El de distribución normal, también llamado el la distribución Laplace-Gausiana, es una familia importante de las distribuciones de probabilidad continuas aplicables en muchos campos. Cada miembro de la familia puede ser definido por dos parámetros, localizaciones del y escalas del : el medio (" average", μ del ) y variación (" variability", σ ² del ), respectivamente. El de distribución normal estándar es el de distribución normal con un medio de cero y una variación de uno (las curvas del verde en los diagramas a la derecha). El Carl Friedrich Gauss llegó a ser asociado con este sistema de distribuciones cuando él analizaba datos astronómicos usar ellas, y definió la ecuación de su función de densidad de probabilidad. A menudo se llama la curva de la campana del porque el gráfico de su densidad de la probabilidad se asemeja a una campana .

La importancia del de distribución normal como modelo de fenómenos cuantitativos en el las ciencias del comportamiento naturales de y es debido al teorema de límite central . Muchas medidas psicologicas y fenómenos físicos (como el ruido ) se pueden aproximar bien por el de distribución normal. Mientras que los mecanismos que son la base de estos fenómenos son a menudo desconocidos, el uso del modelo normal puede ser justificado teóricamente si se asume que muchos efectos pequeños, independientes aditivo están contribuyendo a cada observación.

El de distribución normal también se presenta en muchas áreas de las estadísticas . Por ejemplo, la distribución de muestra del medio de muestra es aproximadamente normal, incluso si la distribución de la población de quien se recoge la muestra no es normal. Además, el de distribución normal maximiza la entropía de información entre todas las distribuciones con medio y la variación sabidos, que le toma la decisión natural de la distribución subyacente para los datos resumidos en términos de medio y variación de muestra. El de distribución normal es la familia más ampliamente utilizada de distribuciones en estadísticas y muchas pruebas estadísticas se basan en la asunción de la normalidad. En la teoría de las probabilidades, las distribuciones normales se presentan como las distribuciones de limitación de varias familias discretas continuas y de distribuciones.

Historia

El de distribución normal primero fue introducida por el Abraham de Moivre en un artículo en el 1733, que fue reimpreso en la segunda edición de su la doctrina de las ocasiones, el 1738 en el contexto de aproximar las distribuciones binomiales de cierto para el grande n . Su resultado fue ampliado por el Laplace en su teoría analítica del libro de las probabilidades ( 1812 ), y ahora se llama el teorema de Moivre-Laplace .

Laplace utilizó el de distribución normal en el análisis de los errores de experimentos. El método importante de los m3inimos cuadr3aticos fue introducido por el Legendre en el 1805 . El gauss, que demandó haber utilizado el método desde el 1794, lo justificó riguroso en el 1809 si se asume que un de distribución normal de los errores.

El " conocido; curve" de la campana; vuelve al Jouffret que primero utilizó el " del término; surface" de la campana; en el 1872 para un normal de dos variables con los componentes independientes. El " conocido; " de distribución normal; fue acuñado independiente por el Charles S. Peirce, el Francisco Galton y el Lexis de Wilhelm alrededor 1875 . Esta terminología desafortunadamente anima el error que muchos o el resto de las distribuciones de probabilidad no son " normal". (Véase la discusión del " occurrence" debajo.)

Caracterización

Hay varias maneras al caracteriza una distribución de probabilidad . El más visual es la función de densidad de probabilidad (pdf). Las maneras equivalentes son la función de distribución acumulativa, los momentos los cumulantes la función característica, la función de Momento-generación, la función de generación del cumulante, y el teorema del maxwell. Ver la distribución de probabilidad para una discusión.

Para indicar que un con valores reales X de la variable al azar está distribuido normalmente con el μ malo del y el ≥ 0 del σ ² del de la variación, escribimos $X\; del$

l \ sim N, (\ MU \ sigma^2). ¡\, \!

Mientras que es ciertamente útil para ciertos teoremas de límite (e. normalidad asintótica de los peritos ) y para la teoría de los procesos gausianos considerar la distribución de probabilidad concentrada en el μ del (véase la medida de Dirac) como de distribución normal con el μ malo del y el σ del de la variación ² = 0, este caso degenerado se excluye a menudo de las consideraciones porque existe ninguna densidad con respecto a la medida de Lebesgue.

El de distribución normal se puede también dar parámetros usar un τ parámetro de la precisión, definido como el recíproco del σ ² del . Esta parametrización tiene una ventaja en usos numéricos donde está muy cercano a cero y es más conveniente el σ ² del de trabajar con en análisis pues el τ del es un parámetro natural del de distribución normal.

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad continua de probabilidad del de distribución normal es la función gausiana

$\backslash \; varphi\_,\; \backslash \; sigma^2\; \{\backslash \; MU\}\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; exp\; \backslash \; biggl\; (-\; \backslash \; frac\; \{(x\; \backslash \; MU)\; ^2\}\; \{2\; \backslash \; sigma^2\}\; \backslash \; biggr)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; MU\; de\; x\}\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; derecho),\; dejado\; \backslash \; patio\; x\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; de\; la\; sigma,$

donde está la desviación el σ del > 0 estándar, el μ verdadero parámetro es el valor previsto, y

$\backslash \; varphi\; (x)=\; \backslash \; varphi\_\; \{0.1\}\; (x)=\; \backslash \; frac\; \{1\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash raíz\; cuadrada\{2\; \backslash ,\; \backslash \; patio\; x\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\},$ del pi \,} del e^ {- \ frac {x^2} {2}}

es la función de densidad del " standard" de distribución normal, es decir, el de distribución normal con el μ del = 0 y σ del = 1. Para verificar que el integral del $\backslash \; del\; varphi\_,\; \backslash \; sigma^2\; \{\backslash \; MU\}$ sobre la línea verdadera sea de hecho igual a uno, ver el integral gausiano .

Como función gausiana con el denominador del exponente igual a 2, el $estándarde\; la\; función\; de\; densidad\; normal\; \backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; varphi$ es una función propia Fourier transforman .

Algunas calidades notables de la función de densidad de probabilidad:
La función de densidad es simétrica sobre su μ valor medio.
El μ malo del es también su modo y el mediano.
Los puntos de la inflexión de la curva ocurren en una desviación estándar lejos del medio, es decir en el &minus del μ del ; σ del y μ del + σ del .

