En la álgebra, un determinante es una función dependiendo del n que asocia un escalar, det ( A ), a cada cuadrado A de la matriz n del × del n . El significado geométrico fundamental de un determinante está como el factor de posicionamiento para el volumen cuando el A se mira como transformación linear . Los determinantes son importantes ambos en el cálculo, donde incorporan la regla de la substitución para varias variables, y en la álgebra multilinear .

Para un positivo fijo n del número entero, hay una función determinante única para las matrices del n del × del n sobre cualquier R del anillo comutativo . Particularmente, esta función existe cuando el R es el campo los números complejos verdaderos de o

Notación de la barra vertical

El determinante de un A de la matriz también se denota a veces cerca | A |. Esta notación puede ser ambigua puesto que también se utiliza para ciertas normas de la matriz y para el valor absoluto . Sin embargo, la norma de la matriz será denotada con las barras verticales dobles (e., ‖ del A del ‖) y puede a menudo llevar un subíndice también. Así, la notación de la barra vertical para el determinante se utiliza con frecuencia (e., la regla de Cramer y los menores de edad . Por ejemplo, para el $del\; de\; la\; matriz\; A\; =\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; a\; y\; b\; y\; c\; \backslash \; \backslash \; d\; y\; e\; y\; f\; \backslash \; \backslash \; g\; y\; h\; y\; i\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash ,\; del\; bmatrix$ el $\backslash \; el\; det\; determinantes\; (A)$ se pudo indicar por el $|A|$ o más explícitamente como $del\; |A|\; =\; \backslash \; comenzar\; \{vmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; g\; y\; h\; y\; i\; \backslash \; extremo\; \{vmatrix\}\; de\; d\; de\; a\; y\; de\; b\; y\; de\; c\; y\; de\; e\; y\; de\; f.\; \backslash ,$ Es decir, los apoyos cuadrados alrededor de las matrices se substituyen por las barras verticales alargadas.

Determinantes de 2 matrices by-2

El 2× $del\; de\; 2\; matrices\; A\; =\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; a\; y\; b\; \backslash \; \backslash \; c\; y\; d\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash ,\; del\; bmatrix$

tiene el $\backslash \; det\; determinantes\; (A)=ad-bc\; del\; .\; \backslash ,$

La interpretación cuando la matriz tiene entradas del número verdadero es que ésta da el área orientada del paralelogramo con cimas en (0.0), ( un, el b ), ( + el c, el b + el d ), y (el c, el d ). El área orientada es igual que el área generalmente, salvo que es negativa cuando las cimas se enumeran en orden a la derecha.

Una fórmula para matrices más grandes será dada abajo.

Determinantes de 3 matrices by-3

El 3× matriz 3: el Usar la extensión del cofactor en la primera fila de la matriz conseguimos: el

cuál se puede recordar como la suma de los productos de la diagonal tres del noroeste a las líneas surorientales de elementos de matriz, menos la suma de los productos de la diagonal tres south-west a las líneas de nordeste de elementos cuando las copias de las primeras dos columnas de la matriz se escriben al lado de ella como abajo:

$\backslash \; comenzar\; \{la\; matriz\}\; \backslash \; color\; a\; \{azul\}\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; color\; de\; c\; \{azul\}\; del\; color\; b\; \{azul\}\; y\; de\; a\; y\; de\; b\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; color\; e\; \{azul\}\; de\; d\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; color\; de\; d\; \{azul\}\; del\; color\; f\; \{azul\}\; y\; de\; e\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; color\; i\; \{azul\}\; de\; g\; y\; de\; h\; y\; \backslash \; y\; \{azul\}\; \backslash \; color\; h\; \{azul\}\; de\; g\; del\; color\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; -\; \backslash \; patio\; del\; patio\; \backslash \; comenzar\; \{la\; matriz\}\; a\; y\; b\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; color\; a\; \{roja\}\; del\; color\; c\; \{roja\}\; y\; \backslash \; del\; color\; b\; \{rojo\}\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; color\; e\; \{roja\}\; de\; d\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; color\; de\; d\; \{roja\}\; del\; color\; f\; \{roja\}\; y\; de\; e\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; color\; g\; \{rojo\}\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; color\; i\; y\; g\; y\; h\; \{rojos\}\; del\; color\; h\; \{rojo\}\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}$

Observar que esta mnemónica no transporta en dimensiones más altas.

