En el cálculo, una rama de las matemáticas, el derivado es una medida de cómo una función cambia cuando los valores de sus entradas cambian. Libremente hablando, un derivado se puede pensar en como cuánto una cantidad está cambiando en un cierto punto dado. Por ejemplo, el derivado de la posición o de la distancia de un coche en un cierto punto a tiempo es la velocidad instantánea, o la velocidad instantánea (respectivamente), a la cual ese coche está viajando (el integral de la velocidad es inversamente la posición del coche).

El derivado de una función en un valor elegido de la entrada describe la aproximación linear del mejor de la función cerca que entra valor. Para una función con valores reales de una sola variable verdadera, el derivado en un punto iguala la cuesta de la línea de tangente al gráfico de la función en ese punto. En dimensiones más altas, el derivado de una función en un punto es una transformación linear llamada la linearización .

El proceso de encontrar un derivado se llama la diferenciación . El teorema fundamental del cálculo indica que la diferenciación es el proceso reverso a la integración .

Diferenciación y el derivado

La diferenciación es un método para computar la tarifa en la cual una cantidad, y, cambios con respecto al cambio en otra cantidad, el x, sobre el cual es el dependiente. Este índice de cambio se llama el derivado del y con respecto al x . En una lengua más exacta, la dependencia del y en el x significa que el y es una función x . Si el x y el y son los números verdaderos y si el gráfico y se traza contra el x, el derivado mide la cuesta de este gráfico en cada punto. Esta relación funcional es a menudo el denotado y = el f ( x ), donde el f denota la función.

El caso más simple es cuando el y es una función linear x, significando que el gráfico del y contra el x es una línea recta. En este caso, el y = el f ( x ) = el x del m + el c, para el m de los números verdaderos y el c, y el m de la cuesta es dado por el $m=\; del\; \{\backslash \; mbox\; \{cambio\; adentro\}\; y\; \backslash \; sobre\; \backslash \; mbox\; \{cambio\; adentro\}\; x\}\; =\; \{\backslash \; delta\; y\; \backslash \; encima\; \{\backslash \; delta\; x\}\}$ donde está una abreviatura el símbolo Δ (la forma mayúscula del delta griego de la letra) para el " cambiar in." Esta fórmula es verdad porque el y del + Δ y = f ( x + Δ x ) = m ( x + Δ x ) + c = x del m + c + &Delta del m ; x = y + &Delta del m ; x . Sigue ese y de Δ = el x del m Δ.

Esto da un valor exacto para la cuesta de una línea recta. Si el f de la función no es linear (es decir su gráfico no es una línea recta), sin embargo, después el cambio en el y dividido por el cambio en el x varía: la diferenciación es un método para encontrar un valor exacto para este índice de cambio en cualquier valor dado del x .

La idea, ilustrada por Figures 1-3, es computar el índice de cambio como el valor límite del cociente y de las diferencias Δ/del x de Δ pues el x de Δ llega a ser infinitamente pequeño.

¡En Leibniz notación, tal infinitesimal cambio en x es denotado por dx, y derivado de y con respecto a x es escrito

$\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{\}\; \backslash ,\; \backslash !\; del\; dx$ sugerir el cociente de dos cantidades infinitesimales. (La expresión antedicha se pronuncia de varias maneras tales como " d y por el x" de d; o " d y sobre x" de d;. El " oral de la forma; x" de d y d; es de uso frecuente conversacional, aunque pueda llevar a la confusión.)

El acercamiento más común para dar vuelta a esta idea intuitiva en una definición exacta utiliza los límites, pero hay otros métodos, tales como análisis no estándar .

Definición vía cocientes de diferencia

Dejar el y = el f ( x ) sea una función del x . En geometría clásica, la línea de tangente en un del número verdadero un era la línea única a través del punto ( un, f ( un )) cuál hizo la reunión del no el gráfico transversal del f, significando que la línea no pasó derecho a través del gráfico. El derivado del y con respecto al x en el un es, geométrico, la cuesta de la línea de tangente al gráfico del f en el un . La cuesta de la línea de tangente está muy cercana a la cuesta de la línea a través ( un, f ( un )) y un punto próximo en el gráfico, por ejemplo ( + h, f ( + h )). Estas líneas se llaman las líneas de la secante que el valor de A del h cerca de cero dará una buena aproximación a la cuesta de la línea de tangente, y valores más pequeños (en el valor absoluto ) del h, darán generalmente mejores aproximaciones la cuesta de la línea secante es la diferencia entre los valores del y de estos puntos divididos por la diferencia entre los valores del x, es decir, $del\; \backslash \; frac\; \{f\; (a+h)\; -\; f\; (a)\}\; \{h\}.$ Esta expresión es cociente de diferencia del de s de Newton el “ . El derivado es el valor del cociente de diferencia pues las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de la línea de tangente. Formalmente, el derivado del f de la función en el un es el $f”\; (a)=\; \backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; a\; 0\}\; \{f\; (a+h)\; -\; f\; (a)\; \backslash \; sobre\; h\}$ del del límite del cociente de diferencia como h se acerca a cero, si existe este límite. Si existe el límite, después el f es el diferenciable en el al . Aquí el f '( un ) es una de varias notaciones comunes para el derivado (el considera debajo de ).

