La expresión antedicha se puede también substituir por = \ raíz cuadrada del $\backslash \; de\; la\; sigma\; del$

l {\ frac {1} {} \ dejado (\ ^N x_i^2 - N \ overline {x} ^2 de N del sum_ {i=1} \ derecho)}.

La igualdad de estas dos expresiones se puede demostrar por un pedacito de la álgebra: el $del$

l \ comienza {alinear} \ ^N del sum_ {i=1} (x_i - \ overline {x}) ^2 y = {} \ ^N del sum_ {i=1} (x_i^2 - 2 x_i \ overline {x} + \ del overline {x} ^2) \ \ y {} = \ ^N dejado (\ del sum_ x_i^2 {i=1} \ derecho) - \ dejado (2 \ x_i del ^N del overline {x} \ del sum_ {i=1} \ derecho) + \ de N \ del overline {x} ^2 \ y {} = \ ^N dejado (\ del sum_ x_i^2 {i=1} \ derecho) - 2 \ overline {x} (N \ overline {x}) + \ de N \ del overline {x} ^2 \ y {} = \ ^N dejado (\ del sum_ x_i^2 {i=1} \ derecho) - N \ overline {x} ^2. \ extremo {alinear}

Cálculo de la desviación estándar de población de la desviación estándar de muestra

En el mundo real, encontrar la desviación estándar de un toda la población es poco realista excepto en ciertos casos, tales como de prueba estandardizado, donde muestrean a cada miembro de una población. En la mayoría de los casos, la desviación estándar es estimada examinando una muestra escogida al azar recogida de la población. La acción más común usada es la desviación estándar de muestra del, que se define cerca

$s\}\; ^2\; \backslash ,\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N-1\}\; \backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; (-\; \backslash \; overline\; \{x\}\; del\; x\_i),$

donde está la muestra el $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; \{x\_1,\; \backslash ,\; x\_2,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; x\_N\; de\; los\; ldots\; \backslash \}$ y $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; el\; overline\; \{x\}$ es el medio de la muestra. El   del N del denominador; −   1 es el número de grados de la libertad en el vector $\backslash \; scriptstyle\; (,\; \backslash ,\; \backslash \; puntea\; de\; x\_1-\; \backslash \; del\; overline\; \{x\},\; \backslash ,\; x\_N-\; \backslash \; overline\; \{x\})$.

La razón de esta definición es que el s ² es un perito imparcial para la variación σ² de la población subyacente, si existe esa variación y los valores de la muestra se dibujan independiente con el reemplazo. Sin embargo, el s es el no al perito imparcial para el σ de la desviación estándar; tiende a subestimar la desviación estándar de población. Aunque un perito imparcial para el σ se sepa cuando la variable al azar es el normalmente distribuido, la fórmula es complicada y asciende a una corrección de menor importancia. Por otra parte, la imparcialidad, en este sentido de la palabra, no es siempre deseable; ver el diagonal de un perito .

Otro perito usado a veces es el $similar\; del\; de\; la\; expresión\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; (-\; \backslash \; overline\; \{x\}\; del\; x\_i)\; ^2\}\; \backslash ,\; \backslash .$ Esta forma tiene un error medio cuadrático de un uniformemente más pequeño que el perito imparcial, y es la estimación de la probabilidad máxima cuando distribuyen la población normalmente.

Desviación estándar de una variable al azar continua

Las distribuciones continuas dan generalmente una fórmula para calcular la desviación estándar en función de los parámetros de la distribución. La desviación estándar de un X de la variable al azar continua con el p ( x ) de la función de densidad de probabilidad está generalmente = \ raíz cuadrada del $\backslash \; de\; la\; sigma\; del$

l {\ internacional (x \ MU) ^2 \, p (x) \, dx} Donde $\backslash \; MU\; del\; =\; \backslash \; internacional\; x\; \backslash ,\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx$

Ejemplo

Demostraremos cómo calcular la desviación estándar de una población. Nuestro ejemplo utilizará las edades de cuatro niños jovenes: {  5, 6, 8, 9 }. calcula el promedio malo, $\backslash \; overline\; \{x\}$: = \ frac {1} {N} \ ^N x_i del $\backslash \; del\; overline\; del$

l {x} del sum_ {i=1}

Tenemos N = 4 porque hay cuatro puntos de referencias: ¡

l $x\_1\; =\; 5\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$
de $x\_2\; =\; 6\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$
de $x\_3\; =\; 8\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$
de $x\_4\; =\; 9\; \backslash ,\; \backslash !$ = \ frac {1} {4} \   del $\backslash \; del\; overline\; del$