Usos

Los determinantes se utilizan para caracterizar las matrices inversibles (es decir, exactamente esas matrices con determinantes diferentes a cero), y para describir explícitamente la solución a un sistema de las ecuaciones lineares con la regla de Cramer. Pueden ser utilizados para encontrar los valores propios de la matriz $A$ a través del $p\; característico\; del\; del\; polinomio\; (x)\; =\; \backslash \; det\; (XI\; -\; A)\; \backslash ,$

donde está la matriz el I de identidad de la misma dimensión que el A .

Uno piensa a menudo en el determinante como asignación de un número a cada secuencia de vectores de $n$ en el $\backslash \; Bbb\; \{R\}\; ^n$, usando la matriz cuadrada cuyas columnas son dados vectors. Con esta comprensión, la muestra del determinante de una base se puede utilizar para definir la noción de la orientación en los espacios euclidianos que el determinante de un sistema de vectores es el positivo si los vectores forman un sistema coordinado derecho, y negativa si es zurdo.

Los determinantes se utilizan para calcular los volúmenes en el cálculo del vector: el valor absoluto del determinante de vectores verdaderos es igual al volumen del paralelepípedo atravesado por esos vectores. Por consiguiente, si el $f\; linear\; del\; mapa\; :\; \backslash \; El\; ^n\; \backslash \; el\; rightarrow\; \backslash \; Bbb\; de\; Bbb\; \{R\}\; \{R\}\; ^n$ es representado por la matriz $A$, y $S$ es cualquier subconjunto mensurable del $\backslash \; de\; Bbb\; \{R\}\; ^n$, después el volumen de $f$ es dado por el $\backslash \; se\; fue|\; \backslash \; det\; (A)\; \backslash \; derecho|\; \backslash \; épocas\; \backslash \; operatorname\; \{volumen\}\; (S)$. Más generalmente, si el $f\; linear\; del\; mapa:\; \backslash \; El\; ^n\; \backslash \; el\; rightarrow\; \backslash \; Bbb\; de\; Bbb\; \{R\}\; \{R\}\; ^m$ es representado por la matriz $A$ de $m$-by-$n$, y $S$ es cualquier subconjunto mensurable del $\backslash \; del\; ^\; de\; Bbb\; \{R\}\; \{n\}$, después el volumen dimensional de $n$- de $f$ es dado por el $\backslash raíz\; cuadrada\{\backslash \; det\; (A^\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; A)\}\; \backslash \; épocas\; \backslash \; operatorname\; \{volumen\}\; (S)$. Calculando el volumen del tetraedro limitó por cuatro puntos, él se puede utilizar para identificar las líneas oblicuas

El volumen de cualquier tetraedro, dado sus cimas el un, el b, el c, y el d, es (1/6)·|det ( un   de ; −   b,     del b ; −   c,   del c ; −   d )|, o cualquie otra combinación de pares de cimas que forman un gráfico simplemente conectado .

Definición y cómputo generales

La definición del determinante viene del teorema siguiente. dejan el n ( K ) del _{del M denotan el sistema de todo el $n\; \backslash \; matrices\; de\; las\; épocas\; n$ sobre el K del campo. Existe exactamente una función}

$F\; :\; M\_n\; (K)\; \backslash \; longrightarrow\; K$

con las dos características:
el

$F$ es que alterna el multilinear de con respecto a columnas;
$F\; (I)\; =\; 1$.

Uno puede entonces definir el determinante como la función única con las características antedichas.

En probar el teorema antedicho, uno también obtiene la fórmula de Leibniz:

$\backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; en\}\; \backslash \; sgn\; (\backslash \; sigma)\; \backslash \; ^n\; A\_\; \{,\; \backslash \; sigma\; (i)\; de\; S\_n\; del\; prod\_\; \{i=1\}\; de\; i\}.$

Aquí la suma se computa sobre todo el $\backslash \; sigma$ de las permutaciones de los números {1.2,…, n } y el $\backslash \; el\; sgn\; (\backslash \; sigma)$ denota la firma del $\backslash \; sigma$ de la permutación: +1 si el $\backslash \; sigma$ es una permutación incluso y − 1 si es el impar.

¡Esta fórmula contiene el $n!\; los\; summands\; de$ ( factorial), y es por lo tanto imprácticos utilizarla para calcular los determinantes para $n$ grande.