Equivalente, el derivado satisface la característica que $del\; \backslash \; el\; lim\_\; \{h\; \backslash \; a\; 0\}\; \{f\; (a+h)\; -\; f\; (a)\; -\; el\; f\text{'}(a)\; \backslash \; el\; cdot\; h\; \backslash \; sobre\; h\}\; =\; 0,$ cuál tiene la interpretación intuitiva (véase el cuadro 1) que la línea de tangente al f en el un da a el mejor el $f\; linear\; del\; de\; la\; aproximación\; de\; (a+h)\; \backslash \; aproximadamente\; f\; (a)\; +\; el\; f\text{'}(a)\; h$ al f acercan al un (es decir, para el pequeño h ). Esta interpretación es la más fácil de generalizar a otros ajustes (el considera debajo de ).

El que substituye 0 para el h en el cociente de diferencia causa la división por cero, así que la cuesta de la línea de tangente no se puede encontrar directo. En lugar, definir el Q ( h ) para ser el cociente de diferencia en función del h : $Q\; del\; (h)\; =\; \backslash \; frac\; \{f\; (a\; +\; h)\; -\; f\; (a)\}\; \{h\}$. El Q ( h ) es la cuesta de la línea secante en medio ( un, f ( un )) y ( + h, f ( + h )). Si el f es una función continua, significar que su gráfico es una curva intacta sin boquetes, después el Q es una función continua lejos del h del punto = 0. Si el $\backslash \; el\; textstyle\; \backslash \; el\; lim\_\; del\; límite\; \{h\; \backslash \; a\; 0\}\; Q\; (h)$ existe, significando que hay una manera de elegir un valor para el Q (0) que hacen el gráfico del Q una función continua, después el f de la función es diferenciable en el del punto al, y su derivado en el un Q (0) de los iguales de .

En la práctica, la continuidad del Q ( h ) del cociente de diferencia en el h = 0 es demostrada modificando el numerador al h de la cancelación en el denominador. Este proceso puede ser largo y aburrido para las funciones complicadas, y muchos cortes cortos son de uso general simplificar el proceso.

Ejemplo

El f ( x ) de la función que ajusta = el x ² es diferenciable en el x = 3, y su derivado allí es 6. Esto es probada escribiendo el cociente de diferencia como sigue: $del$

l {f (3+h) - f (3) \ sobre h} = {(3+h)^2 - 9 \ encima {h}} = {9 + 6h + h^2 - 9 \ encima {h}} = {6h + h^2 \ encima {h}} = 6 + H.

Entonces conseguimos la función simplificada en el límite: $del$

l \ lim_ {h \ a 0} 6 + h = 6 + 0 = 6.

La expresión pasada demuestra que el cociente de diferencia iguala el 6 + el h cuando el h no es cero y es indefinido cuando el h es cero. (Recordar que debido a la definición del cociente de diferencia, el cociente de diferencia es siempre indefinido cuando el h es cero.) Sin embargo, hay una manera natural de completar un valor para el cociente de diferencia en cero, a saber 6 . Por lo tanto la cuesta del gráfico de la función que ajusta en el punto (3, 9) es 6, y así que su derivado en el x = 3 es el f '(3) = 6.

Más generalmente, un cómputo similar demuestra que el derivado de la función que ajusta en el x = un es el 2 del f '( un ) = al .