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (cdf) de una distribución de probabilidad, evaluado en un (minúsculo) x del número, es la probabilidad del acontecimiento que es un (capital) X de la variable al azar con esa distribución inferior o igual el x . La función de distribución acumulativa del de distribución normal se expresa en términos de función de densidad como sigue: el $del$

l \ comienza {alinear} \ Phi_, \ sigma^2 {\ MU} (x) y {} = \ ^x del int_ {- \ infty} \ varphi_, \ sigma^2 {\ MU} (u) \, del du \ \ y {} = \ frac {1} {\ sigma \ raíz cuadrada {2 \ pi}} \ ^x del int_ {- \ infty} \ exp \ Bigl (- \ frac {(- \ MU de u) ^2} {2 \ sigma^2} \ \) \, de Bigr del du \ \ y {} = \, \ patio x \ en \ mathbb {R} de la phi \ de Bigl (\ frac {x \ MU} {\} \ Bigr de la sigma), \ extremo {alinear}

donde está apenas el cdf el cdf normal estándar, Φ, general evaluado con el μ del = 0 y σ del = 1:

$\backslash \; Phi\; (x)\; =\; \backslash \; Phi\_\; \{0.1\}\; (x)$

\ frac {1} {\ raíz cuadrada {2 \ pi}}

\ ^x del int_ {- \ infty} \ exp \ Bigl (- \ frac {u^2} {2} \ Bigr) \, \ patio x \ en \ mathbb {R} del du.

El cdf normal estándar se puede expresar en términos de función especial llamada la función de error, como

$\backslash \; Phi\; (x)$

\ frac {1} {2} \ Bigl 1 + \ operatorname {} \) \ Bigr de Bigl del erf (\ frac {x} {\ raíz cuadrada {2}} \ de Bigr,

\ patio x \ en \ mathbb {R},

y el cdf sí mismo se puede por lo tanto expresar como

$\backslash \; Phi\_,\; \backslash \; sigma^2\; \{\backslash \; MU\}\; (x)$

\ frac {1} {2} \ Bigl 1 + \ operatorname {} \) \ Bigr de Bigl del erf (\ frac {x \ MU} {\ sigma \ raíz cuadrada {2}} \ de Bigr,

\ patio x \ en \ mathbb {R}.

El complemento del cdf normal estándar, $1\; -\; \backslash \; phi\; (x)$, es a menudo $Q\; denotado\; (x)$, y se refiere a veces simplemente como la Q-función, especialmente en textos de la ingeniería. Esto representa la probabilidad de la cola de la distribución gausiana. Otras definiciones de la Q-función, que son transformaciones simples del $\backslash \; Phi$, también se utilizan de vez en cuando.

La función de distribución acumulativa normal estándar inversa, o la función del cuantil, se puede expresar en términos de función de error inversa:

$\backslash \; Phi^\; \{-\; 1\}\; (p)$

\ sqrt2

\; \ ^ del operatorname {erf} {- 1} (2p - 1), \ patio p \ adentro (0.1),

y la función de distribución acumulativa inversa se puede por lo tanto expresar como

$\backslash \; ^\; de\; Phi\_,\; \backslash \; sigma^2\; \{\backslash \; MU\}\; \{-\; 1\}\; (p)$

\ MU + \ sigma \ Phi^ {- 1} (p)

\ MU + \ sigma \ sqrt2

\; \ ^ del operatorname {erf} {- 1} (2p - 1), \ patio p \ adentro (0.

Esta función del cuantil a veces se llama la función del probit . No hay elemental primitivo para la función del probit. Éste no es decir simplemente que no se sabe ninguno, pero algo que la no existencia de un primitivo tan elemental se ha probado. Varios métodos exactos existen para aproximar la función del cuantil para el de distribución normal - ver la función del cuantil para una discusión y las referencias.

Los valores Φ ( x ) se pueden aproximar muy exactamente por una variedad de métodos, tales como integración numérica, serie de Taylor, serie asintótica y fracciones continuas

Límites más bajos y superiores terminantes para el cdf

Para grande x estándar normal cdf $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; phi\; (x)$ es cercano a 1 y $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; phi\; (-\; x)\; \backslash ,\; \{=\}\; \backslash ,\; 1\; \backslash ,\; \{-\}\; \backslash ,\; \backslash \; phi\; (x)$ está cercano a 0. Los límites elementales

en términos de $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; varphi$ de la densidad ser útil.

Usar el   del v de la substitución ; =  se deriva el u ² /2, el límite superior como sigue:

\ int_ {x^2/2} ^ \ infty \ frac {e^ {- v}} {} \, de x \ de la raíz cuadrada {2 \ pi} dv

- \ biggl. \ frac {e^ {- v}} {} \ biggr de x \ de la raíz cuadrada {2 \ pi}|^ del _ {x^2/2} \ infty

\ frac {\ varphi (x)} {x}.

\ extremo {alinear}

Semejantemente, usar $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; varphi\text{'}(u)\; \backslash ,\; \{=\}\; \backslash ,\; -\; u\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\; (u)$ y el cociente gobiernan,

- \ biggl. \ frac {\ varphi (u)} u \ biggr|_x^ \ infty

\ frac {\ varphi (x)} X.

\ extremo {alinear}

Solucionando para $\backslash \; scriptstyle\; 1\; \backslash ,\; \{-\}\; \backslash ,\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash ,$ proporciona el límite más bajo.

Funciones de generación

Función de generación del momento

Se define la función de generación del momento como el valor previsto de exp (tX del ). Para un de distribución normal, la función de generación del momento está

$\backslash \; comenzar\; \{alinear\}\; M\_X\; (t)\; y\; \{\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; dejado\; \backslash \; exp\; de\; E\; \{(tX)\}\; \backslash \; \backslash \; derecho\; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; ido\; (-\; \backslash \; frac\; \{(-\; \backslash \; MU\; de\; x)\; ^2\}\; \{2\; \backslash \; sigma^2\}\; \backslash \; derecho)\}\; \backslash \; exp\; \{(tx)\}\; \backslash ,\; del\; dx\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; dejado\; +\; \backslash \; frac\; (\backslash \; MU\; t\; \{\backslash \; sigma^2\; t^2\}\; \{2\}\; \backslash \; derechos)\}\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$

como se puede ver por el la realización del cuadrado en el exponente.

Función de generación de cumulante

La función de generación del cumulante es el logaritmo de la función de generación del momento: g ( t ) = t del μ + t ² /2. Puesto que esto es un polinomio cuadrático en el t, sólo los primeros dos cumulantes son diferentes a cero.

Función característica

Se define la función característica como el valor previsto de $\backslash \; exp\; (i\; t\; X)$, donde está la unidad $i$ imaginaria . La función característica es obtenida tan substituyendo el t por el i  del ; t en la función de momento-generación.

Para un de distribución normal, la función característica está el $del$

l \ comienza {alinear} \ chi_X (t; \ MU, \ sigma) y {} = M_X (= \ mathrm {E} de i t) \ ido \ exp (i t X) \ \ derecho \ y {} = \ ^ del int_ {- \ infty} {\ infty} \ frac {1} {\ sigma \ raíz cuadrada {2 \ pi}} \ exp \ ido (- \ frac {(- \ MU de x) ^2} {2 \ sigma^2} \ derecho) \ exp (i t x) \, del dx \ \ y {} = \ exp \ se fue ( - \ frac de i \ MU t {\ sigma^2 t^2} {2} \ derecho). \ extremo {alinear}

Características

Algunas características del de distribución normal:

si $X\; \backslash \; sim\; N,\; \backslash \; sigma^2)$ y $a$ y $b$ (\ MU es el $a\; X\; de\; los\; números\; verdaderos\; entonces\; +\; b\; \backslash \; el\; sim\; N\; (a\; \backslash \; MU\; +\; b,\; (a\; \backslash \; sigma)\; ^2)$ (véase el valor previsto y la variación ).

