En las matemáticas, la desigualdad del de los medios aritméticos y geométricos, o más breve la desigualdad AM-GM, indica que es el medio aritmético de una lista de los números verdaderos no negativo mayor o igual el medio geométrico de la misma lista; y fomentar, ése los dos medios es igual si y solamente si cada número en la lista es igual.

Fondo

El medio aritmético del, o menos exacto el promedio del, de una lista del n numera el x ₁,   x ₂,  .,   el n del _{del x es la suma de los números divididos por el n : $\backslash \; frac\; del$}

l {x_1 + x_2 + \ cdots + x_n} {n}.

El medio geométrico del es similar, salvo que se define solamente para una lista de números verdaderos no negativos del, y utiliza la multiplicación y una raíz en lugar de la adición y de la división: $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\_1\; \backslash \; cdot\; x\_2\; \backslash \; x\_n\; del$

l de los cdots}.

Si x ₁,   x ₂,  .,   n   del _{del x ; >  0, éste es igual al exponencial del medio aritmético de los logaritmos naturales de los números: $\backslash \; exp\; del$}

l \ ido (\ frac {\ + \ ln {x_2} del ln {x_1} + \ + \ ln {x_n}} {n} de los cdots \ derecho).

La desigualdad

Exponiendo la desigualdad en forma modificada usar la notación matemática, tenemos eso para cualquier lista del no negativo x ₁,   de los números verdaderos del n ; x ₂,  .,   n del _{del x,}

$\backslash \; frac\; \{x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash \; cdots\; +\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\_1\; \backslash \; cdot\; x\_2\; \backslash \; x\_n\; del\; x\_n\}\; \{n\; de\; los\; cdots\},$

y eso si y solamente si x ₁  =  x ₂  = .   =  n del _{del x, = \ raíz cuadrada {x_1 \ cdot x_2 \ x_n del $\backslash \; del\; frac\; del$}

l {x_1 + x_2 + \ cdots + x_n} {n} de los cdots}.

Generalizaciones

Hay una desigualdad similar para el medio aritmético cargado y el medio geométrico cargado . Específicamente, dejar el no negativo x ₁,   de los números; x ₂,  .,   n y el α no negativo ₁,   del _{del x del de los pesos; α 2,   del ;.,   se dé el n} del _{del α del . Sistema = \ alpha_1 del $\backslash \; de\; la\; alfa\; +\; \backslash \; alpha\_2\; +\; \backslash \; +\; \backslash \; alpha\_n$ de los cdots. Si   del α del ; >  0, entonces la desigualdad}

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\_1\; x\_1\; +\; \backslash \; alpha\_2\; x\_2\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; x\_n\; del\; alpha\_n\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; geq\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\_1^\; \{\backslash \; alpha\_1\}\; x\_2^\; \{\backslash \; alpha\_2\}\; \backslash \; x\_n^\; de\; la\; alfa\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; alpha\_n\}\}$

se sostiene con igualdad si y solamente si todo el x_k con el   del α_k ; >  0 es igual. Aquí la convención 0⁰  =  se utiliza 1.

Si todo el   del α_k ; =  1, éste reduce a la desigualdad antedicha de AM-GM.

Otras generalizaciones de la desigualdad de medios aritméticos y geométricos son dadas por la desigualdad de Muirhead, la desigualdad de MacLaurin, y la desigualdad mala generalizada .

Uso del ejemplo

Considerar la función siguiente: + \ raíz cuadrada {\ frac {z} {x}} del $f\; del$

l (x, y, z) = \ + \ raíz cuadrada del frac {x} {y} {\ frac {y} {z}}

para el x, el y, y el z todo números verdaderos positivos. Suponer que deseamos encontrar el valor mínimo de esta función. Reescribiendo un pedacito, y aplicando la desigualdad de AM-GM, tenemos:

Prueba por la inducción

Hay varias maneras de probar la desigualdad de AM-GM; por ejemplo, puede ser deducido de la desigualdad de Jensen, usar el ln de la función cóncava ( x ). Puede también ser probado usar la desigualdad del cambio. Considerando longitud y requisitos previos required, la prueba por la inducción dada abajo es probablemente la mejor recomendación para la primera lectura.

