El sistema de numeración (base diez o de vez en cuando denario) decimal del tiene diez como su base . Es el sistema de numeración más ampliamente utilizado, quizás porque los seres humanos tienen cuatro dedos y un pulgar en cada mano, dando un total de diez dígitos sobre ambas manos.

Notación decimal

La notación decimal es la escritura de los números en el sistema de numeración de la base-diez, que utiliza los varios símbolos (llamados los dígitos ) para no más de diez valores distintos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) representar cuaesquiera números, no importa cómo es grande. Estos dígitos son de uso frecuente con un separador decimal que indique el comienzo de una parte fraccionaria, y con uno de los símbolos de la muestra + (positivo) o de − (negativo) delante de los números indicar la muestra. Hay solamente dos sistemas decimales verdadero posicionales en la civilización antigua, el sistema de cuenta chino de las barras y el sistema numérico Hindú-Árabe, ambos no requirió no más que diez símbolos. Otros sistemas numéricos requieren más símbolos.

La sistema decimal es un sistema de numeración posicional ; tiene posiciones para las unidades, los diez, los centenares, el etc. que la posición de cada dígito transporta el multiplicador (una energía de diez) que se utilizará con ese digit— cada posición tiene un valor diez veces que de la posición a la su derecha.

El diez es el número que es la cuenta de dedos y de pulgares en ambas manos (o los dedos del pie en los pies). En muchas idiomas el dígito de la palabra o su traducción es también el término anatómico que refiere a los dedos y a los dedos del pie. En inglés, decimal (lat del decimus <. ) significa el décimo, diezma medios que el reduce por un décimo, y denario (denario < lat.) significa el la unidad de diez . Los símbolos para los dígitos en de uso común alrededor del globo hoy son llamados los números árabes por los números indios de arabs, términos ambos de europeans y los dos de los grupos que refieren a la cultura de la cual aprendieron el sistema. Sin embargo, los símbolos usados en diversas áreas no son idénticos; por ejemplo, los números árabes occidentales (de cuáles se derivan los números europeos) diferencian de las formas usadas por otras culturas árabes.

Notaciones alternativas

Algunas culturas hacen, o utilizado a, utilizar otros sistemas de numeración, incluyendo las culturas mesoamericanas precolombino tales como el maya, que utilizan un sistema vigesimal (usar veinte dedos y dedos del pie, un cierto Nigerians que utilizan varios sistemas duodecimales (base 12), los babilónico que utilizaron el sexagesimal (base 60), y el Yuki, que utilizó según se informa el octal (base 8).

Los sistemas informáticos del soporte físico y de la computadora utilizan comúnmente una representación binaria, interno. Para el uso externo de los informáticos, esta representación binaria se presenta a veces en el relacionado los sistemas hexadecimales octales de o . Para la mayoría de los propósitos, sin embargo, los valores binarios son convertidos a los valores decimales equivalentes para la presentación a y la manipulación por los seres humanos.

El hardware y el software también utilizan las representaciones internas que son con eficacia decimal para almacenar valores decimales y hacer aritmética. Esta aritmética se hace a menudo en los datos que se codifican usar el decimal codificado en binario, pero hay otras representaciones decimales funcionando (véase el IEEE 754r ), especialmente en aplicaciones de la base de datos. La aritmética decimal se utiliza en computadoras para poder computar resultados fraccionarios decimales exactamente, que no es posible usar una representación fraccionaria binaria. Esto es a menudo importante para los cálculos financieros y otros.

Fracciones decimales

Una fracción decimal es una fracción donde está una energía el denominador de diez.

Las fracciones decimales se expresan comúnmente sin un denominador, el separador decimal que es insertado en el numerador (con ceros principales agregó si es necesario), en la posición de la correspondencia correcta a la energía de diez del denominador., se expresa 8/10, 833/100, 83/1000, y 8/10000 como: 0 . En países de habla inglesa, un punto ( · ) o período (. ) se utiliza como el separador decimal; en la mayoría de las otras idiomas se utiliza una coma.

La pieza de número entero del o la parte integrante de un número decimal es la pieza a la izquierda del separador decimal (véase también la función del piso). La parte del separador decimal a la derecha es la parte fraccionaria; si está considerado como número separado, un cero se escribe a menudo en frente. Especialmente para los números negativos, tenemos que distinguir entre la parte fraccionaria de la notación y la parte fraccionaria del número sí mismo, porque este 3ultimo consigue su propio signo de menos. Es generalmente para un número decimal que sea menos de uno para tener un cero principal.