Continuidad y differentiability

Si el y = el f ( x ) es diferenciable en el al, después el f debe también ser el continuo en el un . Como ejemplo, elegir un del punto un y dejar el f ser la función de paso que vuelve un valor, dicen 1, para todo el x menos que un, y las vueltas un diverso valor, dicen 10, para todo el x mayor o igual un . el f no puede tener un derivado en el un . Si el h es negativo, después el + el h está en la parte baja del paso, así que la línea secante del un al + el h será muy escarpada, y como el h tiende a cero la cuesta tiende al infinito. Si el h es positivo, después el + el h está en la alta parte del paso, así que la línea secante del un al + el h tendrá cuesta cero. Por lo tanto las líneas secantes no se acercan a ninguna sola cuesta, así que el límite del cociente de diferencia no existe.

incluso si una función es continua en un punto, puede no ser diferenciable allí. Por ejemplo, el y de la función del valor absoluto = | x | es continuo en el x = 0, pero no es diferenciable allí. Si el h es positivo, después la cuesta de la línea secante del 0 al h es uno, mientras que si el h es negativo, después la cuesta de la línea secante del 0 al h es la negativa. Esto se puede ver gráficamente como " kink" en el gráfico en el x = 0. Incluso una función con un gráfico liso no es diferenciable en un punto donde está vertical su tangente: Por ejemplo = $y\; \backslash raíz\; cuadrada\{x\}$ de la función no es diferenciable en el x = 0.

La mayoría de las funciones que ocurren tienen en la práctica derivados en todos los puntos o en casi cada punto. Sin embargo, un resultado Stefan Banach indica que el sistema de las funciones que tienen un derivado en un cierto punto es un sistema pobre durante todas las funciones continuas. Informal, esto significa que las funciones diferenciables son muy anormales entre funciones continuas. El primer ejemplo sabido de una función que sea continua por todas partes solamente de ninguna parte diferenciable es la función de Weierstrass.

El derivado como función

Dejar el f ser una función que tiene un derivado en cada del punto un en el dominio f . Porque cada del punto un tiene un derivado, hay una función que envía el del punto un al derivado del f en el un . Esta función se escribe el f'(del x) y se llama la función derivada del o el derivado f . El derivado del f recoge todos los derivados del f en todos los puntos en el dominio del f .

El f tiene a veces un derivado a lo más, pero no todo, puntos de su dominio. La función cuyo valor en el un iguala el f'(del a) siempre que el f'(del a) se defina y sea indefinido a otra parte también se llama el derivado del f . Sigue siendo una función, pero su dominio es terminantemente más pequeño que el dominio del f .

Usar esta idea, la diferenciación se convierte en una función de funciones: El derivado es un operador cuyo dominio es el sistema de todas las funciones que tengan derivados en cada punto de su dominio y cuya gama sea un sistema de funciones. Si denotamos a este operador por el D, después el D ( f ) es el f&prime del de la función; ( x ). Puesto que el D ( f ) es una función, puede ser evaluado en un del punto un . Por la definición de la función derivada,   del D ( f ) ( un ); = f&prime del ; ( un ).

Para la comparación, considerar el   de duplicación del f ( x ) de la función; =2 x ; el f es una función con valores reales de un número verdadero, significando que toma números como entradas y tiene números como salidas: el $del\; \backslash \; comienza\; \{alinear\}\; 1\; y\; \{\}\; \backslash \; mapsto\; 2,\; \backslash \; \backslash \; 2\; y\; \{\}\; \backslash \; mapsto\; 4,\; \backslash \; \backslash \; 3\; y\; \{\}\; \backslash \; mapsto\; 6.\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$ El D del operador, sin embargo, no se define en números individuales. Se define solamente en funciones: el Porque la salida del D es una función, la salida del D se puede evaluar en un punto. Por ejemplo, cuando el D se aplica a la función que ajusta, $x\; del\; \backslash \; mapsto\; x^2,$ El D hace salir la función de duplicación, $x\; \backslash \; mapsto\; 2x,$ del cuál nombramos el f ( x ). Esta función de salida se puede entonces evaluar para conseguir el f (1)  = 2, f (2)  = 4, y así sucesivamente.

Derivados más altos

Dejar el f ser una función diferenciable, y dejar el f'(del x) ser su derivado. El derivado del f'(del x) (si tiene uno) se escribe el del f del (x) y se llama el derivado de segundo del de f. Semejantemente, el derivado de un segundo derivado, si existe, se escribe el del f de (x) y se llama el derivado de tercer del de f. Estos derivados repetidos se llaman higher-order de los derivados de .