l {x} del sum_ {i=1} ^4 x_i;           Reemplazo del N por 4 = \ frac {1} {4} \ (x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \ derecho) dejado del $\backslash \; del\; overline\; del$

l {x} = \ frac {1} {4} \ (5 + 6 + 8 + 9 \ derechos) dejado del $\backslash \; del\; overline\; del$

l {x} $del$

l \ overline {x} =   7;   Éste es el medio. calcula la desviación estándar, $\backslash \; sigma\; \backslash ,\; \backslash !$. (Puesto que los cuatro valores representan a toda la población, no utilizamos la fórmula para la desviación estándar estimada en este caso): = \ raíz cuadrada {\ frac {1} {N} \ ^N del sum_ {i=1} (- \ overline {x} del x_i) ^2} del $\backslash \; de\; la\; sigma\; del$

l $del$

l \   = \ raíz cuadrada {\ frac {1} {4} \ sum_ {i=1} ^4 (- \ overline {x} del x_i) ^2} de la sigma;           Reemplazo del N por 4 = \ raíz cuadrada del $\backslash \; de\; la\; sigma\; del$

l {\ frac {1} {4} \   del sum_ {i=1} ^4 (x_i - 7)^2} ;           Reemplazo del $\backslash \; del\; overline\; \{x\}$ por 7

$\backslash \; sigma\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \backslash \; dejados\; (x\_1\; -\; 7)^2\; +\; (x\_2\; -\; 7)^2\; +\; (x\_3\; -\; 7)^2\; +\; (x\_4\; -\; 7)^2\; \backslash \; derecho\}$

$\backslash \; sigma\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \backslash \; dejados\; (5\; -\; 7)^2\; +\; (6\; -\; 7)^2\; +\; (8\; -\; 7)^2\; +\; (9\; -\; 7)^2\; \backslash \; derechos\}$ = \ raíz cuadrada {\ frac {1} {4} \ dejados ((- 2) ^2 + (- 1) ^2 + 1^2 + 2^2 \ derecho)} del $\backslash \; de\; la\; sigma\; del$

l = \ raíz cuadrada {\ frac {1} {4} \ dejados (4 + 1 + 1 + 4 \ derechos)} del $\backslash \; de\; la\; sigma\; del$

l = \ raíz cuadrada {\ frac {10} {4}} del $\backslash \; de\; la\; sigma\; del$

l

$\backslash \; sigma\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{2.5\}\; \backslash \; aproximadamente\; 1.58$

La desviación estándar de las edades de los cuatro niños es tan la raíz cuadrada de 2.5, o aproximadamente 1.

Estaba este sistema a la muestra extraída de una población más grande de niños, y la pregunta actual era una estimación de la desviación estándar de la población, la convención substituiría el N del denominador (o 4) en el paso 2 aquí con &minus del N ; 1 (o 3).

Interpretación y uso

Una desviación estándar grande indica que los puntos de referencias están lejos del medio y una pequeña desviación estándar indica que están arracimados de cerca alrededor del medio.

Por ejemplo, cada uno de los tres conjuntos de datos {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} y {6, 6, 8, 8} tiene un medio de 7. Sus desviaciones estándar son 7, 5, y 1, respectivamente. El tercer sistema tiene una desviación estándar mucho más pequeña que los otros dos porque sus valores son todos cerca de 7. En un sentido flojo, la desviación estándar nos dice que hasta dónde del medio los puntos de referencias tienden a ser. Tendrá las mismas unidades que los puntos de referencias ellos mismos. Si, por ejemplo, el conjunto de datos {0, 6, 8, 14} representa las edades de cuatro hermanos en años, la desviación estándar es 5 años del .

Mientras que otro ejemplo, el conjunto de datos {1000, 1006, 1008, 1014} puede representar las distancias viajaron por cuatro atletas en 3 minutos, medidos en metros. Tiene un medio de 1007 metros, y una desviación estándar de 5 metros del .

La desviación estándar puede servir como medida de incertidumbre. En ciencia física por ejemplo, la desviación estándar divulgada de un grupo de las medidas repetidas debe dar la precisión de esas medidas. Al decidir a si las medidas convienen con una predicción teórica, la desviación estándar de esas medidas es de importancia crucial: si el medio de las medidas es demasiado lejano de la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), después consideramos las medidas como contradicción de la predicción. Esto tiene sentido puesto que caen fuera de la gama de valores que se podrían razonablemente esperar para ocurrir si la predicción estaba correcta y la desviación estándar cuantificada apropiadamente. Ver el intervalo de la predicción.

