de donde las matemáticas vienen: Cómo la mente incorporada trae matemáticas en ser (más abajo WMCF ) es un libro al lado de George Lakoff, lingüista cognoscitivo, y Rafael E. Núñez, psicólogo . Publicado en 2000, el WMCF intenta encontrar una ciencia cognoscitiva de las matemáticas, una teoría de las matemáticas incorporadas basadas en la metáfora conceptual .
Definición del WMCF de las matemáticas
Las matemáticas componen esa parte del sistema conceptual humano que es especial así: " del ; Es exacto, constante, estable a través del tiempo y de las comunidades humanas, symbolizable, calculable, generalizable, universal disponibles, constantes dentro de cada uno de sus temas, y eficaces como herramienta general para la descripción, la explicación, y la predicción en un gran número de actividades diarias, de deportes, al edificio, al negocio, a la tecnología, y a science." ( WMCF, págs. 50, 377)
Cognición y matemáticas humanas
El propósito confeso de Lakoff y de Núñez es comenzar a poner las fundaciones para una comprensión verdadero científica de las matemáticas, una puestas a tierra en los procesos comunes a toda la cognición humana. Encuentran que cuatro distintos pero aritmética básica de los procesos de la estructura relacionada metafórico : oponerse la colección, construcción del objeto, usar un palillo de medición, y mudanza a lo largo de una trayectoria.Emplear del WMCF los libros anteriores importantes de Lakoff (1987) y Lakoff y Johnson (el an o 80, 1999). Mientras que estos libros son buenas escrituras académicas, sus análisis probing de la metáfora, de los esquemas de la imagen, y de otros conceptos de la ciencia cognoscitiva de segunda generación no están para el débil del corazón. Algunas de las riquezas de éstos libros anteriores, tales como las ideas técnicas interesantes en Lakoff (1987), son ausentes del WMCF . Lakoff y Núñez sostienen que las matemáticas resultan del aparato cognoscitivo humano y se deben por lo tanto entender en términos cognoscitivos. El WMCF aboga (e incluye algunos ejemplos de) un análisis cognoscitivo de la idea del de las matemáticas que analiza ideas matemáticas en términos de experiencias humanas, metáforas, generalizaciones, y otros mecanismos cognoscitivos que les dan lugar. El análisis de la idea es distinto de matemáticas y no se puede realizar por los matemáticos a menos que se entrenen en ciencia cognoscitiva.
El comienzo de Lakoff y de Núñez repasando la literatura psicologica, concluyendo que los seres humanos aparecen tener una capacidad natural, llamó el Subitizing, para contar, para alcanzar, y para restar cerca de 4 o 5. Documentan esta conclusión repasando la literatura, publicada en las últimas décadas, describiendo experimentan con los temas infantiles. Por ejemplo, los niños hacen rápidamente emocionados o curiosos cuando están presentados con el " impossible" las situaciones, tales como tener tres juguetes aparecen cuando solamente dos estaban inicialmente presentes.
Los autores sostienen que las matemáticas van mucho más alla de este los gracias llanos muy elementales a una gran cantidad de construcciones metafóricas . Por ejemplo, sostienen que la posición pitagórica que todo es número, y la crisis asociada de la confianza que ocurrió con el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, se presenta solamente de una relación metafórica entre la longitud de la diagonal de un cuadrado, y de los números posibles de objetos.
Mucho del WMCF se ocupa de los conceptos importantes del infinito y de los procesos del límite que intentan explicar cómo los seres humanos finitos que vivían en un mundo finito podrían concebir eventual infinito real. Así mucho del WMCF es, en efecto, un estudio de las fundaciones epistemológicas del cálculo . Lakoff y Núñez concluyen que mientras que el infinito potencial no es metafórico, es el infinito real. Por otra parte, juzgan todas las manifestaciones del infinito real para ser casos de lo que llaman el " Metáfora básica de Infinity."
El WMCF enfático rechaza la filosofía Platonistic de las matemáticas . Acentúan que todos lo que sabemos y que podemos saber nunca somos las matemáticas humanas del, las matemáticas que se presentan del intelecto humano. Si las matemáticas trascendentes, independiente del pensamiento humano, se pueden decir para existir es una pregunta incontrovertible y quizás sin setido. 81) critica además el lugar de los matemáticos del énfasis en el concepto del encierro . Lakoff y Núñez sostienen que la expectativa del encierro es un artefacto de la capacidad de la mente humana de relacionar conceptos fundamental diversos vía la metáfora .