Con el $\backslash \; el\; mu=\; \backslash \; el\; frac\; del\; del\; medio\; aritmético\; \{\backslash \; x\_1\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_n\}\; n$ del no negativo x ₁ de los números verdaderos,…, el x_n, la declaración de AM-GM es equivalente al $\backslash \; al\; mu^n\; \backslash \; GE\; x\_1\; x\_2\; \backslash \; x\_n\; del\; de\; los\; cdots\; \backslash ,$ con igualdad si y solamente si   del μ del ; =  x_i para todo el   del i ; =  1,…, n .

La prueba siguiente solicitamos la inducción matemática y solamente reglas bien conocidas de aritmética.

Base de la inducción del : para el   del n ; =  1 la declaración es verdad con igualdad.

Hipótesis de la inducción del : suponen que la declaración de AM-GM se sostiene para todas las opciones de los números verdaderos no negativos del n .

Paso de la inducción del : consideran el   del n ; +  números verdaderos no negativos 1. Su μ medio aritmético satisface el $del\; (n+1)\; \backslash \; mu=\; \backslash \; x\_1\; +\; \backslash \; los\; cdots\; +\; x\_n\; +\; el\; x\_\; \{n+1\}.\; \backslash ,$ Si todos los números son iguales al μ del, después tenemos igualdad en la declaración de AM-GM y nos hacen. Si no podemos encontrar un número que sea mayor que el μ y uno del que sea más pequeño que el μ del, decimos el   del x_n ; >  μ del y n +1  del _{del x ; <  μ del . Entonces $del$}

l (x_n- \ MU) (\ mu-x_ {n+1}) >0 \. \ qquad (*)

Ahora considerar el
$x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n-1\},\; x\_n\text{'}$  del
de los números del n ;     with      - \ x_n- \ mu>0 \, de MU de $x\_n\text{'}:=x\_n+x\_\; \{n+1\}\; \backslash \; de\; la\; GE$

cuáles son también no negativos. Desde entonces $n\; \backslash \; mu=x\_1\; del$

l + \ cdots + x_ {n-1} + \ _ del underbrace {- \ MU de x_n+x_ {n+1}} {= \, x_n'},

el μ del es también el medio aritmético de $x\_1,\; \backslash \; de\; los\; ldots,\; x\_\; \{n-1\},\; x\_n\text{'}$ y la hipótesis de la inducción implica = \ mu^n \ cdot \ MU \ GE x_1x_2 \ x_n'\ MU del $\backslash \; del\; mu^\; del$

l {n+1} del x_ de los cdots {n-1}. \ qquad (**)

Debido (*) a nosotros sabemos eso

$(\backslash \; underbrace\; \{-\; \backslash \; MU\; de\; x\_n+x\_\; \{n+1\}\}\; \_\; \{=\; \backslash ,)\; \backslash \; mu-x\_nx\_\; \{n+1\}\; del\; x\_n\text{'}\}\; =\; (x\_n-\; \backslash \; MU)\; (\backslash \; mu-x\_\; \{n+1\})\; >0,$

por lo tanto

$x\_n\text{'}\backslash \; mu>x\_nx\_\; \{n+1\}\; \backslash ,\; \backslash \; qquad\; (\{*\}\; \{*\}\; \{*\})$

particularmente   del μ del ; >  0. Por lo tanto, si por lo menos uno del x ₁ de los números,…, &minus del n del _{del x ; 1} es cero, después tenemos ya desigualdad terminante adentro (**). Si no el lado derecho de (**) es desigualdad positiva y terminante es obtenido usando la estimación (***). Por lo tanto, el substituir (***) en (**) da en ambos casos

$\backslash \; mu^\; \{n+1\}\; >x\_1x\_2\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n-1\}\; x\_nx\_\; \{n+1\}\; \backslash ,$

cuál termina la prueba.