Si el $X\; \backslash \; el\; sim\; N\; (\backslash ,\; \backslash \; sigma^2\_X\; del\; mu\_X)$ y $Y\; \backslash \; el\; sim\; N\; (\backslash ,\; \backslash \; sigma^2\_Y\; del\; mu\_Y)$ son las variables al azar normal independiente entonces:

* Su suma se distribuye normalmente con el $U\; =\; X\; +\; Y\; \backslash \; el\; sim\; N\; (\backslash \; mu\_X\; +\; \backslash ,\; \backslash \; sigma^2\_X\; del\; mu\_Y\; +\; \backslash \; sigma^2\_Y)$ (prueba ). Interesante, los asimientos del inverso: si dos variables al azar independientes tienen una suma normal-distribuida, después deben ser ellos mismos &mdash normal; esto se conoce como teorema de Cramér.

la diferencia del *Their se distribuye normalmente con el $V\; =\; X\; -\; Y\; \backslash \; sim\; N\; (\backslash \; mu\_X\; -\; \backslash ,\; \backslash \; sigma^2\_X\; del\; mu\_Y\; +\; \backslash \; sigma^2\_Y)$.

el *If las variaciones del X y del Y es igual, después el U y el V son independiente de uno a.

divergencia, $D\_\; de\; Kullback-Leibler\; del\; *The\; \{\backslash \; rm\; kilolitro\}\; (X\; \backslash |\; Y)\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; \backslash \; (\backslash \; registro\; \backslash \; ido\; (\{\backslash \; sigma^2\_Y\; \backslash \; sobre\; \backslash \; sigma^2\_X\}\; \backslash \; derecho)\; +\; dejado\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma^2\_X\}\; \{\backslash \; sigma^2\_Y\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; (\backslash \; mu\_Y\; -\; \backslash \; mu\_X\; \backslash \; derecho)\; ^2\; dejado\}\; \{\backslash \; sigma^2\_Y\}\; -\; 1\; \backslash \; derecho).\; de$ Si el $X\; \backslash \; el\; sim\; N\; (0,\; \backslash \; sigma^2\_X)$ y $Y\; \backslash \; sim\; N\; (0,\; \backslash \; sigma^2\_Y)$ son variables al azar normales independientes, entonces:

el $X\; Y$ del producto del *Their sigue una distribución con la densidad $p$ dada por el

*: $p\; (z)\; =\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\_X\; del\; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; \backslash ,\; \backslash \}\; \backslash ;\; del\; sigma\_Y\; K\_0\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; el$

del frac Estandardizar variables al azar normales

Como consecuencia de la característica 1, es posible relacionarse todas las variables al azar normales con el normal estándar.

Si $N\; del\; ~\; de$ X$,\; \backslash \; sigma^2)$ (\ MU, entonces ¡

$Z\; =\; \backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; MU\; de\; X\}\; \{\backslash \}\; \backslash !\; de\; la\; sigma$

es una variable al azar normal estándar: $N\; del\; ~\; de$ Z$(0.\; Una\; consecuencia\; importante\; es\; que\; el\; cdf\; de\; un\; de\; distribución\; normal\; general\; está\; por\; lo\; tanto$ \backslash \; banda\; (X\; \backslash \; le\; x)$$

del

l

\ Phi \ se fue ( \ frac {x \ MU} {\ sigma} \)

derecho

\ frac {1} {2} \ se fue ( 1 + \ operatorname {erf} \ se fue ( \ frac {x \ MU} {\ sigma \ raíz cuadrada {2}} \ derecho) \ derecho) .

Inversamente, si $Z$ es un de distribución normal estándar, $N\; del\; ~\; de$ Z$(0.1)$, entonces $X\; del$

l = \ + \ mu de la sigma Z

es una variable al azar normal con el $malo\; \backslash \; mu$ y el $\backslash \; sigma^2$ de la variación.

Se ha tabulado el de distribución normal estándar (generalmente bajo la forma de valor de la función de distribución acumulativa Φ), y las otras distribuciones normales son las transformaciones simples, como se describe anteriormente, de la estándar. Por lo tanto, uno puede utilizar los valores tabulados del cdf del estándar de distribución normal para encontrar los valores del cdf de un general de distribución normal.

Momentos

Los primeros momentos del de distribución normal son:

Generación de los valores para las variables al azar normales

Que las simulaciones de computadora, es a menudo útil generen los valores que tienen un de distribución normal. Hay varios métodos y el más básico es invertir el cdf normal estándar. Métodos más eficientes también se saben, un tal método que es la Caja-Moleta transforman . Un algoritmo incluso más rápido es el algoritmo de Ziggurat.

El algoritmo de la Caja-Moleta dice que, si usted tiene de dos números un y el uniformemente encendido distribuido del b (0, 1], (e. la salida de un generador de número al azar ), después dos variables al azar normalmente distribuidas del estándar son el c y el d, donde:

$c\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\}\; de\; 2\; \backslash \; ln\; a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; lechuga\; romana\; (2\; \backslash \; pi\; b)$

$d\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\}\; de\; 2\; \backslash \; ln\; a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; pecado\; (2\; \backslash \; pi\; b)$

Esto es porque la distribución del ji-cuadrado con dos grados de libertad (véase la característica 4 arriba) es una variable al azar exponencial fácil-generada.

El teorema de límite central

considera también:

l teorema de límite central

Bajo ciertas condiciones (tales como ser independiente y idéntico-distribuido con la variación finita), la suma de una gran cantidad de variables al azar se distribuye aproximadamente normalmente - éste es el teorema de límite central.

La importancia práctica del teorema de límite central es que la función de distribución acumulativa normal se puede utilizar como aproximación a algunas otras funciones de distribución acumulativa, por ejemplo:
La distribución binomial A con el n de los parámetros y el p es aproximadamente normal para el grande n y el p no demasiado cerca a 1 o a 0 (algunos libros recomiendan el usar de esta aproximación solamente si el NP y el n (1  −   el p ) es ambos por lo menos 5; en este caso, una corrección de la continuidad debe ser aplicada). el aproximar de
The de distribución normal tiene &mu de los parámetros; = NP, σ ² = NP (1  −   p ).

Distribución de Poisson A con &lambda del parámetro; es aproximadamente normal para el &lambda grande;. el aproximar de
The de distribución normal tiene &mu de los parámetros; = σ ² = λ.