Un de la función f no necesita tener un derivado, por ejemplo, si no es continuo. Semejantemente, incluso si el de f tiene un derivado, puede no tener un segundo derivado. Por ejemplo, dejar el $f\; del\; (x)\; =\; \backslash \; comenzar\; \{los\; casos\}\; x^2,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; -\; de\; la\; GE\; 0\; x^2,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; le\; 0\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$. Un cálculo elemental demuestra que el de f es una función diferenciable cuyo derivado es el $f\text{'}(del\; x)\; =\; \backslash \; comienza\; \{los\; casos\}\; 2x,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; -2x\; de\; la\; GE\; 0,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; le\; 0\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$. el del f'(de x) es dos veces la función valor absoluto, y no tiene un derivado en cero. Los ejemplos similares demuestran que una función puede tener derivados del de k para cualquier del número entero no negativo k pero ningún (k + 1) - pedir el derivado. Una función que tiene derivados sucesivos del de k se llama el differentiable de los tiempos del de k. Si además el derivado del th del k es continuo, después la función reputa del C^k de la clase de Differentiability. (Esto es una condición más fuerte que teniendo derivados del k . Para un ejemplo, ver la clase de Differentiability.) Una función que tiene infinitamente muchos derivados se llama el el infinitamente diferenciable liso de o del .

En la línea verdadera, cada función polinómica es infinitamente diferenciable. Por las reglas estándar de la diferenciación, si un polinomio del n del grado se distingue los tiempos del n, después ella se convierte una función constante . Todos sus derivados subsecuentes son idénticamente cero. Particularmente, existen, así que los polinomios son funciones lisas.

Los derivados de un f de la función en un x del punto proporcionan aproximaciones polinómicas a esa función cerca del x . Por ejemplo, si el f es dos veces diferenciable, entonces $del\; f\; (x+h)\; \backslash \; +\; \backslash \; tfrac12\; f\; de\; aproximadamente\; f\; (x)\; +\; f\text{'}(x)\; h\; (x)\; h^2$ en sentido ese

$\backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{f\; (x+h)\; -\; -\; de\; f\; (x)\; -\; f\text{'}(x)\; h\; \backslash \; frac12\; f\; (x)\; h^2\}\; \{h^2\}\; =0.$ Si el f es infinitamente diferenciable, después éste es el principio de la serie de Taylor para el f .

Notaciones para la diferenciación

considera también: Notación para el

la diferenciación

Notación de Leibniz

considera también:

la notación de Leibniz

La notación para los derivados introducidos por el Gottfried Leibniz es una del más temprana. Es todavía de uso general cuando el y de la ecuación = el f ( x ) se ve como relación funcional entre las variables dependientes y independientes . Entonces el primer derivado se denota cerca, \, \; del patio del $\backslash \; del\; frac\; del$

l {dy} {dx} \ del frac {d f} {dx} (x)\; \ mathrm {o} \; \; \ frac {d} {dx} f (x).

Derivados más altos se expresan usar la notación $del$

l \ frac {d^ny} {dx^n}, \ patio \ frac {d^nf} {dx^n} (x), \; \; \ mathrm {o} \; \; \ frac {d^n} {dx^n} f (x)

para el derivado del th del n del y = f ( x ) (con respecto al x ).

Con la notación de Leibniz, podemos escribir el derivado del y en el x del punto = un en dos maneras diferentes: el $del$

l \ el frac {dy} {dx} \ se fueron. ¡{\! ¡\! \ frac {} {}} \ derecho|= \ frac {dy} {dx} (a). del _ {x=a}

La notación de Leibniz permite que uno especifique la variable para la diferenciación (en el denominador). Esto es especialmente relevante para la diferenciación parcial . También hace el la regla de cadena fácil recordar:

$\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\; =\; \backslash \; frac\; \{dy\}\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{du\}\; \{dx\}\; del\; du.$

Notación de Lagrange

Una de las notaciones modernas mas comunes para la diferenciación es debido al José Louis Lagrange y utiliza la marca de la prima, de modo que el derivado de un $f\; de\; la\; función\; (x)\; \backslash ,$ es $f\text{'}(denotado\; x)\; \backslash ,$ o simplemente $f\text{'}\backslash ,$. Semejantemente, se denotan los segundos y terceros derivados del =f del $(f\text{'})\; \text{'}\backslash ,$ y $((f\text{'})\; \text{'})\; “=f”\; \backslash ,$. Más allá de este punto, algún autor utilizan romano número por ejemplo $f^\; \{IV\}\; \backslash ,$ para el cuarto derivado, mientras que otros autores ponen el número de derivados entre paréntesis: $f^\; \{(4)\}\; \backslash ,$ en este caso. 3ultimo notación generaliza rendir notación $f^\; \{(n)\}\; \backslash ,$ para el derivado del th del n del f - esta notación es la más útil cuando deseamos hablar del derivado como siendo una función sí mismo, pues en este caso la notación de Leibniz puede llegar a ser incómoda.