Prueba de Pólya

El George Pólya proporcionó la prueba siguiente, usar la función exponencial y el x   del ^{del e de la desigualdad; ≥ 1  +  x, que es válido para cada x del número verdadero. Para verificar esta desigualdad, observar que ambos lados así como sus primeros derivados convengan para el   del x ; =  0 y ése la función exponencial es el terminantemente convexo, porque su segundo derivado es positivo para cada verdadero x . Por esta razón, también el x}   del ^{del e de la igualdad; = 1  +  asimientos del x solamente para el   del x ; =  0.}

Dejar el μ ser el medio aritmético, y dejar el ρ ser el medio geométrico del x ₁,…, el n del _{del x . Si todo el x 1,…, el n} del _{del x es igual, entonces μ   =  ρ.}

Permanece probar el &mu terminante de la desigualdad;   >  ρ si x ₁,…, n   del _{del x ; ≥  0 no es todo igual. Entonces, particularmente, no son cero, por lo tanto el μ   >  0.}

Si substituimos el i /&mu del _{del x ;   −   1 para el x en el antedicho x   del ^{del e de la desigualdad; ≥ 1  +  el x conseguimos eso}}

$\backslash \; exp\; \backslash \; Bigl\; (\{x\_i\; \backslash \; sobre\; \backslash \; MU\}\; -\; 1\; \backslash \; Bigr)\; \backslash \; GE\; \{\}\; \backslash ,\; del\; x\_i\; \backslash \; sobre\; \backslash \; MU$

para cada i y la desigualdad terminante para esos i con el i   del _{del x ; ≠  μ. Desde el i}   del _{del x ; /μ   ≥  0, podemos multiplicar todas estas desigualdades juntas, side-by-side, para el i = 1,…, el n, para obtener}

$\backslash \; prod\_\; \{i=1\}\; ^n\; \backslash \; exp\; \backslash \; Bigl\; (\{x\_i\; \backslash \; sobre\; \backslash \; MU\}\; -\; 1\; \backslash \; Bigr)\; >\; \backslash \; prod\_\; \{i=1\}\; ^n\; \{\}\; \backslash ,\; del\; x\_i\; \backslash \; sobre\; \backslash \; MU,$

donde conseguimos la desigualdad terminante porque no hay factor en el lado izquierdo cero y había desigualdad terminante por lo menos un i . Usar la ecuación funcional de la función exponencial, conseguimos

$\backslash \; exp\; \backslash \; biggl\; (\backslash \; frac1\; \backslash \; x\_i\; del\; ^n\; de\; MU\; \backslash \; del\; sum\_\; \{i=1\}\; -\; n\; \backslash \; biggr)\; >\; \backslash \; prod\_\; \{i=1\}\; ^n\; \{\}\; \backslash ,\; del\; x\_i\; \backslash \; sobre\; \backslash \; MU.\; \backslash \; qquad\; (*)$

Desde μ es el medio aritmético, la adición en paréntesis en la izquierda de (*) se puede reducir a $del$

l \ x_i del ^n del sum_ {i=1} = n \ MU \.

Así, el lado izquierdo de la desigualdad (*) es exp (  del n ; −   n ) = 1. Desde ρ es el medio geométrico, el producto en la derecha de (*) se puede reescribir como $\backslash \; frac1\; \{\backslash \; mu^n\}\; \backslash \; x\_i\; del$

l del ^n del prod_ {i=1} = {\ rho^n \ sobre \ mu^n}.

(*) reduce tan a 1  >  ρ n /&mu del ^{; n} y por lo tanto &mu del ^{;   >  ρ.}

Prueba de Cauchy

La prueba siguiente por los casos confía directo en reglas bien conocidas de aritmética. Es esencialmente de Agustín Louis Cauchy y puede ser encontrada en su d'analyse de Cours del .