Si estas aproximaciones son suficientemente exactas depende del propósito para el cual son necesarias, y del índice de convergencia al de distribución normal. Es típicamente el caso que tales aproximaciones son menos exactas en las colas de la distribución. Un límite superior general del error de aproximación de la función de distribución acumulativa es dado por el teorema de la Baya-Esséen.

Divisibilidad infinita

Las distribuciones normales son distribuciones de probabilidad infinitamente divisibles : Dado un &mu malo del ;, un &sigma del de la variación; ²  ≥  0, y un n, la suma del número natural de variables al azar independientes del n ¡

$X\_1,\; X\_2,\; \backslash \; puntos,\; X\_n\; \backslash \; sim\; N\; del,\; \backslash \; sigma^2\; (\backslash \; mu/n\; \backslash !\; /n)\; \backslash ,$

tiene este de distribución normal especificada (verificar esto, las funciones características del uso o la circunvolución y la inducción matemática ).

Estabilidad

Las distribuciones normales son terminantemente distribuciones de probabilidad estables .

Desviación estándar e intervalos de confianza

Los cerca de 68% de valores extraídos de un de distribución normal están dentro de un &sigma de la desviación estándar;   >  0 lejos del &mu malo; ; los cerca de 95% de los valores están dentro de dos desviaciones estándar y la mentira cerca de 99.7% dentro de tres desviaciones estándar. Esto se conoce como el " " de la regla 68-95-99.7; o el " Regla empírica . "

Para ser más exacto, el área debajo de la curva de la campana entre el μ   −   &sigma del n ; y μ   +  &sigma del n ; en términos de función de distribución normal acumulativa se da cerca el $del$

l \ comienza {alinear} y \ Phi_, \ sigma^2 {\ MU} (\ mu+n \ sigma) - \ \ \ de Phi_, \ sigma^2 {\ MU} (\ MU-n \ sigma) &= \ - \ phi (- n) =2 \ phi (n) -, \ extremo {alinear} de la phi (n) de 1= \ del mathrm {erf} \ del bigl (n \ raíz cuadrado {2} \, \ bigr)

donde está la función el erf de error . A 12 lugares decimales, los valores para el 1, 2, hasta 6 puntos de la sigma están:

Forma exponencial de la familia

El de distribución normal es una forma exponencial de la familia del dos-parámetro con &mu natural de los parámetros; y 1/σ ², y natural X de las estadísticas y X ². Canónico forma tiene parámetro $\{\backslash \; MU\; \backslash \; sobre\; \backslash \; sigma^2\}$ y $\{1\; \backslash \; sobre\; \backslash \; sigma^2\}$ y suficiente estadística $\backslash \; suma\; x$ y $-\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; \backslash \; suma\; x^2$.

Proceso gausiano complejo

Considerar la variable al azar gausiana compleja,

$Z=X+iY\; \backslash ,$

donde están variables el X y el Y gausianas verdaderas y independientes con el $\backslash \; el\; scriptstyle\; iguales\; \backslash \; sigma\_r^2\; de\; las\; variaciones\; \backslash ,$. El pdf de las variables comunes entonces está

$\backslash ,\; \backslash \; pi\; del\; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; \backslash ,\; \backslash \; sigma\_r^2\}\; e^\; \{-\; (x^2+y^2)/(2\; \backslash \; sigma\_r\; ^2)\}$

Porque $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; sigma\_z\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{2\}\; \backslash \; sigma\_r$, es el pdf resultante para el variable gausiano complejo Z

$\backslash ,\; \backslash \; sigma\_z^2\; del\; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash \}\; e^\; \{-|z|^2/\backslash \; sigma\_z^2\}.$

Distribuciones relacionadas

$R\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Rayleigh\}\; está\; una\; distribución\; (\backslash \; sigma^2)$ de Rayleigh si = \ raíz cuadrada {X^2 + Y^2} del $R\; donde$ X\; \backslash \; el\; sim\; N\; (0,\; \backslash \; sigma^2)$y$ Y\; \backslash \; sim\; N\; (0,\; \backslash \; sigma^2)$son\; dos\; distribuciones\; normales\; independientes.$
$Y\; \backslash \; sim\; \backslash \; chi\_\; \{\backslash \; NU\}\; ^2$ es Ji-cuadrado distribución con $\backslash \; nu$ grado de libertad si $Y\; =\; \backslash \; el\; sum\_\; \{k=1\}\; ^\; \{\backslash \; NU\}\; X\_k^2$ donde el $X\_k\; \backslash \; el\; sim\; N\; (0.1)$ para $k=1,\; \backslash \; puntea,\; \backslash \; nu$ y ser independiente.
, \ theta = 1) del $Y\; \backslash \; del\; sim\; \backslash \; del\; mathrm\; \{Cauchy\}\; (\backslash \; MU\; =\; 0\; es\; unadistribución\; de\; Cauchysi\; el$ Y\; =\; X\_1/X\_2$para$ X\_1\; \backslash \; el\; sim\; N\; (0.1)$y$ X\_2\; \backslash \; sim\; N\; (0.1)$son\; dos\; distribuciones\; normales\; de\; la\; independiente\; .$
, \ sigma^2) del $Y\; \backslash \; del\; sim\; \backslash \; del\; mbox\; \{Registro-n\}\; (\backslash \; MU\; es\; una\; distribución\; logarítmico\; normal\; si$ Y\; =\; e^X$y$ X\; \backslash \; el\; sim\; N,\; \backslash \; sigma^2)$(\backslash \; MU.$
Relación a la distribución alfa-estable oblicua de Lévy: si $X\; \backslash \; sim\; \backslash \; textrm\; \{\}\; \backslash \; alfa\; \backslash \; textrm\; \{S\}\; (2,\; \backslash ,\; beta,\; \backslash \; de\; la\; sigma\; \backslash \; MU\; de\; la\; Recaudación-s\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\})$ X\; de$entonces\; \backslash \; sim\; N,\; \backslash \; sigma^2)$ (\ MU.
de distribución normal truncado . Si, $X\; \backslash \; sim\; N,\; \backslash \; sigma^2)$ (\ MU entonces, truncando abajo en $A$ y arriba en $B$ llevará a una variable al azar con el $E\; malo\; (X)=\; \backslash \; MU\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; (\backslash \; varphi\_1-\; \backslash \; varphi\_2)\}\{T\}$, donde $T=\; \backslash \; phi\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{b\; \backslash \; MU\}\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; derecho)\; -\; dejado\; \backslash \; phi\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; MU\}\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; derecho)$ dejado y $\backslash \; varphi\_1\; =\; \backslash \; varphi\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; MU\}\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; derecho)$ dejado y $\backslash \; varphi\_2\; =\; \backslash \; varphi\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{b\; \backslash \; MU\}\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; derecho)$ dejado, donde está la función el $\backslash \; varphi$ de densidad de probabilidad de una variable al azar normal estándar.
Si $X$ es una variable al azar con un de distribución normal, y el $Y=|X|$, entonces $Y$ tiene un de distribución normal doblado .