Los ceros que se arrastran después de la coma no son necesarios, aunque en ciencia, las estadísticas de la ingeniería y pueden ser conservados para indicar una precisión required o para demostrar un nivel de confianza en la exactitud del número: Considerando que 0 . 08 son numéricamente iguales, en la ingeniería 0 . 080 sugiere una medida con un error de hasta 1 porción en dos miles (el ±0. 0005), mientras que 0 . 08 sugiere una medida con un error de hasta 1 en dosciento (véase las figuras significativas ).

Otros números racionales

Cualquie número racional que no pueda ser expresado pues una fracción decimal tiene una conclusión decimal infinita única de la extensión con los decimales que se repiten

Diez es el producto del primer y los números primeros del tercer son uno mayor que el cuadrado del segundo número primero, y son uno menos que el quinto número primero. Esto lleva al un montón de fracciones decimales simples:
1/3 = 0.333333 del

el 1/2 = 0.5 del … (con 3 repitiendo)
1/6 = 0.166666 del
1/5 = 0.25… (con 6 repitiendo)
1/9 = 0.111111 del
1/8 = 0.125… (con 1 repitiendo)
1/11 = 0.090909 del
1/10 = 0.1… (con 09 repitiendo)
1/12 = 0.083333… (con 3 repitiendo)
1/81 = 0.012345679012… (con 012345679 repitiendo)

Otros factores primeros en el denominador darán las secuencias que ven por ejemplo el 7, más de largo que se repiten 13 .

Que un número racional debe tener un extensión de finito o del decimal que se repite se puede ver para ser una consecuencia del algoritmo de la división larga, en eso allí es solamente los restos diferentes a cero posibles q-1 en la división por q, de modo que el patrón que se repite tenga un período menos que el Q. por ejemplo para encontrar 3/7 por la división larga:

.0 0 0 0 0 0 0 0 2 8 r 2 de 30/7 = 4 2 0 1 4 r 6 de 20/7 = 2 6 0 5 6 r 4 de 60/7 = 8 4 0 3 5 r 5 de 40/7 = 5 5 0 4 9 r 1 de 50/7 = 7 1 0 7 r 3 de 10/7 = 1 3 0 2 8 r 2 de 30/7 = 4 (otra vez) 2 0 etc

El inverso a esta observación es que cada decimal que se repite representa un p / q del número racional. Ésta es una consecuencia del hecho que la parte que se repite de una representación decimal es, de hecho, una serie geométrica infinito que sumará a un número racional. Por ejemplo,
$0.0123123123\; del$
\ = \ frac {123} {10000} \ ^ del sum_ {k=0} \ infty de los cdots 0.001^k = \ \ \ frac {1} del frac {123} {10000} {1-0.001} = \ 9990} = \ frac {41} {3330} del frac {123} {

Números verdaderos

considera también:

l [[representación decimal]]

Cada número verdadero tiene representación decimal de a (posiblemente infinita), es decir, puede ser escrito como = \ mathop {\ muestra del $del$

l x del rm} a_i de (x) \ del sum_ {i \ en \ mathbb Z} \, 10^i donde
la muestra () es la función de muestra,
el ∈ del a_i {0.1,…, 9} para todo el Z del ∈ del i, es sus dígitos decimales, iguales a cero para todo el i mayor que un cierto número (ese número que es el logaritmo ordinario de |x|).

Tal suma converge mientras que el i disminuye, incluso si hay infinitamente mucho el diferente a cero a_i .

Los números racionales (e. p/q) con los factores primeros en el denominador con excepción de 2 y de 5 (cuando está reducido a los términos más simples) tienen una representación única del decimal que se repite .

Considerar esos números racionales que tengan solamente los factores 2 y 5 en el denominador, es decir que puede ser escrito como p (2^a5^b). En este caso hay una representación decimal terminal. Por ejemplo 1/1=1, 1/2=0. Tales números son los únicos números verdaderos que no tienen una representación decimal única, pues pueden también ser escritos como representación que tenga 9 que se repiten, por ejemplo 1=0.

Esto deja a los números irracionales que también tienen representación decimal infinita única, y se puede caracterizar como los números cuyas representaciones decimales ni terminar ni repetirse.

Tan en general la representación decimal es única, si una excluye las representaciones que terminan en 9.

Naturalmente, la misma tricotomía se sostiene para el otro

posicional del

de los sistemas de numeración de la base-n Terminar la representación: racional donde el denominador divide algún n^k
Representación que se repite: otro racional
No-terminando, representación extraordinaria: irracional

y una versión de esto incluso se sostiene para los sistemas de numeración de la irracional-base, tales como representación de la base del medio de oro.