El caso donde están iguales todos los términos

Si todos los términos son iguales:

l $x\_1\; =\; x\_2\; =\; \backslash \; cdots\; =\; x\_n$

entonces su suma es el nx ₁ del, así que su medio aritmético es el x ₁; y su producto es el n del x ₁^{, así que su medio geométrico es el x ₁; por lo tanto, el medio aritmético y el medio geométrico son iguales, según lo deseado.}

El caso donde están iguales no todos los términos

Permanece demostrar que si el no todos los términos es igual, después el medio aritmético es mayor que el medio geométrico. Claramente, esto es solamente posible cuando   del n ; >  1.

Este caso es más complejo, y lo dividimos en subcases.

El subcase donde n 2

Si el n = 2, entonces nosotros tiene dos términos, x ₁ y x ₂, y desde (por nuestra asunción) no todos los términos ser igual, tenemos:

El subcase donde k del n 2

Considerar el caso donde el n = 2 ^{el k} , donde está un número entero el k positivo. Procedemos por la inducción matemática .

En el caso bajo, k = 1, tan n = 2. Hemos demostrado ya que la desigualdad se sostiene donde hacen el n = 2, así que nos.

Ahora, suponer que para un dado k > 1, nosotros han demostrado ya que la desigualdad se sostiene para el style=" n = 2 ^{&minus del k ; 1}, y nosotros deseamos demostrar que se sostenga para el style=" n = 2 ^k . Para hacer así pues, seguimos de la forma siguiente:

El subcase donde < del n ; 2 ^k

Si el n no es una energía natural de 2, después es ciertamente menos que una cierta energía natural de 2, desde el style=" 2, 4, 8,…, 2 ^{el k} , . es ilimitado arriba. Por lo tanto, sin la pérdida de generalidad, dejar el m ser una cierta energía natural de 2 que es mayor que el n .

Así pues, si tenemos términos del n, después dejarnos denotan su medio aritmético por el α, y amplían nuestra lista de términos así: $x\_\; del$

l {n+1} = x_ {n+2} = \ cdots = = \ alpha. del x_m

Entonces tenemos:

Prueba de la desigualdad generalizada de AM-GM usar la desigualdad de Jensen

Usar la forma finita de la desigualdad de Jensen para el logaritmo natural, podemos probar la desigualdad entre el medio aritmético cargado y el medio geométrico cargado indicados arriba.

Desde un x_k con &alpha del del peso;   de _k ; =  0 no tiene ninguna influencia en la desigualdad, nosotros puede asumir en el siguiente que todos los pesos son positivos. Si todo el x_k es igual, después la igualdad se sostiene. Por lo tanto, permanece probar la desigualdad terminante si no son todo iguales, que asumiremos en el siguiente, también. Si por lo menos un x_k es cero (pero no todo), después el medio geométrico cargado es cero, mientras que el medio aritmético cargado es positivo, por lo tanto la desigualdad terminante se sostiene. Por lo tanto, podemos asumir también que todo el x_k es positivo.

Puesto que el logaritmo natural es el terminantemente cóncavo, la forma finita de la desigualdad de Jensen y las ecuaciones funcionales del logaritmo natural implican el $del\; \backslash \; ln\; \backslash \; biggl\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \}\; \backslash \; alfa\; \backslash \; biggr\; de\; alpha\_1x\_1+\; \backslash \; de\; cdots+\; \backslash \; del\; alpha\_nx\_n)\; >\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\_1\}\; \backslash \; alfa\; \backslash \; ln\; x\_1+\; \backslash \; cdots+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \}\; \backslash \; x\_n$

de la alfa del alpha_n \ del ln \ ln \ raíz cuadrada {x_1^ {\ alpha_1} x_2^ {\ alpha_2} \ x_n^ de los cdots {\ alpha_n}}.

Puesto que el logaritmo natural es que aumenta terminantemente, el $del\; \backslash \; frac\; \{\backslash \}\; \backslash \; alfa\; de\; alpha\_1x\_1+\; \backslash \; de\; cdots+\; \backslash \; del\; alpha\_nx\_n\; >\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\_1^\; \{\backslash \; alpha\_1\}\; x\_2^\; \{\backslash \; alpha\_2\}\; \backslash \; x\_n^\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; alpha\_n\}\}.$