En las matemáticas, el disco de unidad abierto del alrededor del P (donde está un punto el P dado en el plano ), es el sistema de los puntos cuya distancia del P es menos de 1:

El disco de unidad cerrado alrededor del P es el sistema de los puntos cuya distancia del P es inferior o igual uno: $del$

l \ barra D_1 (P)= \ {Q: |P-Q| \ leq 1 \}. \,

Los discos de unidad son cajas especiales de los discos y de las bolas de unidad

Sin otras especificaciones, el disco de unidad del del término se utiliza para el disco de unidad abierto sobre el origen, $D\_1\; (0)$, con respecto al métrico euclidiano estándar. Es el interior de un círculo del radio 1, centrado en el origen. Este sistema se puede identificar con el sistema de todos los números complejos del valor absoluto menos de uno. Cuando está visto como subconjunto del plano complejo ( C ), el disco de unidad es a menudo $\backslash \; el\; mathbb\; denotados\; \{D\}$.

El disco de unidad abierto, el plano, y la parte superior - media - plano

La función $f\; del$

l (z)= \ frac {z} {1|z|^2}

está un ejemplo de un verdadero función Bijective analítica de y del disco de unidad abierto al plano; su función inversa es también analítica. Considerado como múltiple analítico de 2 dimensiones verdadero, el disco de unidad abierto es por lo tanto isomorfo al plano entero. Particularmente, el disco de unidad abierto es el homeomórfico al plano entero.

No hay sin embargo mapa bijective conformal entre el disco de unidad abierto y el plano. Considerado como Riemann superficial, el disco de unidad abierto es por lo tanto diferente del plano complejo .

Hay mapas bijective conformales entre el disco de unidad abierto y la parte superior abierta - medios - el plano . Considerado tan como superficie de Riemann, el disco de unidad abierto es isomorfo (" biholomorphic", o " conformally equivalent") a la parte superior - media - acepillar, y los dos son de uso frecuente alternativamente.

Mucho más generalmente, el Riemann que traza el teorema indica que cada conectó simplemente el subconjunto abierto del del plano complejo que es diferente del plano complejo sí mismo admite un mapa conformal y bijective al disco de unidad abierto.

Un mapa conformal bijective del disco de unidad abierto a la parte superior abierta - media - plano es la transformación de Möbius $g\; del$

l (z)=i \ frac {z+1} {1-z}

Geométrico, uno puede imaginarse el eje verdadero que es doblado y encogido de modo que la parte superior - a medias - plano se convierta en el disco interior y la circunferencia verdadero las formas del eje del disco, excepto para un punto en la tapa, el " punto en el infinity". Un mapa conformal bijective del disco de unidad abierto a la parte superior abierta - media - plano se puede también construir como la composición de dos proyecciones estereográficas primero que el disco de unidad se proyecta estereográficamente hacia arriba sobre la parte superior de la unidad - mitad - esfera, tomando el " sur-pole" de la esfera de unidad como el centro de la proyección, y entonces de esta mitad-esfera se proyecta de lado sobre un mitad-plano vertical que toca la esfera, tomando el punto en la mitad-esfera frente al punto conmovedor como centro de la proyección.

El disco de unidad y la parte superior - medios - plano no son permutables como dominios para los espacios robustos . El contribuir a esta diferencia es el hecho de que el círculo de unidad tiene medida (unidimensional) finita de Lebesgue mientras que no lo hace la línea verdadera.

Nociones topológicas

Si está considerado como subespacios del plano con su topología estándar, el disco de unidad abierto es un sistema abierto y el disco de unidad cerrado es un sistema cerrado . El límite del disco de unidad abierto o cerrado es el círculo de unidad .

El disco de unidad abierto y el disco de unidad cerrado no son homeomórficos, puesto que este 3ultimo es el compacto y no es el anterior. Sin embargo del punto de vista de la topología algebraica comparten muchas características: ambos ellos son el contractible y así que son Homotopy equivalente a un monopunto. Esto implica que sus grupos fundamentales son triviales, y todos los grupos de la homología son triviales excepto 0o, que es isomorfo al Z . El Euler característico de un punto (y por lo tanto también de el de un disco cerrado o abierto) es 1.

Cada mapa continuo del disco de unidad cerrado al disco de unidad cerrado tiene por lo menos un punto fijo (del no requerimos el mapa ser el Bijective o aún el Surjective); éste es el n =2 del caso del teorema del punto fijo de Brouwer. La declaración es falsa para el disco de unidad abierto: considerar por ejemplo $f\; del$

l (x, y)= \ ido (\ frac {x+ \ raíz cuadrada {1-y^2}} {2}, y \) derecho

qué mapas cada punto del disco de unidad abierto a otro punto del disco de unidad abierto levemente a la derecha dado.

El compactification del Uno-punto del disco de unidad abierto es homeomórfico a una esfera : imaginarse el límite del disco de unidad abierto doblado hacia arriba y encogido, hasta que se encuentre en un punto; esto demuestra que el disco de unidad abierto es homeomórfico a una esfera con el " pole" del norte; falta; agregando que el punto termina la esfera (compacta).

Espacio hiperbólico

El disco de unidad abierto es de uso general como modelo para el plano hiperbólico, introduciendo un nuevo métrico en él, el Poincaré métrico. Usar el mapa conformal antedicho entre el disco de unidad abierto y la parte superior - medios - acepillar, este modelo puede ser dado vuelta en el modelo del mitad-plano de Poincaré del plano hiperbólico. El disco de Poincaré y el mitad-plano de Poincaré son modelos conformales del del espacio hiperbólico, es decir los ángulos medidos en el modelo coinciden con ángulos en espacio hiperbólico, y por lo tanto las formas (pero no los tamaños) de pequeñas figuras se preservan.

Otro modelo del espacio hiperbólico también se emplea el disco de unidad abierto: el Klein modelo. No es conformal, sino tiene la característica que las líneas rectas en el modelo corresponden a las líneas rectas en espacio hiperbólico.

Discos de unidad con respecto a otras métricas

Uno también considera discos de unidad con respecto a otras métricas por ejemplo, con el taxi métrico y el parecer métrico de los discos de Chebyshev cuadrados (aunque las topologías subyacentes son iguales que la euclidiana).

El área del disco de unidad euclidiano es π y su perímetro es 2π. En cambio, el perímetro (concerniente al taxi métrico) del disco de unidad en la geometría del taxi es 8. En el 1932, el Stanislaw Golab probó que en la métrica que se presenta de una norma, el perímetro del disco de unidad puede tomar cualquier valor entre 6 y 8, y que estos valores extremales están obtenidos si y solamente si el disco de unidad es un hexágono regular respectivamente un paralelogramo .

Ver también

Gráfico del disco de unidad

.

Zenithic

Hello, Avalanche

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