Ejemplos de la vida real

Tiempo

Así pues, un promedio de 60 ocurre para una ciudad con colmos del °F 80 y puntos bajos del °F 40, y también ocurre para otra ciudad con colmos de 65 y puntos bajos de 55. La desviación estándar permite que reconozcamos que el promedio para la ciudad con la variación más amplia, y así una desviación de la mayor nivel, no ofrezcan tan confiable una predicción de la temperatura como la ciudad con la variación más pequeña y no bajen la desviación estándar.

Deportes

Otra manera de considerarlo es considerar a equipos de deportes. En fijado de categorías, habrá los equipos que clasifican alto en algunas cosas y mal en otros. Las ocasiones son, los equipos que llevan en las situaciones no demostrarán tal disparidad, sino serán bastante buenos en la mayoría de las categorías. Cuanto más baja es la desviación estándar de sus grados en cada categoría, el el más equilibrado y constante puede ser que sean. Así pues, un equipo que es constantemente malo en la mayoría de las categorías tendrá una desviación estándar baja. Un equipo que es constantemente bueno en la mayoría de las categorías también tendrá una desviación estándar baja. Un equipo con una desviación de la mayor nivel pudo ser el tipo de equipo que anota mucho (ofensa fuerte) pero también concede mucho (defensa débil), o, viceversa, que pudo tener una ofensa pobre pero compensa siendo difícil anotar a en-equipos con una desviación de la mayor nivel será más imprevisible.

Intentando predecir qué equipos, en cualquier día dado, ganen, puede incluir la mirada de las desviaciones estándar del vario " del equipo; stats" grados, en los cuales las anomalías pueden emparejar fuerzas contra debilidades para intentar entender qué factores pueden prevalecer como indicadores más fuertes de resultados que anotan eventual.

En competir con, un conductor se mide el tiempo en regazos sucesivos. Un conductor con una desviación estándar baja de los tiempos de regazo es más constante que un conductor con una desviación de la mayor nivel. Esta información se puede utilizar para ayudar a entender donde las oportunidades se pudieron encontrar para reducir tiempos de regazo.

Finanzas

Por ejemplo, usted tiene una opción entre dos acción: Almacenar A vuelve históricamente el 5% con una desviación estándar de el 10%, mientras que la acción B vuelve el 6% y lleva una desviación estándar de el 20%. En base de riesgo y de vuelta, un inversionista puede decidir que la acción A es la mejor opción, porque el punto de porcentaje adicional de la acción b de la vuelta generado (un 20% adicional en términos del dólar) no está digno de doble el grado de riesgo asociado a A. común B común es probable faltar la inversión inicial más a menudo que A bajo mismas circunstancias, y volverá solamente un punto de porcentaje más en promedio. En este ejemplo, almacenar A tiene el potencial para ganar el 10% más que la vuelta prevista, pero es igualmente probable ganar el 10% menos que la vuelta prevista.

El cálculo de la vuelta media (o del medio aritmético) de una seguridad sobre un número dado de períodos generará una vuelta prevista en el activo. Para cada período, restando la vuelta prevista de los resultados de vuelta reales en la variación. Ajustar la variación en cada período para encontrar el efecto del resultado en el riesgo total del activo. Cuanto más grande es la variación en un período, mayor el riesgo que la seguridad lleva. Tomar el promedio de las variaciones ajustadas da lugar a la medida de las unidades totales de riesgo asociadas al activo. Encontrar la raíz cuadrada de esta variación dará lugar a la desviación estándar de la herramienta de la inversión en la pregunta. Utilizar esta medida, combinada con la vuelta media en la seguridad, como base para comparar seguridades.

Interpretación geométrica

Para ganar algunas penetraciones geométricas, comenzaremos con una población de tres valores, x ₁, x ₂, x ₃. Esto define un P del punto = (el x ₁, el x ₂, el x ₃) en el R ³. Considerar la línea L = {(el r, el r, el r ): r en el R }. Éste es el " diagonal" principal; el pasar con el origen. Si nuestros tres valores dados fueran todos igual, después la desviación estándar sería cero y el P mentiría en el L . No es tan desrazonable asumir que la desviación estándar está relacionada con la distancia P a el L . Y ése es de hecho el caso. La mudanza ortogonal desde el P a la línea L, uno golpea el punto: $R\; del$

l = (\ overline {x}, \, \ overline {x} del overline {x})

de quién coordenadas son el medio de los valores comenzamos con. Una poca álgebra demuestra que la distancia entre el P y el R (cuál es igual que la distancia entre el P y la línea L ) es dada por σ√ 3 . Una fórmula análoga (con 3 substituidos por el N ) es también válida para una población de valores del N ; entonces tenemos que trabajar en el N del ^{del R .}