Estadísticas descriptivas y deductivas

Cuentas

Muchas cuentas se derivan del de distribución normal, incluyendo las filas (" del porcentaje; percentiles"), z-cuentas de Stanines de los equivalentes de la curva normal, y calificaciones T. Además, un número de procedimientos estadísticos del comportamiento se basan en la asunción que las cuentas están distribuidas normalmente; por ejemplo, t-pruebas y ANOVAs (véase abajo). La curva de Bell que califica asigna los grados relativos basados en un de distribución normal de cuentas.

Pruebas de la normalidad

considera también:

la prueba de la normalidad

Las pruebas de la normalidad comprueban un sistema de los datos dado para saber si hay semejanza al de distribución normal. La hipótesis nula es que el conjunto de datos es similar al de distribución normal, por lo tanto un P-valor suficientemente pequeño indica datos del no-normal.
prueba de Kolmogorov-Smirnov
Prueba de Lilliefors
Prueba del Anderson-Querido
Prueba del Ryan-Carpintero
Prueba de Shapiro-Wilk
Diagrama normal (diagrama de la probabilidad de Rankit )
Prueba de Jarque-Bera

Valoración de parámetros

Valoración de toda probabilidad de parámetros

Suponer, \ puntea del

$X\_1\; del,\; X\_n$

es la independiente y cada uno se distribuye normalmente con el μ del de la expectativa y el σ del de la variación ² > 0. En la lengua de estadísticos, los valores observados de estas variables al azar del n componen un " muestra del n del tamaño de un population." normalmente distribuido; Se desea para estimar el " mean" de la población; μ del y el " deviation" del estándar de la población; σ del, basado en los valores observados de esta muestra. La función de densidad continua de probabilidad común de estas variables al azar independientes del n es el $del$

l \ comienza {alinear} f (x_1, \ puntea, x_n; \ MU, \ sigma) &= \ del prod_ {i=1} del ^n \ del varphi_, \ sigma^2} (x_i) {\ MU \ \ {(\ sigma \ raíz cuadrada {2 \ pi}) ^n &= \ frac1} \ ^n \ exp \ biggl (- {1 \ sobre 2} \ Bigl ({x_i- \ MU \ sobre \} \ Bigr de la sigma) ^2 \ biggr) del prod_ {i=1}, \ patio (x_1, \ ldots,) \ en \ mathbb {R} ^n. \ extremo {alinear}

En función del μ del y del σ del, la función de probabilidad basada en el X ₁ de las observaciones,…, el n del _{del X está}

$L,\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; MU)\; =\; \backslash \; frac\; C\; \{\backslash \}\; \backslash \; exp\; del\; sigma^n\; \backslash \; ido\; (-\; \{\backslash \; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; (X\_i-\; \backslash \; MU)\; ^2\; \backslash \; sobre\; 2\; \backslash \; sigma^2\}\; \backslash \; derecho),\; \backslash \; patio\; \backslash \; MU\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; \backslash \; sigma>0,$

con un cierto constante C > 0 (que en general incluso sería permitido depender del X ₁,…, n del _{del X, pero desaparecerá de todos modos cuando los derivados parciales de la función de la registro-probabilidad con respecto a los parámetros se computan, ven abajo).}

En el método de la toda probabilidad, los valores del μ del y el σ del que maximizan la función de probabilidad se toman como estimaciones del μ del de los parámetros de población y del σ del .

Generalmente en la maximización de una función de dos variables, uno pudo considerar el los derivados parciales pero aquí explotaremos el hecho de que el valor del μ del que maximiza la función de probabilidad con el σ del fijado no depende del σ del . Por lo tanto, podemos encontrar que valor del μ del, después lo substituimos para el μ del en la función de probabilidad, y finalmente encontramos el valor del σ del que maximiza la expresión resultante.

Es evidente que la función de probabilidad es una función decreciente de la suma ¡$del$

l \ ^n del sum_ {i=1} (X_i- \ MU) ^2. \, \!

Queremos tan el valor del μ del que el reduce al mínimo esta suma. Dejado $del$

l \ _n= del overline {X} (X_1+ \ cdots+X_n) /n

ser el " muestrear el mean" de acuerdo con las observaciones del n . Observar eso

Solamente el último período depende del μ del y se reduce al mínimo cerca $del$

l \ _n= del widehat {\ MU} \ overline {X} _n.

Ésa es la estimación de la probabilidad máxima del μ del basado en el X ₁ de las observaciones del n ,…, el n del _{del X . Cuando substituimos esa estimación para el μ del en la función de probabilidad, conseguimos}

$L\; (\backslash ,\; \backslash \; sigma\; del\; \_n\; del\; overline\; \{X\})\; =\; \backslash \; frac\; C\; \{\backslash \}\; \backslash \; exp\; \backslash \; biggl\; (-\; \{\backslash \; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; (\_n\; de\; X\_i-\; \backslash \; del\; overline\; \{X\})\; ^2\; del\; sigma^n\; \backslash \; sobre\}\; 2\; \backslash \; sigma^2\; \backslash \; biggr),\; \backslash \; patio\; \backslash \; sigma>0.$

Es convencional denotar el " function" de la registro-probabilidad;, es decir, el logaritmo de la función de probabilidad, por un $minúsculo\backslash \; ell$, y nosotros tenemos $del$

l \ ana (\, \ sigma del _n del overline {X}) = \ NC del registro \ registro \ sigma {\ ^n del sum_ {i=1} (_n de X_i- \ del overline {X}) ^2 \ sobre 2 \ sigma^2}, \ patio \ sigma>0,

y entonces

Este derivado es positivo, cero, o negativa según como el σ ² del está entre 0 y $del$

l \ sombrero \ sigma_n^2: = {1 \ sobre n} \ ^n del sum_ {i=1} (_n de X_i- \ del overline {X}) ^2,

o igual a esa cantidad, o mayor que esa cantidad. (Si hay apenas una observación, significando ese n = 1, o si el X ₁ =… = el n del _{del X, que sucede solamente con la probabilidad cero, después $\backslash \; sombrero\; \backslash \; sigma\; \{\}\; \_n^2=0$ por esta fórmula, reflejando el hecho que en estos casos la función de probabilidad es ilimitada pues el σ del disminuye a cero.)}

Por lo tanto este promedio de cuadrados de las residuales es la estimación de la probabilidad máxima del σ ² del, y su raíz cuadrada es la estimación de la probabilidad máxima del σ del basado en las observaciones del n . Este $\backslash \; sombrero\; \backslash \; sigma\; del\; perito\; \{\}\; \_n^2$ es predispuesto, pero tiene un error medio cuadrático de un más pequeño que el perito imparcial generalmente, que es el n /(  del n ; −   1) mide el tiempo de este perito.