Para las pequeñas matrices, una obtiene las fórmulas siguientes:

si $A$ es una 1 matriz by-1, entonces $\backslash \; det\; (A)\; =\; A\_\; \{1.\; \backslash ,$

si $A$ es una matriz 2 by-2, entonces $\backslash \; det\; (A)\; =\; A\_\; \{1.\; \backslash ,$
el

para 3 by-3 una matriz $A$, la fórmula es más complicado:

$\backslash \; comenzar\; \{la\; matriz\}\; \backslash \; det\; (A)\; y\; =\; y\; A\_\; \{1.\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash ,\; de\; la\; matriz$ cuál toma la forma del esquema del Sarrus.

Los determinantes se pueden computar generalmente usar la eliminación gausiana usar las reglas siguientes:
Si $A$ es triangular matriz, es decir $A\_\; \{i,\; j\}\; =\; 0\; \backslash ,$ siempre que $i\; >\; j$ o, alternativo, siempre que , entonces $\backslash \; det\; (A)\; =\; A\_\; \{1.2\}\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{n,\}\; \backslash ,\; de\; n$ (el producto de las entradas diagonales de $A$).
Si resultados de $B$ de $A$ intercambiando dos filas o columnas, entonces $\backslash \; det\; (B)\; =\; -\; \backslash \; det\; (A).\; \backslash ,$
Si resultados de $B$ de $A$ multiplicando una fila o columna con el número $c$, entonces $\backslash \; det\; (B)\; =\; c\; \backslash ,\; \backslash \; det\; (A).\; \backslash ,$
Si $B$ resulta de $A$ agregando un múltiplo de una fila a otra fila, o de un múltiplo de una columna a otra columna, entonces $\backslash \; det\; (B)\; =\; \backslash \; det\; (A).\; \backslash ,$

Explícitamente, comenzando con una cierta matriz, utilizar las tres reglas pasadas para convertirla en una matriz triangular, después utilizar la primera regla para computar su determinante.

Es también posible ampliar un determinante a lo largo de una fila o la columna usar la fórmula de Laplace, que es eficiente para las matrices relativamente pequeñas. Para hacer esto a lo largo de la fila $i$, say, que escribimos $\backslash \; det\; del$

l (A) = \ ^n A_ {i, j} del sum_ {j=1} C_ {i, j} = \ ^ de A_ del ^n del sum_ {j=1} {i, j} (- 1) {i+j} M_ {i, j}

donde el $C\_\; \{i,\; j\}$ representa el $C\_\; de\; los\; cofactores\; de\; la\; matriz\; esdecir\{i,\; j\}$ es tiempos del ^ del $(-\; 1)\; \{i+j\}$ el $M\_\; de\; menor\; importancia\; \{i,\; j\}$, que es el determinante de la matriz que resulta de $A$ quitando la fila de $i$-th y la columna de $j$-th.

Ejemplo

Suponer que queremos computar el determinante de el $A\; del$

l = \ comienza {bmatrix} - 2&2&-3 \ \ de -1& 1& 3 \ \ 2 &0 &-1 \ extremo {bmatrix}.

Podemos continuar y utilizar la fórmula de Leibniz directo:

Características

El determinante es un mapa multiplicativo del en el sentido que = \ det del $\backslash \; del\; det\; del\; (AB)\; (A)\; \backslash \; det\; (B)\; \backslash ,$ para todo el n - por las matrices $A$ del n y $B$. Esto es generalizada por la fórmula de Cauchy-Binet a los productos de las matrices del no-cuadrado.

Es fácil ver ese $\backslash \; det\; (rI\_n)\; =\; r^n\; \backslash ,\; el$ del$$
de y así del
\ = \ det (rI_n \ cdot A) = r^n \ det del det (rA) (A) \, para todas las matrices $A$ de $n$-by-$n$ y todos los escalares $r$.

Una matriz sobre un R del anillo comutativo es inversible si y solamente si su determinante es una unidad en el R . Particularmente, si el A es una matriz sobre un campo tal como el los números complejos verdaderos de o entonces el A es inversible si y solamente si el det ( A ) no es cero. En este caso tenemos = \ det (A)^ del $\backslash \; del\; det\; del$

l (A^ {- 1}) {- 1}. \,

Expresado diferentemente: el v ₁ de los vectores,…, n del _{del v en forma del n del ^{del R una base si y solamente si el det ( v 1,…, n}} del _{del v ) es diferente a cero.}

Una matriz y su transportan tienen el mismo determinante: = del $\backslash \; del\; det\; del\; (A^\; \backslash \; mathrm\; \{T\})\; \backslash \; det\; (A).\; \backslash ,$

Los determinantes de una matriz compleja y de su conjugación transporta es el conyugal: = \ det (A)^* del $\backslash \; del\; det\; del\; (A^*).\; \backslash ,$ (Observar la conjugación transportan es idéntico a la transposición para una matriz verdadera)

El determinante de una matriz $A$ exhibe las características siguientes bajo transformaciones elementales de la matriz de $A$:

que intercambia filas o columnas multiplica el determinante por − 1.