El valor de los educadores qué WMCF sugiere sobre cómo las matemáticas son doctas y porqué los estudiantes encuentra algunos conceptos elementales más difíciles que otros.
Ejemplos de metáforas matemáticas
Las metáforas conceptuales descritas en el WMCF, además de la metáfora básica del infinito, incluyen:El aritmético es movimiento a lo largo de una trayectoria, colección del objeto/construcción;
Cambiar es movimiento;
Los sistemas son envases, objetos;
La continuidad es gapless;
Los sistemas matemáticos tienen un " esencia, " a saber su estructura algebraica axiomático;
Las funciones son sistemas de curvas pedidas de los pares en el plano de cartesiano ;
Las figuras geométricas son objetos en espacio;
La independencia lógica es la ortogonalidad geométrica
Los números son colecciones del objeto de los sistemas, segmentos físicos, puntos en una línea;
La repetición es circular. El razonamiento matemático requiere las variables que se extienden sobre un poco de universo del discurso, de modo que poder razonar sobre generalidades algo que simplemente sobre detalles. El WMCF sostiene que el razonar con tales variables confía implícito en lo que llama el Metonymy fundamental de la álgebra.
Un ejemplo técnico
El WMCF (P. 151) incluye el ejemplo siguiente. Tomar a el determinado A de =. Entonces recordar dos pedacitos de la teoría determinada elemental estándar: La construcción recurrente de los números naturales ordinales, por el que 0 sea el , y del n es el { n -1} del n -1.Mientras que (1) y (2) arriba es obviamente canónicos, especialmente dentro de la teoría determinada del consenso conocida como la axiomatización de Zermelo-Fraenkel, el WMCF no deja en ése que son solamente una de varias definiciones que se han propuesto desde el amanecer de la teoría determinada. Por ejemplo, el Frege, el Principia Mathematica del, y fundaciones (un cuerpo las nuevas de la teoría determinada axiomática comenzada por el Quine en 1937) definen números cardinales y ordinales pues las clases de la equivalencia bajo relaciones Equinumerosity y de la semejanza, de modo que no se presente este enigma. En la teoría determinada de Quinian, el A es simplemente un caso del número 2. Por razones técnicas, definiendo los pares pedidos como en (2) arriba es torpe en la teoría determinada de Quinian. Se han propuesto dos soluciones: una definición fijar-teórica variable complicada de los pares pedidos, o simplemente de tomar los pares tales como primitivo. ¡
El romance de las matemáticas
El " Romance de Mathematics" es el término alegre del WMCF s para un punto de vista filosófico perenne sobre matemáticas que los autores describen, después despide como mito intelectual:Las matemáticas son trascendentes, a saber existen independiente de seres humanos, y estructuran nuestro universo físico real y cualquier universo posible. Las matemáticas son la lengua de la naturaleza, y son la estructura conceptual primaria que tendríamos en común con extranjeros extraterrestres, eventualmente tales allí estén.
La prueba matemática es la entrada a un reino de la verdad trascendente.
El razonamiento es la lógica, y la lógica es esencialmente matemática. Por lo tanto las matemáticas estructuran todo el razonamiento posible.
Porque las matemáticas existen independiente de seres humanos, y el razonamiento es esencialmente matemático, se libera la razón sí mismo. Por lo tanto la inteligencia artificial es posible, por lo menos en principio.