Generalización asombrosamente

La derivación del perito de la probabilidad máxima de la matriz de covariación de un de distribución normal multivariante es sutil. Implica el teorema espectral y la razón que puede ser mejor ver un escalar como el rastro de un 1× 1 matriz que como escalar mero. Ver la valoración de las matrices de covariación .

Valoración imparcial de parámetros

El perito de la toda probabilidad del $\backslash \; mu$ del medio de población de una muestra es un perito imparcial del medio, al igual que la variación cuando el medio de la población es el sabido a priori. Sin embargo, si nos hacen frente con una muestra y no tenemos ningún conocimiento del medio o la variación de la población de quien se extrae, el perito imparcial del $\backslash \; sigma^2$ de la variación es:

$S^2\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n-1\}\; \backslash \; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; (-\; \backslash \; overline\; \{X\})\; ^2.$

Este " variance" de la muestra; sigue una distribución gamma si todo el i del _{del X es independiente y idéntico-distribuido:}

$S^2\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash \; dejado\; (\backslash ,\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; sigma^2\}\; \{n-1\}\; de\; la\; gamma\; del\; frac\; \{n-1\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho).$

Ocurrencia

Las distribuciones normales del aproximadamente ocurren en muchas situaciones, como resultado del teorema de límite central . Cuando hay razón para sospechar la presencia de una gran cantidad de pequeño de los efectos que actúa aditivo e independiente, es razonable asumir que las observaciones serán normales. Hay métodos estadísticos empírico para probar esa asunción, por ejemplo la prueba de Kolmogorov-Smirnov.

Los efectos pueden también actuar como modificaciones multiplicativas del (algo que el añadido). En ese caso, la asunción de la normalidad no se justifica, y es el logaritmo de la variable del interés que se distribuye normalmente. La distribución de la variable directo observada entonces se llama el logarítmico normal.

Finalmente, si hay una sola influencia externa que tiene un efecto grande en el considerado variable, la asunción de la normalidad no se justifica tampoco. Esto es verdad incluso si, cuando la variable externa es constante llevado a cabo, las distribuciones marginales resultantes son de hecho normales. La distribución completa será una superposición de variables normales, que no está en normal general. Esto se relaciona con la teoría de errores (véase abajo).

Para está una lista resumir, aquí de situaciones donde normalidad aproximada se asume a veces. Para una discusión más completa, ver abajo.
En la cuenta de problemas (el teorema de límite central incluye tan una aproximación de la discreto-a-serie continua) donde están implicadas las variables al azar reproductivas, por ejemplo Variables al azar binomiales, asociadas a las preguntas sí/no;
Variables al azar de Poisson, asociadas a los acontecimientos raros
En medidas fisiológicas de especímenes biológicos: El logaritmo del de medidas del tamaño del tejido vivo (longitud, altura, área de la piel, peso);
La longitud del de los accesorios inertes del (pelo, garras, clavos, dientes) de los especímenes biológicos, en la dirección del crecimiento ; el grueso de la corteza de árbol también baja probablemente bajo esta categoría;
Otras medidas fisiológicas pueden ser distribuidas normalmente, pero no hay razón para contar con ese a priori;
Los errores de medida son asumieron a menudo que se distribuirá normalmente, y cualquier desviación de la normalidad se considera algo que debe ser explicado;
Variables financieras ¡Cambios en el logaritmo del de tipos de cambio, índices de precios, y índices de la bolsa; estas variables se comportan como interés compuesto, no como interés simple, y así que son multiplicativas; ¡ l

Otras variables financieras pueden ser distribuidas normalmente, pero no hay razón para contar con ese a priori;

Intensidad de luz La intensidad de la luz laser se distribuye normalmente;
La luz termal tiene una distribución de Bose-Einstein en mismo escalas del breve periodo de tiempo, y un de distribución normal en calendarios más largos debido al teorema de límite central.

De importancia a la biología y a la economía es el hecho de que los sistemas complejos tienden a exhibir las leyes de energía algo que normalidad.

Cuenta del fotón

La intensidad de luz de una sola fuente varía con tiempo, pues las fluctuaciones termales pueden ser observadas si la luz se analiza en la resolución del período suficientemente culminante. La intensidad se asume generalmente para ser distribuida normalmente. ¡onda electromagnética, y las correlaciones se observan y analizaban hasta la orden del segundo, constantemente con la asunción de la normalidad. (Véase el proceso estocástico gausiano .)

Sin embargo, las correlaciones non-classical se observan a veces. --> Los mecánicos de Quantum interpretan medidas de la intensidad de luz como cuenta del fotón . La asunción natural en este ajuste es la distribución de Poisson . Cuando la intensidad de luz es integrada durante épocas más de largo que el tiempo de la coherencia y es grande, el límite del Poisson-a-normal es apropiado. ¡material se debe poner en un artículo en la emisión ligera: Las correlaciones se interpretan en términos de " bunching" y " anti-bunching" de fotones con respecto al comportamiento previsto de Poisson. el Anti-agrupar requiere un modelo del quántum de la emisión ligera .

Las fuentes de luz ordinarias produciendo la luz por la exhibición de la emisión termal un espectro supuesto del cuerpo negro (de la intensidad en función de la frecuencia), y el número de fotones en cada frecuencia sigue una distribución (una distribución geométrica) de Bose-Einstein. La época de la coherencia de la luz termal es excesivamente baja, y así que una distribución de Poisson es apropiada en la mayoría de los casos, incluso cuando la intensidad es tan baja en cuanto a imposibilita la aproximación por un de distribución normal.

La intensidad de la luz laser tiene exactamente una distribución de la intensidad de Poisson y tiempos largos de la coherencia. Las intensidades grandes hacen apropiado utilizar el de distribución normal.

Es interesante que el modelo clásico de correlaciones ligeras se aplica solamente a la luz laser, que es un fenómeno macroscópico del quántum. Por una parte, " ordinary" las fuentes de luz no siguen el " classical" modelo o el de distribución normal. -->

Errores de medida

La normalidad es la asunción central del del de la teoría matemática de los errores . Semejantemente, en la modelo-guarnición estadística, un indicador de la calidad del ajuste es que las residuales (pues los errores se llaman en ese ajuste) sean independientes y distribuidas normalmente. La asunción es que cualquier desviación de la normalidad necesita ser explicada. En ese sentido, en la modelo-guarnición y en la teoría de los errores, la normalidad es la única observación que no necesitan ser explicados, siendo esperado. Sin embargo, si los datos originales no se distribuyen normalmente (por ejemplo si siguen una distribución de Cauchy), después las residuales también no será distribuido normalmente. Este hecho se no hace caso generalmente en la práctica.