Multiplicar una fila o una columna por $m$ multiplica el determinante por $m$.

El adición de un múltiplo de una fila o de la columna a otro sale del determinante sin cambios.

Esto sigue de la característica multiplicativa y de los determinantes de las matrices elementales de la transformación de la matriz.

Si $A$ y $B$ son el similar, es decir, si existe una matriz inversible $X$ tales que $A$ = el $X^\; \{-\; 1\}\; B\; X$, entonces por la característica multiplicativa, $\backslash \; det\; del$

l (A) = \ det (B). \,

Esto significa que el determinante es una semejanza invariante. Debido a esto, el determinante de un cierto linear T de la transformación: El V del → del V para un cierto dimensional finito V del espacio de vector es independiente de la base para el V . La relación es unidireccional, al menos: existen las matrices que tienen el mismo determinante pero no son similar.

Si $A$ es una matriz del cuadrado $n$-by-$n$ con el las entradas complejas verdaderas de o y si λ₁,…, el n del λ _{es los valores propios (del complejo) de $A$ enumerado según sus multiplicities algebraicos, entonces}

$\backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; lambda\_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; lambda\_\; \{n\}.\; \backslash ,$

Esto sigue del hecho de que $A$ es siempre similar a su forma normal de Jordania, una matriz triangular superior con los valores propios en la diagonal principal.

Relación al rastro

De esta conexión entre el determinante y los valores propios, uno puede derivar una conexión entre la función del rastro, la función exponencial, y el determinante: $\backslash \; det\; del$

l = \ exp (\ exp (A)) (\ operatorname {tr} (a)).

Ejecución del $\backslash \; del\; scriptstyle\; A\; de\; la\; substitución\; \backslash ,\; \backslash \; mapsto\; \backslash ,\; \backslash \; registro\; A$ en las producciones antedichas de la ecuación $\backslash \; det\; del$

l (A) = \ exp (\, \ del operatorname {tr} (\ registro A))

cuál es estrechamente vinculado al Fredholm determinante. Semejantemente, = \ registro del $\backslash \; del\; operatorname\; del$

l {tr} (a) (\ det (\ exp A)). \

Para el n - por matrices del n hay las relaciones: n del caso del

l = 1: $\backslash \; ido.\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (a)\; \backslash \; right.$ n del caso del

l = 2: $\backslash \; ido.\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; dejados\; (\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A)^2\; -\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A^2)\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; right.$ n del caso del

l = 3: $\backslash \; ido.\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\; \backslash \; dejados\; (\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A)^3\; -\; 3\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (a)\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A^2)\; +\; 2\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A^3)\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; right.$ n del caso del

l = 4: $\backslash \; ido.\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{24\}\; \backslash \; dejados\; (\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A)^4\; -\; 6\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A)^2\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A^2)\; +\; 3\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A^2)^2\; +\; 8\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (a)\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A^3)\; -\; 6\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A^4)\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; right.$ $\backslash \; ldots$ del

l

cuáles son estrechamente vinculados a las identidades de Newton.

Derivado

El determinante de matrices cuadradas verdaderas es una función polinómica del $\backslash \; del\; ^\; de\; Bbb\; \{R\}\; \{n\; \backslash \; épocas\; n\}$ al $\backslash \; a\; Bbb\; \{R\}$, y pues tal está por todas partes el diferenciable. Su derivado se puede expresar usar la fórmula de Jacobi: $d\; \backslash ,\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\backslash \; operatorname\; \{ajuste\}\; (a)\; \backslash ,\; DA)\; del$

l

donde el ajuste ( A ) denota el Adjugate del A . Particularmente, si el A es inversible, tenemos $d\; del\; \backslash ,\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; det\; (A)\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A^\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\; DA).$

En forma componente, éstos son $del\; \backslash \; el\; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; det\; (A)\}\; \{\backslash \; A\_\; parcial\; \{ij\}\}$

\ _ del operatorname {ajuste} (A) {ji}

\ _ del det (A) (A^ {- 1}) {ji}.