Notación de Newton

considera también:

la notación de Newton

La notación de Newton para la diferenciación, también llamada la notación del punto, coloca un punto sobre el nombre de función para representar un derivado. Si y = f (t), entonces $\backslash \; punto\; \{y\}$ denota el primer derivado del y con respecto al t, y $\backslash \; el\; ddot\; \{y\}$ denota el segundo derivado. Esta notación se utiliza casi exclusivamente para el significado de los derivados del tiempo que la variable independiente de la función representa el tiempo . Es muy común en la física y en las disciplinas matemáticas conectadas con la física tal como ecuaciones diferenciales mientras que la notación llega a ser inmanejable para los derivados de categoría alta, solamente muy pocos derivados son en la práctica necesarios.

Notación de Euler

notación de s de Euler la 'utiliza un D del operador diferenciado, que se aplica a un f de la función para dar el Df del primer derivado. El segundo derivado es el denotado f del D ², y el derivado del th del n es el denotado f del n del ^{del D .}

Si el y = el f ( x ) es una variable dependiente, después el suscrito x se ata a menudo al D para aclarar el x de la variable independiente. La notación de Euler entonces se escribe $D\_xy$ o el $D\_xf\; (x)$, aunque este subíndice se omita a menudo cuando se entiende el variable x, por ejemplo cuando ésta es la única variable presente en la expresión.

La notación de Euler es útil para indicar y solucionar las ecuaciones diferenciales lineares

¡Computando el derivado

El derivado de una función se puede, en principio, computar de la definición considerando el cociente de diferencia, y computando su límite. Para algunos ejemplos, ver el derivado (ejemplos) . En la práctica, una vez que los derivados de algunas funciones simples se saben, los derivados de otras funciones se computan más fácilmente usar las reglas del para obtener los derivados de funciones más complicadas las más simples.

Derivados de funciones elementales

considera también: Tabla de

los derivados

Además, los derivados de algunas funciones comunes son útiles de saber.
derivados

las energías : si $f\; del$

l (x) = x^r \, ,

donde está cualquier número el r verdadero, entonces

$f\text{'}(x)\; =\; rx^\; \{r-1\}\; \backslash ,$,

dondequiera que se defina esta función. Por ejemplo, si r el = 1/2, entonces

$f\text{'}(x)\; =\; x^\; (del\; 1/2)\; \{-\}\; \backslash ,\; del\; 1/2$.

y la función se define solamente para el no negativo x . Cuando el r = 0, esta regla recupera la regla constante.
funciones exponenciales del logaritmo de del

y: $de\; \backslash \; e^x\; del\; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; =\; e^x$ = \ ln (a) a^x del a^x del $\backslash \; del\; frac\; del$

l {d} {dx}

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\}\; \backslash \; ln\; del\; dx\; (x)\; =\; 1/x,\; \backslash \; qquad\; x\; >\; 0$

$\backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; log\_a\; de\; d\}\; \{dx\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \backslash \; ln\; (a)\}$
funciones trigonométricas

': $\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \backslash \; pecado\; (x)\; =\; \backslash \; lechuga\; romano\; (x).$
$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \backslash \; lechuga\; romano\; (x)=\; -\; \backslash \; pecado\; (x).$
$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\}\; \backslash \; tan\; (x)=\; \backslash \; sec^2\; (x).$ del dx
funciones trigonométricas inversas ': $\backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; arcsin\; de\; d\}\; \{dx\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1-x^2\}\}.$ del$$
de \ frac {d} {dx} \ arccos (- \ frac del x)= {1} {\ raíz cuadrada {1-x^2}}. $del$
de \ frac {d} {dx} \ arctan (x)= \ frac {1}.

¡Reglas para encontrar el derivado operador de diferencia -->

considera también: La diferenciación gobierna el

En muchos casos, los cálculos de límite complicados por el uso directo del cociente de diferencia de Newton se pueden evitar usar reglas de la diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son los siguientes.
regla constante del

: si el f ( x ) es constante, entonces $f\; de\; =\; 0\; \backslash ,$ regla de suma : $de\; (af\; +\; BG)\; “=\; af”\; +\; bg\; \backslash ,$ para todo el f de las funciones y el g y todo el de los números verdaderos un y el b . regla del producto: $de\; (fg)\; \text{'}=\; f\; “”\; \backslash ,\; de\; g\; +\; del\; fg$ para todo el f de las funciones y el g . regla del cociente: $de\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{f\}\; \{g\}\; \backslash \; derecho)\; “=\; \backslash \; l\; frac\; \{f\text{'}g\; -\; fg”\}\; \{g^2\}$ regla de cadena : Si $f\; (x)\; =\; h\; (g\; (x))$, entonces $f\text{'}(de\; x)\; =\; g\text{'}(de\; g\; del\; h\text{'}((x))\; x)\; \backslash ,$.