Se espera que las medidas repetidas de la misma cantidad rindan los resultados que se arraciman alrededor de un valor particular. Si todas las fuentes de errores importantes se han considerado, es presunto que el error restante debe ser el resultado de una gran cantidad de efectos aditivos del muy pequeño, y por lo tanto normal. Las desviaciones de la normalidad se interpretan como indicaciones de los errores sistemáticos que no se han considerado. Si esta asunción es válida es discutible.

Características físicas de especímenes biológicos

¡ ¿hace ese realmente malo? ¿Las cosas no crecen generalmente más o menos continuamente?

y eso por lo tanto mide de tamaño de cuerpo debe a lo más seguir un logarítmico normal algo que de distribución normal.

ser el caso si todos los especímenes habían experimentado el mismo número de tales incrementos multiplicativos.

A pesar de demandas comunes de la normalidad, los tamaños de plantas y los animales son aproximadamente logarítmico normal. La altura de árboles por ejemplo depende de cómo es viejo son. --> Los tamaños de animales maduros son aproximadamente logarítmico normal. La evidencia y una explicación basadas en modelos del crecimiento primero fueron publicadas en los 1932 problemas del libro del crecimiento relativo por el Huxley juliano .

Las diferencias de tamaño debido al dimorfismo sexual, u otros polimorfismos tienen gusto de la división del trabajador/del soldado/de la reina en los insectos sociales, más futuros hacen que la distribución de tamaños se desvía de normalidad logarítmica.

La asunción que el tamaño linear de especímenes biológicos es normal (algo que logarítmico normal) lleva a una distribución del no-normal del peso (desde peso o volumen es áspero proporcional a la 2da o 3ro energía de la longitud, y las distribuciones gausianas son preservadas solamente por transformaciones lineares), e inversamente de si se asume que el peso es normal lleva a las longitudes del no-normal. Esto es un problema, porque no hay razón a priori del por la que una de la longitud, o la masa del cuerpo, y no la otra, debe ser distribuido normalmente. Las distribuciones logarítmico normal, por una parte, son preservadas por energías tan el " problem" sale si se asume la normalidad logarítmica.

Por una parte, hay algunas medidas biológicas donde se asume la normalidad, por ejemplo presión arterial de seres humanos adultos. Esto se supone para ser distribuida normalmente, pero solamente después de separar varones y a hembras en diversas poblaciones (que se distribuya normalmente). ¡ Se espera que la longitud de los accesorios inertes del tales como pelo, clavos, dientes, garras y cáscaras sea distribuida normalmente si está medida en la dirección del crecimiento. Esto está porque el crecimiento de accesorios inertes depende del tamaño de la raíz, y no en la longitud del accesorio, y así que de ingresos por incrementos aditivos del . Por lo tanto, tenemos un ejemplo de una suma de muchos pequeños incrementos (posiblemente logarítmico normal) que se acercan a un de distribución normal. Otro ejemplo plausible es la anchura de los troncos de árbol, donde un nuevo anillo fino se produce cada año cuya anchura sea afectada por una gran cantidad de factores.

todo el que no hace caso del hecho de que las garras agotan, el pelo cae hacia fuera después de cierto rato, corteza se cae de… -->

Variables financieras

Ya en 1900 Louis Bachelier propuso el representar de cambios de precio de la acción usar el de distribución normal. Este acercamiento se ha modificado desde entonces levemente. Debido a la naturaleza exponencial de la inflación, los indicadores financieros tales como almacenan valores de y el " del objeto expuesto de los precios de la materia ; behavior" multiplicativo;. Como tal, sus cambios periódicos (e., cambios anuales) son no normales, sino algo el logarítmico normal - es decir las vueltas del en comparación con valores se distribuyen normalmente. Ésta sigue siendo la hipótesis más de uso general de las finanzas, particularmente en la tasación del activo. Las correcciones a este modelo parecen ser necesarias, como ha sido precisado por ejemplo por el Benoît Mandelbrot, el popularizer de los fractales, que observaron que los cambios en logaritmo durante períodos cortos (tales como un día) son aproximados bien por las distribuciones que no tienen una variación finita, y por lo tanto el teorema de límite central no se aplica. Algo, la suma de muchos tales cambios da las distribuciones de la registro-Recaudación

Distribución en la prueba y la inteligencia

A veces, la dificultad y el número de preguntas sobre una prueba del índice de inteligencia se selecciona para rendir resultados distribuidos normal. O bien, las puntuaciones del test crudas son convertidas a los valores del índice de inteligencia cabiéndolos al de distribución normal. En o caso, es el resultado deliberado de la construcción de prueba o interpretación de la cuenta que eso lleva a las cuentas del índice de inteligencia que son distribuidas normalmente para la mayoría de la población. Sin embargo, la pregunta si la inteligencia sí mismo está distribuida normalmente está más implicada, porque la inteligencia es una variable latente, por lo tanto su distribución no se puede observar directo. ¡diseño de la prueba; si no las cuentas del índice de inteligencia serían sin setido sin saber qué prueba las produjo.

porque incluso si la prueba rinde una distribución gausiana, usted tiene que saber qué clase de prueba fue utilizada. Los resultados gausianos se podían obtener en gran medida, dando diversas cargas a diversas clases de inteligencia. Si es válido, debe estar bajo artículo sobre inteligencia o medidas de la inteligencia. Y algo de él contradice qué fue dicha ya (que las pruebas del índice de inteligencia dan deliberadamente resultados gausianos).

Por un ejemplo de cómo es arbitrario la distribución de las puntuaciones del test de la inteligencia está realmente, imaginarse una prueba de respuesta múltiple de 20 artículos integrada enteramente por los problemas que consisten sobre todo en encontrar las áreas de círculos. Tal prueba, si estuvo dada a una población de estudiantes de la High School secundaria, rendiría probablemente una distribución en forma de "U", con el bulto de las cuentas que están muy arriba o muy bajo, en vez de una curva normal. Si un estudiante entiende cómo encontrar el área de un círculo, él puede hacer probablemente tan en varias ocasiones y con pocos errores, y conseguiría así una cuenta perfecta o alta en la prueba, mientras que un estudiante que nunca ha tenido lecciones de la geometría conseguiría probablemente cada mal de la pregunta, posiblemente con algunos la derecha debido a conjeturar suerte. Si una prueba se compone sobre todo de preguntas fáciles, después la mayor parte de los prueba-tomadores tendrán altas cuentas y muy pocos tendrán cuentas bajas. Si una prueba se compone enteramente de las preguntas tan fáciles o tan duras que cada persona consigue una cuenta perfecta o un cero, no puede hacer ninguna clase de la discriminación estadística en absoluto y rinde una distribución rectangular. Éstos son apenas algunos ejemplos de las muchas variedades de distribuciones que podrían ser producidas teóricamente cuidadosamente diseñando pruebas de inteligencia.