Historia

Sigue un lista cronológico de escritores decimales registrados.

Escritores decimales

C. 3500 - 2500 el Elamites Irán utilizó A. posiblemente formas tempranas de sistema decimal. * los jeroglíficos egipcios del C. la cuenta en energías (1 millón de + 400. ) del &ndash 10; ver Ifrah, abajo
la civilización del valle de Indus C., uso físico lo más temprano posible sabido decimal fracciona en sistema antiguo del peso: 1/20, 1/10, 1/5, el 1/2. Ver los pesos y las medidas antiguos del valle de Indus
los escritores chinos del C. familiaridad con el concepto: por ejemplo, 547 se escribe “quinientos más cuatro décadas más siete de días” en algunos manuscritos
C. en el la India antigua, el védico Yajur-Veda texto indica las energías de 10, hasta 10⁵⁵
&ndash de Pingala C.; desarrolla el sistema de número binario para la prosodia sánscrita, con un trazado claro a la sistema decimal base-10
el Archimedes del C. a Reckoner de la arena, que toma el cálculo decimal hasta 10^{80,000,000,000,000,000}
C. 100– 200 el Satkhandagama del escrito en el &ndash de la India ; el uso más temprano de logaritmos decimales
C. 476– 550 Aryabhata – utiliza un sistema de cifra alfabético para los números que utilizaron cero
C. 598– 670 Brahmagupta – explica los números Hindú-Árabes (sistema de numeración moderno) que utiliza números enteros negativos decimal de los números enteros, y el cero
C. 780– 850 &ndash del al-Ḵwārizmī de Mūsā del ibn de Muḥammad; primero para exponer en la algoritmia fuera la India
C. 920– 980 &ndash del al-Uqlidisi de Ibrahim del ibn de Abu'l Hasan Ahmad; tratamiento matemático directo lo más temprano posible sabido de fracciones decimales. 1300– 1500 la escuela de Kerala en el &ndash del sur de la India ; números decimales de la coma flotante
1548/49– &ndash 1620 de Simon Stevin ; autor del De Thiende (“el décimo ")
1561– 1613 Bartholemaeus Pitiscus – (posiblemente) notación de la coma.
1550– &ndash 1617 de John Napier ; uso de logaritmos decimales como herramienta de cómputo
&ndash 1765 de Juan Heinrich Lamberto ; discute (con pocos eventualmente pruebas) patrones en extensiones decimales de números racionales y de notas una conexión con poco teorema de Fermat en el caso de denominadores primeros
&ndash 1800 del gauss de Karl Friedrich; teoría de número de las aplicaciones para explicar sistemáticamente patrones en extensiones del decimal que se repite de números racionales (e., la relación entre la longitud de período de la parte que se repite y el denominador, que fracciona con el mismo denominador tiene piezas del decimal que se repite que sean cambios de uno a, como 1/7 y 2/7) y también plantea las preguntas que sigue habiendo abiertas a este día (e., un caso especial de la conjetura de la raíz primitiva de Artin: es 10 que un p del modulo del generador para muchos prepara infinitamente el p ?).
&ndash 1925 de Louis Charles Karpinski ; la historia de aritmético
1959 Werner Buchholz – ¿Dedos o puños del ? (La opción de la representación decimal o binaria)
1974 Hermann Schmid – Cómputo decimal del
&ndash 2000 de Jorte Ifrah ; la historia universal de números: De prehistoria a la invención de la computadora
&ndash 2003 de Mike Cowlishaw ; Flotante decimal del : Algoritmia para las computadoras .

Idiomas naturales

Una sistema decimal directa, en la cual 11 se expresa como ten-one del y 23 como two-ten-three del, se encuentra en las idiomas chinas excepto el Wu, y en el vietnamita con algunas irregularidades. El japonés, el coreano, y el tailandés han importado la sistema decimal china. Muchas otras idiomas con una sistema decimal tienen palabras especiales para los números entre 10 y 20, y décadas.

Las idiomas Incan tales como quechua y Aymara tienen una sistema decimal casi directa, en la cual 11 se expresa como diez con un y 23 mientras que el two-ten con tres .

Algunos psicólogos sugieren que las irregularidades de números en una lengua puedan obstaculizar la capacidad de cuenta de los niños.

Ver también

style=" del
Algoritmia
Decimal codificado en binario
Representación decimal
Separador decimal
Sistema decimal del Dewey
Sistema de numeración Hindú-Árabe
Sistema de numeración
Notación científica
Prefijo del SI
10 (número)