Respuesta crítica
Muchos los matemáticos de trabajo resisten el acercamiento y las conclusiones de Lakoff y de Núñez. Las revisiones de los matemáticos del WMCF en diarios profesionales, mientras que a menudo son respetuosas de su foco en estrategias y metáforas conceptuales como trayectorias para las matemáticas de comprensión, han llevado la excepción algunas de las discusiones filosóficas del WMCF s considerando que las declaraciones matemáticas tienen significados “objetivos” de duración. Por ejemplo, el teorema pasado de Fermat significa exactamente lo que significó cuando el Fermat lo propuso inicialmente 1664. Otros revisores han precisado que las estrategias conceptuales múltiples se pueden emplear con respecto al mismo término matemáticamente definido, a menudo por la misma persona (un punto que es compatible con la visión que entendemos rutinario el “mismo” concepto con diversas metáforas). La metáfora y la estrategia conceptual no son igual que la definición formal que los matemáticos emplean. Sin embargo, el WMCF precisa que las definiciones formales están construidas usar las palabras y los símbolos que tienen significar solamente en términos de experiencia humana.Las críticas del WMCF incluyen el chistoso: " del ; Es difícil que conciba de una metáfora para un número verdadero levantado a una energía compleja, pero si hay una, quisiera sure ver it." José Auslander
y el físicamente informado:
"Pero su análisis deja por lo menos unas par de preguntas contestadas escaso. Para una cosa, los autores no hacen caso del hecho de que los cerebros no sólo observan la naturaleza, pero también son parte de la naturaleza. Quizás la matemáticas que los cerebros inventan toma la forma que lo hace porque la matemáticas tenía una mano en la formación de los cerebros en el primer lugar (con la operación de leyes naturales en el constreñimiento de la evolución de la vida). Además, es una cosa para caber ecuaciones a los aspectos de la realidad que se saben ya. Es algo más para que esa matemáticas diga de los fenómenos sospechosos nunca previamente. Cuando las ecuaciones de Paul Dirac que describían electrones produjeron más de una solución, él conjeturó que la naturaleza debe poseer otras partículas, ahora conocidas como antimateria. Pero los científicos no descubrieron que tales partículas hasta después de que la matemáticas de Dirac le dijera ellas deben existir. Si la matemáticas es una invención humana, la naturaleza parece saber qué iba a ser invented." (Tom Siegfried, '' las noticias '', 3/5/2001 de la mañana de Dallas)
Los matemáticos también se han quejado de que Lakoff y Núñez han entendido mal algunas nociones matemáticas básicas. Los autores contestan que los errores encontrados en impresiones anteriores del WMCF ahora están corregidos.
Ni Lakoff ni Núñez es matemático entrenado. Lakoff hizo su reputación ligando la lingüística a la ciencia cognoscitiva y al análisis de la metáfora . Núñez, educado en el Suiza, es un producto escuela de s de Piaget Jean de 'de la psicología cognoscitiva como base para la lógica y las matemáticas. Núñez ha pensado mucho de las fundaciones del análisis verdadero, el los números complejos verdaderos de y y la metáfora básica del infinito. Estos asuntos, sin embargo, dignos estén, forman sin embargo la parte de la superestructura de las matemáticas. La ciencia cognoscitiva debe tomar más interés en las fundaciones de las matemáticas . Y de hecho, los autores pagan un pedacito justo de la atención a principios de a la lógica, a la álgebra boleana y a los axiomas de Zermelo-Fraenkel, incluso retrasándose un pedacito sobre la teoría de grupo . Pero ninguno de los dos autores está bien entrenados en la lógica (no hay entrada de índice para el " " del cuantificador ; o " quantification"), la filosofía de la teoría determinada, el método axiomático, metamathematics, y teoría modelo . Ni el WMCF dice bastantes sobre la derivación de los sistemas de numeración (los axiomas de Peano van unmentioned), de la álgebra abstracta, de la equivalencia y de las relaciones de la orden, Mereology, de la topología, y de la geometría .
Los autores tienden a despedir los comentarios negativos de los matemáticos porque no aprecian las penetraciones de la ciencia cognoscitiva. Mantienen que su discusión se puede entender solamente usar los descubrimientos de últimas décadas sobre los cerebros humanos lengua y significado de proceso de la manera. Sostienen que ningunas discusiones o críticas que no se ponen a tierra en esta comprensión no pueden tratar el contenido del libro.
Se ha precisado que está en absoluto claro que el WMCF establece que el " de la demanda; la vida extranjera inteligente tendría ability" matemático; es un mito. Para hacer esto, sería requerido para demostrar que la inteligencia y la capacidad matemática sean separables, y esto no se ha hecho. En la tierra, la inteligencia y la capacidad matemática parecen entrar de común acuerdo en todas las vida-formas, según lo precisado por el Keith Devlin entre otros. Los autores del WMCF no han explicado cómo esta situación (o aún podría) sería diferente en cualquier otro lugar. Desde este punto de vista, lo que sus opiniones sobre el Platonism (derecho, incorrecto, sin setido), la “invención” de conceptos matemáticos tales como número serían imposibles puesto que son hard-wired en nuestros cerebros a partir del momento nacemos. También, el " de la palabra; invention" insinúa que las cosas podrían de alguna manera ser diferentes, de modo que pudiéramos haber inventado una teoría de número donde está falsos 1+1=3, o la descomposición primera. Sin embargo, cualquier teoría de número se deshace inmediatamente frente al razonamiento simple. En realidad, 1+1=3 es obviamente falso, y Euclid y los indios antiguos tropezaron sobre la descomposición primera algo que inventándola.
