El Johnston diagrams, que parecen similares al Euler o los diagramas de Venn ilustra la lógica proposicional formal de una manera visual. Son lógicamente equivalentes a las tablas de verdad ; algunos pueden encontrarlos más fáciles entender de un vistazo. Sobreponiendo un diagrama de Johnston en otro, las deducciones se pueden hacer de sistemas de asuntos.

Suponer que está deseado para componer las declaraciones lógicas que describen el estado actual de sucesos actuales en el mundo (o quizás sobre situaciones imaginarias en un mundo imaginario ). Dejar el sistema universal contener (como elementos) todos los estados posibles en los cuales el mundo pudo encontrar sí mismo. Solamente uno de una variedad (quizás infinito) de elementos representa el estado real del mundo. El resto de los elementos representan los estados alternativos del &mdash del mundo; " Quot posible de los mundos ;. Así, el sistema universal representa el espacio de todas las posibilidades lógicas.

Entonces, el objetivo de una declaración lógica debe ser decir algo sobre el estado del mundo real. La manera esto será &mdash hecho; usar Johnston diagrams el — es ennegrecer hacia fuera las regiones del sistema universal que contienen los elementos que representan los estados alternativos del mundo que no podría posiblemente ser el estado del mundo real.

Las regiones negras en un diagrama de Johnston son tan " regiones de impossibility", mientras que las regiones blancas son " regiones de possibility": uno (y solamente uno) de los elementos en las regiones de posibilidad describe el " world" como está realmente. El objetivo es enangostar abajo la región de posibilidad tanto cuanto sea posible, hasta un monopunto que describa realidad.

Dejar el sistema universal ser representado por un rectángulo . Comenzar dibujando una curva cerrada (e. un círculo ) dentro del sistema universal. El círculo separa el sistema universal en un par de regiones. Dejar el círculo ser llamado el A . Los puntos dentro o en del círculo son miembros del A ; los puntos fuera del círculo no son miembros del A, sino son miembros del $\backslash \; de\; la\; barra\; \{A\}$, el complemento A .

Ahora dejar la región del complemento del A ser ennegrecido hacia fuera (véase el cuadro 1). diagrama del

l de Johnston que representa el " de la declaración; A es true".

Entonces la región de posibilidad ha llegado a ser equivalente al A del sistema, así que el cuadro 1 es un diagrama de Johnston que representa el proposicional A de la declaración.

Pero si, en lugar, la región dentro del A se ennegrece y la región afuera que blanqueó, después la región de posibilidad ser equivalente al complemento del A (véase que el cuadro 2) y el diagrama representarán el $\backslash \; el\; neg\; proposicionales\; A$ de la declaración: " no A". diagrama del

l de Johnston que representa el " de la declaración; A no es true".

Dibujar otro &mdash del círculo; intersección del primer &mdash del círculo; y llamarlo el B . El interior de los puntos este segundo círculo es miembros del B, y los puntos afuera es miembros del $\backslash \; de\; la\; barra\; \{B\}$.

Si la región dentro del B se blanquea y la región afuera se ennegrece (véase el cuadro 3), el diagrama resultante es equivalente al B de la declaración, cuadro 3. diagrama del

l de Johnston que representa la declaración: " B es true".

pero si la región dentro del B se ennegrece y la región afuera se blanquea (véase el cuadro 4), el diagrama resultante es equivalente al $\backslash \; al\; neg\; B$ (" de la declaración; no B"). diagrama del

l de Johnston que representa la declaración: " B no es true".

Un par de declaraciones se puede combinar por medio lógico Y del operador . Para combinar un par de diagramas de Johnston usar Y operador, sobreponerlos de modo que los elementos (puntos) esos terminen para arriba encima de uno a (en la superposición) sean idénticamente equivalente y representen el mismo estado posible del mundo.

Entonces ennegrecer hacia fuera el diagrama combinado como sigue: si un punto pertenece al espacio de la imposibilidad de por lo menos una de las dos declaraciones componentes, después pertenece al espacio de la imposibilidad de ambas declaraciones. Así pues, combinando figura que 1 y 3 por medio de Y de operador presenta el cuadro 5, equivalente al $proposicional\; A\; \backslash \; cuña\; B$ (" de la declaración; A y B"), y figura que el espacio de 5 posibilidades es el $A\; \backslash \; casquillo\; B$ (" del sistema; Una intersección B"). diagrama del

l de Johnston que representa la declaración: " A y B son true."