Si la inteligencia sí mismo está distribuida normalmente ha estado ocasionalmente una cuestión de un cierto discusión.

mencionada, la inteligencia no es un número, así que usted no puede preguntar si está distribuido normalmente.

Algunos críticos mantienen que la opción de un de distribución normal es enteramente arbitraria. El Brian Simon demandó una vez que el de distribución normal fue elegida específicamente por los psychometricians para apoyar falso la idea que la inteligencia superior es llevada a cabo solamente por una pequeña minoría, así legitimando la regla de una élite privilegiada sobre las masas de la sociedad. Históricamente, aunque, las pruebas de inteligencia fueron diseñadas sin ninguna preocupación por producir un de distribución normal, y las cuentas vino hacia fuera distribuido aproximadamente normalmente de todos modos. El educativo americano Arturo Jensen del psicólogo demanda que cualquier prueba que contenga el " una gran cantidad de artículos, " " una amplia gama de las dificultades del artículo, " " una variedad contenido o formas, " y " artículos que tienen una correlación significativa con la suma de el resto del scores" producirá inevitable un de distribución normal. Además, existe un número de correlaciones entre las cuentas del índice de inteligencia y otras características humanas que se distribuyen más demostrable normalmente, por ejemplo velocidad de la conducción del nervio y el índice del metabolismo de la glucosa del cerebro de una persona, apoyando la idea que la inteligencia está distribuida normalmente.

Algunos críticos, tales como Stephen Jay Gould en su del libro el Mismeasure del hombre, preguntan la validez de las pruebas de inteligencia generalmente no apenas el hecho de que la inteligencia está distribuida normalmente. Para la discusión adicional ver el índice de inteligencia del artículo.

Substituido - es legítimo decir que la inteligencia es una variable cuantitativa, pero es latente. Sin embargo, la inteligencia no se puede decir para ser distribuido normalmente porque no es un número.

-->

Ecuación de la difusión

La función de densidad de probabilidad del de distribución normal es estrechamente vinculada a la ecuación (homogénea e isotrópica) de la difusión y por lo tanto también a la ecuación del calor. Esta ecuación diferencial parcial describe la evolución del tiempo de una función de la masa-densidad bajo difusión . Particularmente, la función de densidad de probabilidad

$\backslash \; varphi\_\; \{0,\; t\}\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\; \backslash \; pi\; t\; \backslash ,\}\; \backslash \; ido\; (-\; \backslash \; frac\; \{x^2\}\; \{2t\}\; \backslash \; derecho),$

para el de distribución normal con el valor previsto 0 y el t de la variación satisface la ecuación de la difusión:

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \backslash \; varphi\_\; \{0,\; t\}\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\}\; \{\backslash \; x^2\}\; parcial\; \backslash \; varphi\_\; \{0,\; t\}\; (x).$

Si la masa-densidad en el   del t del tiempo; =  0 es dado por un delta de Dirac, que esencialmente significa que toda la masa está concentrada inicialmente en un monopunto, después la función de la masa-densidad en el t del tiempo tendrá la forma de la función de densidad normal de probabilidad con la variación que crece linear con el t . Esta conexión no es ninguna coincidencia: la difusión es debido al movimiento browniano que es descrito matemáticamente por un proceso de la salchicha de Francfort, y tal proceso en el t del tiempo también dará lugar a un de distribución normal con la variación que crece linear con el t .

Más generalmente, si la masa-densidad inicial es dada por un &phi de la función; ( x ), entonces la masa-densidad en el t del tiempo será dada por la circunvolución del φ y una función de densidad normal de probabilidad.

Aproximaciones numéricas del de distribución normal y de su CDF

El de distribución normal es ampliamente utilizado en la computación científica y estadística. Por lo tanto, se ha ejecutado de varias maneras.

La biblioteca científica del GNU calcula valores del normal estándar CDF usar aproximaciones por trozos por las funciones racionales otros polinomios del tercero-grado de las aplicaciones del método de la aproximación en intervalos. El artículo sobre el de programación a. el lenguaje da un ejemplo de cómo computar el CDF en Gnu a.

La generación de se desvía del normal de la unidad se hace normalmente usar el método de la Caja-Moleta de elegir un ángulo uniformemente y el exponencial y después de transformación x de un radio (distribuido normalmente) y el y coordina. Si el registro, lechuga romana o el pecado son costosos entonces una alternativa simple es sumar simplemente 12 que se desvía el uniforme. Esto es equivalente a una aproximación polinómica de la duodécimo-orden al de distribución normal y es absolutamente usable en muchos usos.

Un método que es mucho más rápido que la Caja-Moleta transforma pero que es todavía exacta es el algoritmo supuesto de Ziggurat desarrollado por George Marsaglia. En el cerca de 97% de todos los casos utiliza solamente dos números al azar, un número entero al azar y un uniforme al azar, una multiplicación y una si-prueba. Solamente en el 3% de los casos donde la combinación de esas dos caídas fuera del " base del ziggurat" una clase de muestreo del rechazamiento usar logaritmos, exponentials y números al azar más uniformes tiene que ser empleada.

Hay también una cierta investigación en la conexión entre el rápido Hadamard transforma y el de distribución normal puesto que la transformación emplea apenas la adición y la substracción y por los números al azar del teorema de límite central de casi cualquier distribución será transformado en el de distribución normal. A este respecto una serie de Hadamard transforma se puede combinar con permutaciones al azar para dar vuelta a conjuntos de datos arbitrarios en datos normalmente distribuidos.

En el Microsoft Excel que la función NORMSDIST () calcula el cdf del de distribución normal estándar, y de NORMSINV () calcula su función inversa.

Curiosidades

La serie pasada de los 10 billetes de banco del Marco alemán ofreció el Carl Friedrich Gauss y un gráfico y una fórmula de la función de densidad normal de probabilidad.

Ver también

Una tabla de distribución normal típica
Problema de Behrens-Fisher
Curva de Bell que califica
Transformación de los datos (estadísticas) - técnicas simples para transformar datos en de distribución normal
Teorema de Erdős-Kac, en la ocurrencia del de distribución normal en la teoría de número
Falta de definición gausiana, circunvolución usar el de distribución normal como núcleo
Función gausiana
Proceso gausiano Proceso de la salchicha de Francfort
Puente browniano
Ornstein-Uhlenbeck de proceso
Iannis Xenakis, distribución gausiana en la música .
Distribución gausiana inversa
Distribución logarítmico normal
de distribución normal multivariante
Matriz de distribución normal
distribución de la Normal-gamma
El distribuido normalmente y sin correlación no implica a independiente (un ejemplo de dos variables al azar sin correlación normalmente distribuidas que no son independientes; esto no puede suceder en presencia de la normalidad del empalme)
Función del probit
Tamaño de muestra
Distribución T del estudiante

.

Zenithic

Balasamudram

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