Cuando el $\backslash \; epsilon$ es un pequeño número éstos son equivalentes al $\backslash \; al\; det\; del\; (A\; +\; \backslash \; -\; \backslash \; det\; del\; épsilon\; X)\; (A)$

\ operatorname {tr} (\ operatorname {ajuste} (a) X) \ épsilon + {O} (\ epsilon^2)

\ det (A) \, \ operatorname {tr} (A^ {- 1} X) \ épsilon + {O} (\ epsilon^2).

El caso especial donde está igual $A$ a la matriz de identidad $I$ rinde $del$

l \ det (I + \ épsilon X) = 1 + \ operatorname {tr} (x) \ +O épsilon (\ epsilon^2).

Una característica útil en el caso de 3 x 3 matrices es la siguiente:

A puede estar escrito como $A\; =\; \backslash \; comienzan\; \{bmatrix\}\; \backslash \; barra\; \{a\}\; y\; \backslash \; barra\; \{b\}\; y\; \backslash \; barra\; \{\}\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$ de c donde están vectores el $\backslash \; la\; barra\; \{a\}$, $\backslash \; barra\; \{b\}$, $\backslash \; barra\; \{c\}$, después el gradiente sobre uno de los tres vectores se puede escribir como el producto cruzado de los otros dos:

$\backslash \; nabla\_\; \backslash \; barra\; \{a\}\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; barra\; \{b\}\; \backslash \; época\; \backslash \; barra\; \{c\}$
$\backslash \; nabla\_\; \backslash \; barra\; \{b\}\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \backslash \; barra\; \{c\}\; \backslash \; época\; \backslash \; barra\; \{a\}$
$\backslash \; nabla\_\; \backslash \; barra\; \{\}\; \backslash \; det\; de\; c\; (A)\; =\; \backslash \; barra\; \{a\}\; \backslash \; épocas\; \backslash \; barra\; \{b\}$

Formulación abstracta

× del n un ; el A de la matriz cuadrada del n se puede pensar en como la representación coordinada de una transformación linear de un n - dimensional V del espacio de vector . Dado cualquie $A\; linear\; del\; de\; la\; transformación:\; V\; \backslash \; a\; V\; \backslash ,$ podemos definir el determinante del A como el determinante de cualquier representación de matriz del A . Esto es una noción bien definida (es decir independiente de una opción de la base ) puesto que el determinante es invariante bajo transformaciones de la semejanza.

Pues uno pudo esperar, es posible definir el determinante de una transformación linear de una manera coordinar-libre. Si el V es un n - espacio de vector dimensional, después uno puede construir su &Lambda exterior de la energía superior; V del n del ^{. Éste es un espacio de vector unidimensional cuyos elementos se escriben el
$v\_1\; \backslash \; cuña\; v\_2\; \backslash \; cuña\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cuña\; v\_n$ del
donde está un vector cada i del _{del v en el V y el &and del producto de cuña ; es antisimétrico (es decir, &and del u ; u = 0). Cualquie linear A de la transformación: &rarr del V ; El V induce una transformación linear del Λ V del n}} del ^{como sigue:
$v\_1\; \backslash \; cuña\; v\_2\; \backslash \; cuña\; \backslash \; cdots\; \backslash \; v\_n\; de\; la\; cuña\; \backslash \; mapsto\; Av\_1\; \backslash \; cuña\; Av\_2\; \backslash \; cuña\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cuña\; Av\_n.$ del
Desde Λ el V del n} del ^{es unidimensional esta operación es apenas multiplicación por un cierto escalar que dependa del A . Este escalar se llama el determinante del A . Es decir, definimos el det ( A ) por el
$Av\_1\; \backslash \; cuña\; Av\_2\; \backslash \; cuña\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cuña\; Av\_n\; del$
de la ecuación = (\ det A) \, v_1 \ cuña v_2 \ cuña \ cdots \ cuña v_n. Uno puede comprobar que esta definición conviene con la definición coordinar-dependiente dada arriba.}

