíz cuadrada porque es el equivalente de c del l \ = \ raíz cuadrada, \ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}} {- (- c^2 + v^2)}. Observar que esta noción se ha generalizado directo de relatividad especial
l \ = \ raíz cuadrada, \ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}} {- (- c^2 + v^2)}.
l \ {S} = mathcal \ internacional {L \, \ mathrm {d} t}
y el de Lagrange de la densidad del \ {L} el mathcal, cuál integra sobre todo el espacio-tiempo para conseguir la acción: del l \ {S} = mathcal \ internacional {\ {L} (x) mathcal \, \ mathrm {d} ^4x}
l \ {S} = mathcal \ internacional {\ {L} (x) mathcal \, \ mathrm {d} ^4x}
El de Lagrange es entonces el integral espacial de la densidad de Lagrange. Sin embargo, el \ {L} mathcal también con frecuencia simplemente se llama el de Lagrange, especialmente en uso moderno; es lejos más útil en las teorías relativistas puesto que es un localmente definido, campo escalar de Lorentz . Ambas definiciones del de Lagrange se pueden considerar como casos especiales de la forma general, dependiendo de si el \ el vec variables espaciales x está incorporado en el índice i o los parámetros s en el \ varphi_i. Las teorías de campo de Quantum en la física de partícula, tal como electrodinámica de Quantum, se describen generalmente en términos de \ {L} mathcal, y los términos en esta forma del de Lagrange traducen rápidamente a las reglas usadas en los diagramas de evaluación de Feynman
Para ir con la sección en partículas de prueba arriba, aquí están las ecuaciones para los campos en los cuales se mueven. Las ecuaciones abajo pertenecen a los campos en los cuales las partículas de prueba describieron sobre movimiento y permiten el cálculo de esos campos. Las ecuaciones abajo no le darán las ecuaciones del movimiento de una partícula de prueba en el campo sino en lugar de otro le darán el potencial (campo) inducido por cantidades tales como densidad en cualquier momento de la masa o de carga. Por ejemplo, en el caso de la gravedad neutoniana, la densidad de Lagrange integrada sobre espacio-tiempo le da una ecuación que, si estuvo solucionada, rendiría el \ la zeta . Este \ zeta , cuando está substituido detrás en la ecuación (1), la ecuación de Lagrange para la partícula de prueba en un campo gravitacional neutoniano, proporciona la información necesaria para calcular la aceleración de la partícula.
El de Lagrange (densidad) es \ {L} julios mathcal de por metro cúbico. ¡El m \ la zeta del término de la interacción \! ¡ es substituido por un término que implica un total continuo \ MU de la densidad \! kilogramos de por metro cúbico. Esto es necesario porque usar una fuente de punto para un campo daría lugar a dificultades matemáticas. El resultar de Lagrange para el campo gravitacional clásico es: del l \ mathcal {L} = - \ MU \ zeta - {1 \ sobre 8 \ pi G} (\ nabla \ zeta) ^2
l \ mathcal {L} = - \ MU \ zeta - {1 \ sobre 8 \ pi G} (\ nabla \ zeta) ^2
¡donde G \! los metros de cubicados por el kilogramo ajustado en segundo lugar son el constante gravitacional . ¡Variación del integral con respecto a \ a zeta \! da:
l 0 = - \ MU \ delta \ zeta - {2 \ sobre 8 \ pi G} (\) \ cdot del nabla \ de la zeta (\ nabla \ delta \ zeta).
Integrar por las piezas y desechar el integral total. ¡Entonces dividir hacia fuera por el \ el delta \ la zeta \! a conseguir:
0 = - \ MU + {1 \ sobre} \ nabla \ cdot \ nabla \ zeta de 4 \ pi G
y así
4 \ pi G \ MU del = \ nabla^2 \ zeta.
¡Interacción llama - q \ phi, t] + q \ punto {\} \ cdot \ vec {A}, t] del vec {x} son substituidos por los términos que implican un \ un rho continuos de la densidad de carga \! ¡ culombio por metro cúbico y corriente densidad \ vec {} \! de jamperios de por metro cuadrado. El resultar de Lagrange para el campo electromagnético es: del l \ mathcal {L} = - \ rho \ phi + \ vec {} \ cdot \ vec {A} de j + {\ epsilon_0 \ sobre 2} {E} ^2 - {1 \ encima {2 \ mu_0}} {B} ^2.
l \ mathcal {L} = - \ rho \ phi + \ vec {} \ cdot \ vec {A} de j + {\ epsilon_0 \ sobre 2} {E} ^2 - {1 \ encima {2 \ mu_0}} {B} ^2.
¡Variación de esto con respecto a \ a phi \! , conseguimos
l 0 = + \ epsilon_0 \ nabla \ cdot \ vec {E} - \ de rho
cuál rinde la ley de los gauss.
Variando en lugar de otro con respecto al \ al vec {A} , conseguimos
0 = \ vec {j} + \ epsilon_0 \ partial_t \ vec {E} - {\ mu_0} 1 \ sobre \ nabla \ épocas \ vec {B}
cuál rinde la ley de Ampère.