Un par de declaraciones se puede también combinar por medio lógico O del operador . Para hacer así pues, sobreponer sus diagramas de Johnston, y ennegrecer hacia fuera los diagramas combinados como sigue: si un punto pertenece a los espacios de la imposibilidad de ambos diagramas componentes, después pertenece al espacio de la imposibilidad del diagrama combinado. Si no, si pertenece por lo menos a un espacio componente de la posibilidad, después él pertenece al espacio combinado de la posibilidad.

Así pues, combinando figura que 1 y 3 por medio de O de operador presenta el cuadro 6, equivalente al $proposicional\; A\; \backslash \; uve\; B$ (" de la declaración; A o B"), y figura que el espacio de 6 posibilidades es el $A\; \backslash \; taza\; B$ (" del sistema; Una unión B"). diagrama del

l de Johnston que representa la declaración: " A o B es true." (A o B (o ambos) son verdad.)

Es también posible aplicar a operador lógico NO a un diagrama de Johnston para obtener su negación . Para hacer así pues, intercambiar los espacios de la posibilidad y de la imposibilidad del diagrama dado. Este significa blanquear regiones negras mientras que simultáneamente ennegrece las regiones blancas. El diagrama resultante representará una declaración que niegue la declaración representada por el diagrama original.

Como ejemplo, la aplicación NO del operador para figura 1 rinde el cuadro 2: el A de la declaración se convierte en $de\; la\; declaración\; \backslash \; el\; neg\; A$. Otro ejemplo es aplicarse NO operador figura 6, obteniendo cuadro 7 cuyo imposibilidad espacio es sistema $A\; \backslash \; taza\; B$ y cuyo imposibilidad espacio es sistema $\backslash \; overline\; \{A\; \backslash \; taza\; B\}\; =\; \backslash \; barra\; \{\}\; \backslash \; casquillo\; \backslash \; barra\; \{B\}$ de A, y que representa el $de\; la\; declaración\; \backslash \; el\; neg\; lógicos\; (A\; \backslash \; la\; uve\; B)$ que es &mdash equivalente; debido al &mdash de la ley de De Morgan ; al $\backslash \; al\; neg\; A\; de\; la\; declaración\; \backslash \; acuñar\; \backslash \; el\; neg\; B$ (" no A y no B"). diagrama del

l de Johnston que representa el " de la declaración; Ni A ni B es true".

Notar que el cuadro 7 puede también ser obtenido combinando los cuadros 2 y 4 por medio del Y del operador.

El A de las declaraciones y el B se pueden también combinar para formar el $A\; \backslash \; rightarrow\; B$ (" de la declaración; A implica B"). Para representar esto con Johnston diagrama, dejar su posibilidad espacio ser equivalente a sistema $\backslash \; barra\; \{\}\; \backslash \; taza\; B$ de A. Así, el $A\; \backslash \; rightarrow\; B$ de la declaración puede ser representado combinando los cuadros 2 y 3 por medio del O del operador. El resultado se demuestra en el cuadro 8, viz cuadro 8. diagrama del

l de Johnston que representa el " de la declaración; A implica B" o " si A entonces B" o " A es verdad solamente si B es true."

Mirando el cuadro 8 uno puede ver claramente que SI el estado real del mundo es descrito por un miembro del A del sistema, DESPUÉS este miembro también pertenece al B (el " del sistema; world" real; puede mentir solamente dentro del espacio de la posibilidad demostrado en blanco).

Semejantemente, el A de las declaraciones y el B se pueden combinar para formar el $B\; \backslash \; rightarrow\; A$ (" de la declaración; B implica A"). Johnston diagrama para este declaración debe tener posibilidad espacio equivalente a sistema $\backslash \; barra\; \{\}\; \backslash \; taza\; A$ de B. Así, el $B\; \backslash \; rightarrow\; A$ de la declaración puede ser representado combinando los cuadros 4 y 1 por medio del O del operador. El resultado se demuestra en el cuadro 9, viz cuadro 9. diagrama del

l de Johnston que representa el " de la declaración; B implica A" o " si B entonces A" o " A es verdad si B es true."

Alternativo, el sistema en el cuadro 9 se puede expresar como el $\backslash \; overline\; \{B\; -\; A\}$: el complemento de la substracción del A del B .