Cómputo de ejemplo

El derivado de $f\; del$

l (x) = x^4 + \ pecado (x^2) - \ ln (x) e^x + 7 \,

es

Aquí el segundo término era computado usar la regla de cadena y tercero usar la regla del producto: los derivados sabidos del x ² de las funciones elementales, del x ⁴, del pecado ( x ), del ln ( x ) y de exp ( x ) = el x del ^{del e también fueron utilizados.}

Derivados en dimensiones más altas

cálculo del vector|cálculo multivariable

Derivados de las funciones valoradas del vector

Un Vector-valorado y ( t ) de la función de una variable verdadera es una función que envía números verdaderos a los vectores en un cierto n del ^{del R del espacio de vector . Una función vector-valorada se puede dividir en su de las funciones coordinadas y₁(t), y₂(t) ,…, el n ( t ) del _{del y, significando ese y ( t ) = (el y 1 ( t ),…, n} ( t ) del _{) del y . Esto incluye, por ejemplo, las curvas paramétricas en el R ² o el R ³. Las funciones coordinadas son funciones con valores reales, así que la definición antedicha del derivado se aplica a ellas. El derivado del y ( t ) se define para ser el vector, llamado el vector de la tangente, cuyos coordenadas son los derivados de las funciones coordinadas. Es decir, $\backslash \; mathbf\; \{y\}\; “(t)\; =\; (y”\; \_1\; (t),\; \backslash \; ldots,\; y\text{'}\_\; n\; (t))$. Equivalente,}}

$\backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'}(t)=\; \backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; -\; del\; mathbf\; \{y\}\; (t+h)\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\}\; \{h\},$

si existe el límite. La substracción en el numerador es substracción de los vectores, no escalares. Si el derivado del y existe para cada valor del t, después el y es otra función valorada del vector.

Si el e ₁,…, el e _n es la base estándar para el R ⁿ, después el y ( t ) se puede también escribir como $y\_1\; (t)\; \backslash \; el\; mathbf\; \{e\}\; \_1\; +\; \backslash \; los\; cdots\; +\; y\_n\; (t)\; \backslash \; el\; mathbf\; \{e\}\; \_n$. Si asumimos que el derivado de una función vector-valorada conserva la característica de las linearidades, después el derivado del y ( t ) debe ser $y\text{'}\_1\; (t)\; \backslash \; el\; mathbf\; \{e\}\; \_1\; +\; \backslash \; los\; cdots\; +\; el\; y\text{'}\_\; n\; (t)\; \backslash \; el\; mathbf\; \{e\}\; \_n$, porque cada uno de los vectores de la base es un constante.

Esta generalización es útil, por ejemplo, si el y ( t ) es el vector de posición de una partícula en el t del tiempo; entonces el y derivado ( t ) del es el vector de la velocidad de la partícula en el t del tiempo.

Derivados parciales

considera también:

parcial del derivado

Suponer que el f es una función que depende más que una variable. Por ejemplo, $f\; del\; (x,\; y)\; =\; x^2\; +\; xy\; +\; y^2.$ el f se puede reinterpretar como familia de funciones de una variable puesta en un índice por las otras variables: $f\; del\; (x,\; y)\; =\; f\_x\; (y)\; =\; x^2\; +\; xy\; +\; y^2.$ Es decir cada valor del x elige una función, el denotado f_x, que es una función de un número verdadero. Es decir, $x\; del\; \backslash \; f\_x\; del\; mapsto,$ f\_x\; del$$
de (y) = x^2 + xy + y^2. Una vez que un valor del x se elige, decir el un, después un f (x, y) determina un f_a de la función que envíe el y al un ² + ay + el y ²: $f\_a\; del\; (y)\; =\; a^2\; +\; ay\; +\; y^2.$ En esta expresión, el un es un constante, no un variable, así que el f_a es una función de solamente una variable verdadera. Por lo tanto la definición del derivado para una función de una variable se aplica: $f\_a\text{'}(del\; y)\; =\; a\; +\; 2y.$ El procedimiento antedicho se puede realizar para cualquier opción del un . La junta de los derivados junta en una función da una función que describa la variación del f en la dirección del y : $\backslash \; frac\; del\; \{\backslash \; parte\; f\}\; \{\backslash \; parte\; y\}\; (x,\; y)\; =\; x\; +\; 2y.$ Éste es el derivado parcial del f con respecto al y . Aquí el ∂ es un redondeado d llamado el símbolo derivado parcial . Para distinguirlo del d de la letra, el ∂ es " a veces pronunciado; der", " del", o " partial" en vez de " dee".