Reglas para los datos normalmente distribuidos

En la práctica, uno asume a menudo que los datos son aproximadamente de una población normalmente distribuida . Esto es justificada con frecuencia por el teorema de límite central clásico, que dice que las sumas de muchos independiente, las variables al azar idéntico-distribuidas tiende hacia el de distribución normal como límite. Si se justifica esa asunción, después los cerca de 68% de los valores están dentro de 1 desviación estándar del medio, los cerca de 95% de los valores están dentro de dos desviaciones estándar y de mentira del cerca de 99.7% dentro de 3 desviaciones estándar. Se sabe esto como la regla 68-95-99.7 del, o la regla empírica

Los intervalos de confianza son como sigue:

Desigualdad de Chebyshev

La desigualdad de Chebyshev prueba que en cualquier conjunto de datos, casi todos los valores serán más cercanos al valor medio, donde el significado del " cerca de " es especificado por la desviación estándar. La desigualdad de Chebyshev exige eso para (casi) todas las distribuciones al azar, no apenas normal unos, nosotros tiene los límites más débiles siguientes: el

por lo menos el 50% del de los valores está dentro de 1.41 desviaciones estándar del medio. El
por lo menos el 75% de los valores está dentro de 2 desviaciones estándar del medio. El
por lo menos el 89% de los valores está dentro de 3 desviaciones estándar del medio. El
por lo menos el 94% de los valores está dentro de 4 desviaciones estándar del medio. El
por lo menos el 96% de los valores está dentro de 5 desviaciones estándar del medio. El
por lo menos el 97% de los valores está dentro de 6 desviaciones estándar del medio. El
por lo menos el 98% de los valores está dentro de 7 desviaciones estándar del medio.

Y en general:

l por lo menos (1 − 1 × 100% del k ²) de los valores están dentro de desviaciones estándar del k del medio.

Relación entre la desviación estándar y el medio

La desviación mala y estándar de un sistema de datos se divulga generalmente junta. En cierto sentido, la desviación estándar es un " natural" medida de la dispersión estadística si el centro de los datos se mide sobre el medio. Esto es porque la desviación estándar del medio es más pequeña que de cualquier otro punto. La declaración exacta es la siguiente: suponer el x ₁,…, el n del _{del x son números verdaderos y definen la función: $\backslash \; sigma\; del$}

l (r) = \ raíz cuadrada {\ frac {1} {N-1} \ ^N del sum_ {i=1} (x_i - r)^2}

Usar el cálculo, o simplemente por el que termina el cuadrado, es posible demostrar que el σ ( r ) tiene un mínimo único en el medio: = \ overline {x} del $r\; del$

l . \,

(Esto se puede también hacer con álgebra bastante simple solamente, desde σ ² ( r ) se compara a un polinomio cuadrático).

El coeficiente de variación de una muestra es el cociente de la desviación estándar al medio. Es un número sin dimensiones que se puede utilizar para comparar la cantidad de variación entre las poblaciones con diversos medios.

Métodos rápidos del cálculo

(Perceptiblemente para funcionar la desviación estándar) una manera levemente más rápida de computar la desviación estándar de población es dada por la fórmula siguiente (aunque las consideraciones se deben hacer para el error Round-off, el desbordamiento aritmético, y las condiciones del desbordamiento de capacidad inferior aritmético ):

$\backslash \; sigma\; \backslash \; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; derecho)\; -\; \backslash \; overline\; \{x\}\; ^2\}\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; derecho)\; -\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; derecho)\; ^2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{-\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; derecho)\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{N\; \backslash \; ^N\; dejado\; (\backslash \; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; derecho)\; de\; N^2\}$

o

$\backslash \; sigma=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\_0\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{s\_0s\_2-s\_1^2\}$

donde la energía suma el s ₀, el s ₁, s ₂ se define cerca $del$

l \ ^N del s_j= \ del sum_ {k=1} {x_k^j}.

Semejantemente para la desviación estándar de muestra:

$s\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; -\; N\; \backslash \; overline\; \{x\}\; ^2\}\; \{N-1\}\; \backslash \}.$

O de sumas corrientes:

$s\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \{x\_i\}\; \backslash \; derecho)\; del\; ^N\; de\; N\; \backslash \; del\; sum\_\; \{i=1\}\; ^2\}\; \{N\; (N-1)\}\}.$

El considera también los algoritmos para la variación calculadora .

Ver también