Finalmente, los pares de $A\; \backslash \; rightarrow\; B$ de las declaraciones y de $B\; \backslash \; rightarrow\; A$ se pueden combinar en el solo $A\; \backslash \; leftrightarrow\; B$ (" de la declaración; Si y solamente si B"). El diagrama correspondiente de Johnston puede ser formado combinando los cuadros 8 y 9 por medio del Y del operador, dando por resultado el cuadro 10, viz cuadro 10. diagrama del

l de Johnston que representa el " de la declaración; A es verdad si y solamente si B es true" o " A es equivalente a B".

El espacio de la posibilidad de este diagrama de Johnston es el $del\; del\; sistema\; (\backslash \; el\; barra\; \{A\}\; \backslash \; taza\; B)\; \backslash \; casquillo\; (\backslash \; el\; barra\; \{B\}\; \backslash \; taza\; A)\; =\; (A\; \backslash \; casquillo\; B)\; \backslash \; taza\; (\backslash \; el\; barra\; \{\}\; \backslash \; casquillo\; \backslash \; barra\; \{B\}\; de\; A),$
de o, equivalente, sistema


$\backslash \; overline\; \{A\; -\}\; \backslash \; =\; \backslash \; overline\; \{A\; \backslash ,\; \backslash \; delta\; \backslash ,\; B\}\; del\; casquillo\; de\; B\; \backslash \; del\; overline\; \{B\; -\; A\},$
i. el complemento de la diferencia simétrica entre el A y el B .

Entonces hay dos casos relativamente triviales: la tautología y la contradicción . La tautología es la declaración cuyo diagrama de Johnston no tiene ninguna región negra de imposibilidad: es todo el blanco, y su región de posibilidad es equivalente al sistema universal. Cada axioma de la lógica debe necesario ser una tautología. Una tautología no dice cualquier cosa sobre el estado del mundo real, porque las tautologías son verdades en todo el &mdash posible de los mundos; alternativas reales y las todas sus. No dice nada sobre la situación contingente en el mundo real. Las tautologías son evidentes en sí (los axiomas) o pueden ser deducidas (como teoremas de otras tautologías. Así, todas las tautologías pueden ser el deducido a priori, pero el estado contingente del mundo real puede solamente ser el obtenido a posteriori con la observación.

Un ejemplo de una tautología puede ser obtenido combinando los cuadros 1 y 2 por medio del O del operador (véase el cuadro 11). cuadro 11 diagrama del

l de Johnston que representa el " de la declaración; O A es verdad o A no es true."

Esto corresponde al axioma del $(clásico)\; A\; \backslash \; uve\; \backslash \; neg\; A$ (" del cálculo proposicional; A o no A"), que se llama el datur (" del tertium del no; un tercero no es given").

Por una parte, la contradicción es la declaración cuyo diagrama de Johnston es todo negro: su región de la imposibilidad es equivalente al sistema universal, y su región de la posibilidad es el sistema vacío. Una contradicción dice demasiado. De hecho, una contradicción es la mayoría una puede decir nunca: una contradicción ANDed a cualquier otra declaración produce una contradicción, pero puede nunca ser verdad, porque existe el mundo, y tiene un estado, que es su estado real. Por lo menos un elemento en el sistema universal debe describir el mundo real, así que la región de posibilidad no puede ser nula.

Una contradicción puede ser obtenida combinando los cuadros 1 y 2 por medio del Y del operador (véase el cuadro 12). Diagrama de Johnston que representa el " contradictorio de la declaración; A es verdad pero A no es true."

Esto corresponde al $contradictorio\; A\; \backslash \; cuña\; \backslash \; neg\; A$ (" de la declaración; A y no A"), que es la negación del $A\; \backslash \; uve\; \backslash \; neg\; A$ de la tautología. La negación de cada tautología es una contradicción. Esto sugiere un método del absurdum de anuncio de Reductio llamado prueba : para probar un teorema, asumir su negación, después demostrar que lleva de alguna manera a la contradicción. Una vez que se ha alcanzado la contradicción, la prueba es finished: bastante dicho.

En resumen, un diagrama de Johnston es una manera de representar declaraciones lógicas (del cálculo proposicional) por medio de sistemas. Así, los operadores lógicos pueden ser transformados en operaciones determinadas, usar la tabla siguiente:

Ver también

.