El derivado parcial de un f (x₁,…, x_n) de la función en el x_i de la dirección en el punto ( a₁ ,…, a_n ) se define generalmente para ser:

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; parte\; f\}\; \{\backslash \; x\_i\; de\; la\; parte\}\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n)\; =\; \backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{f\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_i+h,\; \backslash \; ldots,\; a\_n)\; -\; f\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n)\}\{h\}.$ En el cociente de diferencia antedicho, todas las variables excepto el x_i se llevan a cabo fijas. Esa opción de valores fijos determina una función de un $f\_\; variable\; \{a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{i-1\},\; a\_\; \{i+1\},\; \backslash \; los\; ldots,\; a\_n\}\; (x\_i)\; =\; f\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{i-1\},\; x\_i,\; a\_\; \{i+1\},\; \backslash \; los\; ldots,\; a\_n)$, y por definición, $del\; \backslash \; frac\; \{df\_\; \{a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{i-1\},\; a\_\; \{i+1\},\; \backslash \; los\; ldots,\; a\_n\}\}\; \{dx\_i\}\; (a\_1,\; \backslash \; los\; ldots,\; a\_n)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parte\; f\}\; \{\backslash \; el\; x\_i\; de\; la\; parte\}\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n).$ Es decir las diversas opciones del un ponen en un índice una familia de funciones uno-variables apenas como en el ejemplo arriba. Esta expresión también demuestra que el cómputo de derivados parciales reduce al cómputo de derivados uno-variables.

Un ejemplo importante de una función de varias variables es el caso de un Escalar-valorado f ( x ₁ de la función ,… n del _{del x ) en un dominio en el n del ^{del R del espacio euclidiano (e., en el R ² o el R ³). En este caso el f tiene un derivado parcial j}} del _{del x del f /∂ del ∂ con respecto a cada variable j} del _{del x . En el del punto un, estos derivados parciales define el $\backslash \; el\; nabla\; f\; del\; del\; vector\; (a)\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\}\; (a),\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; de\; los\; ldots\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}\; (a)\; \backslash \; derecho).$ Este vector se llama el gradiente del del f en el un . Si el f es diferenciable en cada punto en un cierto dominio, después el gradiente es un vector-valorado f del ∇ de la función que lleva a del punto un el f del ∇ del vector (a) . Por lo tanto el gradiente determina un campo de vector .}

Derivados direccionales

considera también:

direccional del derivado

Si el f es una función con valores reales en el R ⁿ, después los derivados parciales del f miden su variación en la dirección de las hachas coordinadas. Por ejemplo, si el f es una función del x y del y, entonces sus derivados parciales miden la variación en el f en la dirección del x y la dirección del y ., Sin embargo, miden directo la variación del f en cualquier otra dirección, por ejemplo a lo largo de la línea diagonal y = el x . Éstos se miden usar derivados direccionales. Elegir un $\backslash \; un\; mathbf\; \{v\}\; del\; del\; vector\; =\; (v\_1,\; \backslash \; los\; ldots,\; v\_n).$ El derivado direccional del f en la dirección del v en el x del punto es (\ boldsymbol {x} del $D\_\; del\; del\; límite\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{f\})\; =\; \backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\; +\; h\; \backslash \; el\; mathbf\; \{v\})\; -\; f\; (\backslash \; boldsymbol\; \{x\})\}\{h\}\}.$ Dejar el λ ser un escalar. La substitución del h/λ para el h cambia el cociente de diferencia del λ de la dirección del v en tiempos del λ el cociente de diferencia de la dirección del v . Por lo tanto, el derivado direccional en la dirección del v del λ es tiempos del λ el derivado direccional en la dirección del v . Debido a esto, los derivados direccionales se consideran a menudo solamente para el v de los vectores de unidad.

Si existen todos los derivados parciales del f y son continuos en el x del, después determinan el derivado direccional del f en el v de la dirección por la fórmula: (\ boldsymbol {x} del $D\_\; del\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{f\})\; =\; \backslash \; v\_j\; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{j=1\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_j\; parcial\}.$ Ésta es una consecuencia de la definición del derivado del total. Sigue que el derivado direccional es el linear en el v .

