En las matemáticas, el differintegral es la diferenciación combinada /operador de la integración usado en el cálculo fraccionario . El operador no define una función separada, sino es un estilo de la notación para tomar el derivado fraccionario y el integral fraccionario de la misma expresión. Denotan a este operador aquí $del$

l \ mathbb {D} ^q_t.

Ver la página en el cálculo fraccionario para el contexto general.

Definiciones estándar

Las tres formas mas comunes son:

el
differintegral del
de Riemann-Liouville esto es el más simple y el más fácil utilizar, y por lo tanto es el más de uso frecuente. Es una generalización de la fórmula de Cauchy para la integración repetida a la orden arbitraria.

Las definiciones vía transforman

Recordar el Fourier continuo para transformar, $aquí\; denotado\; \backslash \; \{F\}$ mathcal:

$F\; (\backslash \; Omega)\; =\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash \; \{=\; \backslash \; frac\; de\; f\; (t)\; \backslash \}\; \{1\}\; \{\backslash raíz\; cuadrada\{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; f\; (t)\; e^\; \{-\; i\; \backslash \}\; \backslash ,\; de\; Omega\; t\; despegue$

Usar el Fourier continuo transformar, en el espacio de Fourier, diferenciación transforma en una multiplicación:

$\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash \; se\; fue\; =\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; de\; F\; =\; i\; \backslash \; Omega\; \backslash \; \{F\}$ mathcal

Así pues, $del$

l \ mathbb {D} f (t) = \ mathcal ^ {F} {- 1} \ dejado \ {(i \ Omega) \ mathcal {F} \ derecho \}

cuál generaliza

$\backslash \; mathbb\; \{D\}\; ^qf\; (t)=\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{F\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; dejado\; \backslash \; \{(i\; \backslash \; Omega)\; ^q\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \}.$

Bajo Laplace transformar, aquí denotado por el $\backslash \; \{L\}$ mathcal, diferenciación transforma en una multiplicación

$\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; se\; fue\; =\; s^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathcal\; \{L\}.$

Generalizando a arbitrario orden y solucionando para D^qf (t), uno obtiene

$\backslash \; mathbb\; \{D\}\; ^qf\; (t)=\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; \{s^\; \{-\; q\}\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \}.$

Características formales básicas

La linearidad del gobierna el $\backslash \; el\; ^\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{q\}\; (x+y)=\; del\; de\; \backslash \; el\; ^\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{q\}\; (x)+\; \backslash $ ^\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{q\}\; (y)$\backslash \; =a\; del\; ^\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{q\}\; (hacha)\; \backslash \; el\; ^\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{q\}\; (x)$

$del\; de\; la\; regla\; de\; la\; composición\; del\; (o\; semigrupo\; )\; \backslash \; ^a\; del\; mathbb\; \{D\}\; \backslash \; ^\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{b\}\; x\; =\; \backslash \; ^\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{a+b\}\; x$

$del\; de\; la\; regla\; del\; \backslash \; ^\; cero\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{0\}\; x=x$

$del\; de\; la\; regla\; de\; la\; subclase\; del\; \backslash \; x=d^\; del\; ^\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{a\}\; \{a\}\; x$ para el un un número natural

Regla del producto del del differintegration $del$

l \ ^q_t del mathbb {D} (xy) = \ ^ del sum_ {j=0} {\ infty} {q \ elige j} \ ^j_t del mathbb {D} (x) \ _t del ^ del mathbb {D} {q-j} (y)

Algunas fórmulas básicas

l \ ^ del mathbb {D} {q} (t^n)= \ frac {\ gamma (n+1)} {\ gamma (n+1-q)}$t^\; \{n-q\}$ \ $^\; del\; mathbb\; \{D\}\; \{q\}\; (\backslash \; =\; \backslash \; pecado\; del\; pecado\; (t))\; \backslash \; ido\; (t+\; \backslash \; frac\; \{q\; \backslash \; pi\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)$ \ e^ del =a^ del ^ del mathbb {D} {q} (e^ {en}) {q} {en}

Ver también

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