Puesta en práctica algorítmica

el método ingenuo de ejecutar de un algoritmo para computar el determinante es utilizar la fórmula de Laplace para la extensión por los cofactores. ¡Este acercamiento es extremadamente ineficaz generalmente sin embargo, pues es n de la orden ! ( factorial del n ) para los × del n un ; M de la matriz del n .
Una mejora para pedir el n ³ puede ser alcanzada usando la descomposición del LU para escribir el   del M ; =  LU para el L de las matrices triangulares y el U . Ahora, el M del det = el LU del det = el L U del det del det de, y puesto que el L y el U son triangulares el determinante de cada uno es simplemente el producto de sus elementos diagonales. Alternativo uno puede realizar la descomposición de Cholesky si es posible o la descomposición QR y encuentra el determinante en una manera similar.
Puesto que la definición del determinante no necesita las divisiones, una pregunta se presenta: ¿ayunan los algoritmos existieron que no necesitan las divisiones? Esto es especialmente interesante para las matrices sobre los anillos. Los algoritmos con proporcional run-time al n ⁴ existen de hecho. Un algoritmo de Mahajan y de Vinay, y Berkowitz se basa en las caminatas pedidas cerradas (clow corto del ). Computa más productos que la definición determinante requiere, pero algunos de estos productos cancelan y la suma de estos productos se puede computar más eficientemente. El algoritmo final parece mucho un producto iterado de matrices triangulares.
Qué no se discute a menudo es el " supuesto; complexity" del pedacito; del problema, es decir cuántos pedacitos de exactitud usted necesita almacenar para los valores intermedios. Por ejemplo, usar la eliminación gausiana, usted puede reducir la matriz a la forma triangular superior, después multiplica la diagonal principal para conseguir el determinante (éste es esencialmente un caso especial de la descomposición del LU como arriba), pero un cálculo rápido demostrará que el tamaño de pedacito de valores intermedios podría potencialmente llegar a ser exponencial. Uno podría hablar cuando es apropiado a los valores intermedios redondos, pero una manera elegante de calcular el determinante utiliza el algoritmo, un método de Bareiss de la exacto-división basado en la identidad de Sylvester para dar un tiempo de pasada del n ³ de la orden y mordió complejidad áspero el tamaño de pedacito de las entradas originales en los tiempos N.

Historia

Históricamente, los determinantes eran considerados antes de matrices. Original, un determinante fue definido como característica de un sistema de las ecuaciones lineares . El " determinante; determines" si el sistema tiene una solución única (que ocurra exacto si el determinante es diferente a cero). En este sentido, los determinantes primero fueron utilizados en el chino del del libro de textos de la matemáticas del siglo III A. los nueve capítulos en el arte matemático . En Europa, dos-por-dos determinantes eran considerados por el Cardano en el final del siglo XVI y los más grandes por el Leibniz y el Seki cerca de 100 años más tarde. El Cramer (1750) agregó a la teoría, tratando el tema en lo referente a sistemas de ecuaciones. La ley recurrente primero fue anunciada por el Bezout (1764).

Era el Vandermonde (1771) que el primer reconoció determinantes como funciones independientes. El Laplace (1772) dio el método general de ampliar un determinante en términos de su los menores de edad complementarios Vandermonde habían dado ya a caso especial. Inmediatamente después de, Lagrange (1773) tratado determinantes de la segunda y tercera orden. Lagrange era el primer para aplicar determinantes a las preguntas fuera de la teoría de la eliminación; él probó muchos casos especiales de identidades generales.

El gauss (1801) hizo el avance siguiente. Como Lagrange, él hizo mucho uso de determinantes en la teoría de los números . Él introdujo los determinantes de la palabra (Laplace había utilizado el resultante), aunque no en el actual significado, sino algo en relación al discriminante de un quantic. El gauss también llegó la noción de determinantes (inversos) recíprocos, y vino muy cerca del teorema de la multiplicación.

El contribuidor siguiente de la importancia es el Binet (1811, 1812), que formalmente indicó el teorema referente al producto de dos matrices de $m$ columnas y filas de $n$, que para el caso especial del $m\; =\; de\; n$ reduce al teorema de la multiplicación. En el mismo día (30 de noviembre de 1812) eso Binet presentó su papel a la academia, Cauchy también presentó uno en el tema. (Véase la fórmula de Cauchy-Binet.) En esto él utilizó el determinante del de la palabra en su actual sentido, resumido y simplificado qué entonces era sabida en el tema, mejorado la notación, y dio el teorema de la multiplicación con una prueba más satisfactoria que Binet.

Zenithic

Mieczysław Janowski

Random links:

Volver a dirigir la examinación | Roberto Moses | anafilasis Ejercicio-inducida | Partido conservador de Nueva York | Aden Meinel