Otras críticas son que el WMCF no explica de adonde la aritmética viene (si eso es incluso posible o tiene sentido). Algo, concluyeron simplemente que los seres humanos poseen capacidad aritmética natural. Algunos sostienen que el WMCF es enteramente constante con la filosofía platónica que rechaza.
El WMCF se refiere principalmente a proponer y a establecer una vista alternativa de las matemáticas, una que pone a tierra el campo en las realidades de la biología humana y de la experiencia. No es un trabajo de las matemáticas o de la filosofía técnicas. Algunos precisan que Lakoff y Núñez no son el primer para sostener que los acercamientos convencionales a la filosofía de las matemáticas son dañados. Por ejemplo, no parecen toda la que familiar con el contenido de Davis y de Hersh (1981), aunque el WMCF reconoce con gusto ayuda de s de Hersh Reuben '. Lakoff y Núñez invocan la autoridad Saunders MacLane (el inventor, con el Samuel Eilenberg, de la teoría de la categoría) en apoyo de su posición. Por ejemplo, MacLane (1986) incluye una tabla notable que se relaciona varios conceptos matemáticos con las actividades humanas ordinarias, sobre todo interacciones con el mundo físico.
Lakoff y Núñez también aparecen no apreciar el grado a el cual el Intuitionists y los constructivists han anticipado su ataque contra el romance de las matemáticas (platónicas). El Brouwer, el fundador Intuitionist/punto de vista del constructivist, escribió el " Las matemáticas son una construcción libre del mind." humano; Por lo tanto por lo menos una escritura de la persona antes de Lakoff y Núñez nacieron concluidos que las matemáticas emergieron para responder a propósitos humanos y no tienen ninguna existencia aparte de este hecho.
Recapitulación
El WMCF (págs. 378-79) concluye con algunos puntos claves, un número que sigan. Las matemáticas se presentan de nuestros cuerpos y cerebros, nuestras experiencias diarias, y las preocupaciones de sociedades humanas y de culturas. Son:El resultado de capacidades cognoscitivas adultas normales, particularmente la capacidad para la metáfora conceptual, y como tal es un universal humano. La capacidad de construir las metáforas conceptuales se basa neurológico, y permite a seres humanos razonar cerca de un dominio usar la lengua y los conceptos de otro dominio. La metáfora conceptual es amba qué permitieron a matemáticas crecer fuera de actividades diarias, y qué permite a matemáticas crecer por un proceso continuo de la analogía y de la abstracción;
simbólico de tal modo enorme que facilita el cálculo exacto;
No el transcendent, sino el resultado de la evolución humana y el cultivan, a el cual debe su eficacia. La conexión entre las ideas matemáticas y nuestra experiencia del mundo ocurre dentro de mentes humanas;
Un sistema de conceptos humanos que hacen el uso extraordinario de las herramientas ordinarias de la cognición humana;
Una creación ampliable de los seres humanos, que siguen siendo responsables de mantenerla y de extender;
Uno de los productos más grandes de la imaginación humana colectiva, y un ejemplo magnífico de la belleza, de la riqueza, de la complejidad, de la diversidad, y de la importancia de ideas humanas.
El acercamiento cognoscitivo a los sistemas formales, según lo descritos y ejecutados en el WMCF, no necesita ser confinado a las matemáticas, sino debe también probar fructuoso cuando está aplicado a la lógica formal, y a la filosofía formal tal como teoría de s de Zalta Edward 'de objetos abstractos. Lakoff y Johnson (1999) fructuoso emplean el acercamiento cognoscitivo para repensar mucha la filosofía de la mente, de la epistemología, de la metafísica, y de la historia de las ideas .
Ver también
Ciencia cognoscitivaCiencia cognoscitiva de las matemáticas
Filosofía de las matemáticas
Filosofía incorporada
Metáfora
Metáfora conceptual
la eficacia desrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales
Fundaciones de las matemáticas
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