La misma definición también trabaja cuando el f es una función con valores en el R ^m. Apenas utilizamos la definición antedicha en cada componente de los vectores. En este caso, el derivado direccional es un vector en el R ^m.

El derivado total, el Jacobian, y el diferencial

considera también:

total del derivado

Dejar el f ser una función de un dominio en el R a el R . El derivado del f en un del punto un en su dominio es la mejor aproximación linear al f en ese punto. Como arriba, esto es un número. Geométrico, si el v es un vector de unidad que comienza en el un, después el f'(a), la mejor aproximación linear al f en el un, debe ser la longitud del vector encontrado moviendo el v al espacio de la blanco usar el f . (Este vector es llamado el pushforward v por el f y escrito generalmente $f\_*v$.) Es decir si el v se mide en términos de distancias en la blanco, después, porque el v se puede medir solamente a través del f, el v aparece no más ser un vector de unidad porque el f no preserva vectores de unidad. En lugar el v aparece tener de la longitud f'(a) . Si el m es mayor de uno, después escribiendo el f usar funciones coordinadas, la longitud del v en cada uno de las direcciones coordinadas se puede medir por separado.

Suponer ahora que el f es una función de un dominio en el n del ^{del R a el m} del ^{del R y ese un es un punto en el dominio del f . El derivado del f en el un debe todavía ser la mejor aproximación linear al f en el al . Es decir si el v es un vector en el n} del ^{del R, después el f ' ( un ) debe ser la transformación linear que aproxima mejor el f . La transformación linear debe contener toda la información sobre cómo el f transforma vectores en el un a los vectores en el f ( un ), y en símbolos, ésta significa que debe ser el linear f' ( un ) de la transformación tales que $del$}

l \

del lim_ Generalizaciones

considera también:

rivado (generalizaciones)

El concepto de un derivado se puede ampliar a muchos otros ajustes. El hilo de rosca común es que el derivado de una función en un punto sirve como aproximación linear de la función en ese punto.

una generalización importante del derivado se refiere a funciones complejas de variables complejas, tales como funciones (un dominio adentro) del C de los números complejos a el C . La noción del derivado de tal función es obtenida substituyendo variables verdaderas por variables complejas en la definición. Sin embargo, esta definición inocente oculta algunas características muy profundas. Si el C es identificado con el R ² escribiendo un z del número complejo como x + el y del i, después una función diferenciable del C a el C es ciertamente diferenciable como función del R ² a el R ² (en el sentido que existen sus derivados parciales todos), pero el inverso no es verdad en general: el derivado complejo existe solamente si el derivado verdadero es el linear complejo y éste impone relaciones entre los derivados parciales llamados el &mdash de las ecuaciones de Cauchy Riemann; ver las funciones olomorfas

otra generalización se refiere a funciones entre los múltiples diferenciables o lisos . Intuitivo el discurso de un tan multíple M es un espacio que se puede aproximar cerca de cada x del punto por un espacio de vector llamado su espacio de tangente : el ejemplo prototípico es una superficie lisa en el R ³. El derivado (o diferencial) del (diferenciable) f del mapa de a: El N del → del M entre los múltiples, en un x del punto en el M, es entonces un mapa linear del espacio de tangente del M en el x al espacio de tangente del N en el f ( x ). La función derivada se convierte en un mapa entre los paquetes de la tangente M y del N . Esta definición es fundamental en la geometría diferenciada y tiene &mdash de muchas aplicaciones; ver el Pushforward (diferencial) y retirada (geometría diferenciada) .
La diferenciación del

se puede también definir para los mapas entre los espacios de vector dimensionales infinitos tal como espacios de Banach y los espacios de Fréchet allí son una generalización ambas del derivado direccional, llamado el derivado de Gâteaux, y del diferencial, llamado el derivado de Fréchet.
La deficiencia del

uno del derivado clásico es que no muchas funciones son diferenciables. Sin embargo, hay una manera de ampliar la noción del derivado para poder distinguir todas las funciones continuas y muchas otras funciones usar un concepto conocido como el derivado débil . La idea es encajar las funciones continuas en un espacio más grande llamado el espacio de las distribuciones y requerir solamente que una función es " diferenciable; en average".

las características del derivado ha inspirado la introducción y el estudio de muchos objetos similares en &mdash de la álgebra y de la topología; ver, por ejemplo, la álgebra diferenciada .

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