Para el de Lagrange de la gravedad en relatividad general, ver la acción de Einstein-Hilbert. El de Lagrange del campo electromagnético es: del l \ mathcal {L} = + J^ {\ gamma} A_ {\ gamma} - {1 \ sobre 4 \ mu_0} F_ {\ MU \ NU} F_ {\ alfa \ beta} g^ {\ MU \ alfa} g^ {\ NU \} beta \ raíz cuadrada {\ frac {- 1} {c^2} \ mathrm {det}]}
l \ mathcal {L} = + J^ {\ gamma} A_ {\ gamma} - {1 \ sobre 4 \ mu_0} F_ {\ MU \ NU} F_ {\ alfa \ beta} g^ {\ MU \ alfa} g^ {\ NU \} beta \ raíz cuadrada {\ frac {- 1} {c^2} \ mathrm {det}]}
¡Si cuatro espacio-tiempo coordenada x^ {\} \! de la alfa se dan en unidades arbitrarias, entonces: el \ {L} los segundos mathcal del julio de es los des Lagrange, una densidad escalar; ¡J^ {\} \! de la gammalos culombios de son la corriente, una densidad del vector; ¡y F_ {\} \! de MU \ de NUlos segundos de voltio de son el tensor electromágnetico, un tensor antisimétrico de la covariante de la fila dos. ¡Notan que determinante debajo cuadrado raíz muestra es aplicado a matriz de componente de covariante métrico tensor g_ {\} alfa \ beta \! ¡, y g^ {\} alfa \ beta \! es su lo contrario. ¡Notar que las unidades del de Lagrange cambiado porque estamos integrando sobre x^0, x^1, x^2, x^3 \! ¡ que son unidad-menos algo que sobre el t, x, y, z \! que tienen unidades de metros de los segundos cubicados. El tensor de campo electromagnético es formado anti-symmetrizing el derivado parcial del potencial electromágnetico del vector; no es tan una variable independiente. La raíz cuadrada es necesaria convertir ese término en una densidad escalar en vez apenas de un escalar, y también compensar el cambio en las unidades de las variables de la integración. ¡El factor del \ del frac {- 1} {c^2} dentro de la raíz cuadrada es necesario normalizarla de modo que la raíz cuadrada reduzca a una en relatividad especial (puesto que el determinante es el - c^2 \! en relatividad especial).
l \ {L} = mathcal \ barra \ PSI (i \ c hbar \ no \! D - mc^2) \ psi
¡donde \ PSI \! ¡ es un espinor, \ barra \ PSI = \ psi^ \ daga \ gamma^0 es su adjoint, D de Dirac \! ¡ es el derivado de la covariante del calibrador, y \ no \! ¡D es la notación de Feynman para el \ el gamma^ \ la sigma D_ \ sigma \! .
l \ = mathcal \ barra \ PSI (i \ c hbar \ no \! del _ {L} {\ mathrm {QED}}D - mc^2) \ PSI - {1 \ sobre 4 \ mu_0} F_ {\ MU \ NU} F^ {\ MU \ NU}
¡donde F^ {\} \! de MU \ de NU es el tensor electromágnetico
l \ = mathcal \ sum_n \ barra \ psi_n (i \ c hbar \ no \! del _ {L} {\ mathrm {QCD}}D - m_n c^2) \ psi_n - {1 \ sobre 4} G^ \ {} _ alfa {\ MU \ NU} G_ \ {} ^ alfa {\ MU \ NU}
¡donde D \! ¡ es QCD calibrador covariante derivado, y G^ \ alfa {} _ {\} \! de MU \ de NU es el tensor de la fuerza de campo del gluon .
Considerar un funcional, \ mathcal {S}: \ mathcal {} \ rightarrow \ mathbb {R} de C, llamado la acción . Las razones físicas determinan que es un que traza al \ al mathbb {R} , no \ el mathbb {C} .
Para que la acción ser local, nosotros necesitan restricciones adicionales en la acción . Si el \ el varphi \ en \ {C} mathcal, nosotros asumen que \ mathcal {S} es el integral sobre M de una función del \ phi, de sus derivados y de la posición llamada el de Lagrange, \ mathcal {L} (\ varphi, \ parcial \ varphi, \ parcial \ parcial \ varphi,…, x). Es decir
\ forall \ varphi \ en \ mathcal {C}, \ \ \ mathcal {S} \ equivalente \ int_M \ mathrm {d} ^nx \ mathcal {L} \ grande (\ varphi (x), \ parcial \ varphi (x), \ parcial \ parcial \ varphi (x),…, x \ grande).
Se asume abajo, además, que el de Lagrange depende solamente del valor del campo y de su primer derivado pero no de los derivados más altos.
Dado límite condición básicamente especificación de valor de \ phi en límite si M es el compacto o un cierto límite en el \ phi como x se acerca al \ infty (éste ayudará en hacer la integración por las piezas ), el subespacio del \ {C} de las funciones el consistir en mathcal de , el \ phi tal que todos los derivados funcionales de S en el \ phi son cero y el \ phi satisface las condiciones de límite dadas es el subespacio en soluciones de la cáscara .
La solución es dada por las ecuaciones (gracias de Euler-Lagrange a las condiciones de límite, = \ partial_ \ MU del \ del frac del l {\ delta \ mathcal {S}} {\ delta \ varphi} \ ido (\ frac {\ parcial \ mathcal {L}} {\ parcial (\ partial_ \ MU \ varphi)}\) + derecho \ frac {\ parcial \ mathcal {L}} {\ parcial \ varphi} =0.
l {\ delta \ mathcal {S}} {\ delta \ varphi} \ ido (\ frac {\ parcial \ mathcal {L}} {\ parcial (\ partial_ \ MU \ varphi)}\) + derecho \ frac {\ parcial \ mathcal {L}} {\ parcial \ varphi} =0.
El lado de mano izquierda es el derivado funcional de la acción con respecto al \ phi.
.
