En las matemáticas, la discretización se refiere al proceso de transferir modelos y ecuaciones continuos en contrapartes discretas . Este proceso se realiza generalmente en primer lugar hacia la fabricación de ellas convenientes para la evaluación y la puesta en práctica numéricas en las calculadoras numéricas. Para ser procesado en una calculadora numérica otra cuantificación nombrada de proceso es esencial.
discretización de Euler
asimiento de la Cero-orden

La discretización también se relaciona con las matemáticas discretas, y es un componente importante computacional granular. En este contexto, la discretización del puede también referir a la modificación de la variable de la granulosidad del de la categoría, como cuando se agregan las variables discretas múltiples o las categorías discretas múltiples están fundidas.

Discretización de los modelos de espacio de estado linear

La discretización también se refiere a la transformación de las ecuaciones diferenciales continuo en las ecuaciones de diferencia discretas, conveniente para el computacional numérico.

El $continuo\; siguiente\; del\; del\; modelo\; de\; espacio\; de\; estado\; \backslash \; =\; \backslash \; +\; del\; mathbf\; A\; del\; punto\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; (t)\; \backslash \; del\; mathbf\; \{x\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\; +\; \backslash \; =\; \backslash \; +\; \backslash \; +\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; (t)$ del mathbf D del mathbf C del $\backslash \; del\; mathbf\; mathbf\; \{v\}\; (t)$ {y} (t) \ del mathbf {x} (t) \ del mathbf {u} (t) donde están continuos el v y el w cero-significar las fuentes de ruido blanco con el $del\; de\; las\; covariaciones\; \backslash \; el\; mathbf\; \{v\}$ del$$
de (t) \ del sim N (0, \ mathbf Q) \ el mathbf {w} (t) \ sim N (0, \ mathbf R) se pueden individualizar, el asimiento asumido de la Cero-orden para el u de la entrada y la integración continua para el v del ruido, a = \ + \ mathbf B_d \ mathbf {u} del mathbf A_d del $\backslash \; del\; mathbf\; del\; \{x\}\; \backslash \; del\; mathbf\; \{x\}\; +\; \backslash \; =\; \backslash \; +\; \backslash \; +\; \backslash \; mathbf\; \{w\}$ del mathbf D_d del mathbf C_d del $\backslash \; del\; mathbf\; mathbf\; \{v\}$ {y} \ del mathbf {x} \ del mathbf {u} con covariación

$\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; sim\; N\; (0,\; \backslash \; mathbf\; Q\_d)$
$\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; sim\; N\; (0,\; \backslash \; mathbf\; R\_d)$ de w donde

$\backslash \; mathbf\; A\_d\; =\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; A\; T\}\; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{(s\; \backslash \; mathbf\; I\; -\; \backslash \; mathbf\; A)^\; \{-\; 1\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; e^\; del\; ^\; del\; int\_\; \{\backslash \; tau=0\}\; \{T\}\; \{\backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; tau\}\; d\; \backslash \; tau\; \backslash \; derecho)\; de\; B\_d\; del$ \backslash \; del\; mathbf\; \_\; \{t=T\}$\backslash \; =\; \backslash \; mathbf\; A^\; del\; mathbf\; B\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; A\_d\; -)\; \backslash \; mathbf\; B$ de I, si el $\backslash \; el\; mathbf\; A$ es = \ mathbf C de C_d $no\; singular\; \backslash \; del\; mathbf$ del$$
de \ mathbf D_d = \ $mathbf\; D$ \ mathbf Q_d = \ e^ del ^ del int_ {\ tau=0} {T} {\ mathbf A \ tau} \ e^ del mathbf Q {\ mathbf A^T \ tau} = \ mathbf R de R_d del $\backslash \; del\; mathbf\; del$
de d \ del tau y $T$ es el tiempo de la muestra.

Derivación

El comenzar con el $del\; del\; modelo\; continuo\; \backslash \; =\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; mathbf\; x\; del\; mathbf\; \{\backslash \; punto\; \{x\}\}\; (t)\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u\; (t)$ nosotros saben que matriz exponencial es

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{despegue\}\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; en\}\; =\; \backslash \; mathbf\; A\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; en\}\; =\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; en\}\; \backslash \; mathbf\; A$ y por premultiplicando modelo nosotros consiguen

$e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; en\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; punto\; \{x\}\}\; (t)\; =\; e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; en\}\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; mathbf\; x\; (t)\; +\; e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; en\}\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u\; (t)$ cuál nosotros reconocen como

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{despegue\}\; (e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; en\}\; \backslash \; mathbf\; x\; (t))\; =\; e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; en\}\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u\; (t)$ e integrando.

$e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; en\}\; \backslash \; mathbf\; x\; (t)\; -\; e^0\; \backslash \; mathbf\; x\; (0)\; =\; \backslash \; int\_0^t\; e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \}\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u\; (\backslash \; tau)\; d\; del\; tau\; \backslash $ del$$
de tau \ mathbf x (t) = e^ {\ mathbf en} \ 0) e^ + \ int_0^t del mathbf x ({\ mathbf A (t \ tau)} \ mathbf B \ mathbf u (\ tau) d \ tau cuál es una solución analítica al modelo continuo.

Ahora queremos individualizar la expresión antedicha. Asumimos que u es el constante durante cada timestep.

$\backslash \; mathbf\; x\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash $ mathbf\; x\; (kT)$\backslash \; mathbf\; x\; =\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; AkT\}\; \backslash \; 0)\; e^\; +\; \backslash \; int\_0^\; \{kT\}\; del\; mathbf\; x\; (\{\backslash \; mathbf\; A\; (kT-\; \backslash \; tau)\}\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u\; (\backslash \; tau)\; d\; \backslash $ del$$
de tau \ mathbf x = e^ {\ mathbf A (k+1) T} \ 0) e^ + \ int_0^ del mathbf x ({(k+1) T} {\ mathbf A ((k+1) t \ tau)} \ mathbf B \ mathbf u (\ tau) d \ $del$
de tau \ mathbf x = e^ {\ mathbf EN} \ e^ dejado {\ mathbf AkT} \ 0) e^ + \ int_0^ {kT} del mathbf x ({\ mathbf A (kT- \ tau)} \ mathbf B \ mathbf u (\ tau) d \ tau \ right+ \ e^ del ^ del int_ {kT} {(k+1) T} {\ mathbf A (kT+T- \ tau)} \ mathbf B \ mathbf u (\ tau) d \ tau Reconocemos la expresión acorchetada como el $\backslash \; mathbf\; x$, y el segundo término puede ser simplificado substituyendo el $v\; =\; el\; kT\; +\; -\; \backslash \; tau$ de T. Nosotros también asumen que $\backslash \; mathbf\; u$ es constante durante integral, que alternadamente rinde

$\backslash \; mathbf\; x\; =\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; EN\}\; \backslash \; mathbf\; x\; +\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; dv\; del\; e^\; (\backslash \; int\_0^T\; \{\backslash \; mathbf\; sistema\; de\; pesos\; americano\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u$ cuál es una solución exacta al problema de la discretización.

Aproximaciones

La discretización exacta puede a veces ser insuperable debido a la matriz pesada exponencial y a las operaciones integrales implicadas. Él es mucho fácil calcular aproximado discreto modelo, basado en eso para pequeño timesteps $e^\; \{\backslash \; mathbf\; EN\}\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; +\; \backslash \; mathbf\; A\; T$ del mathbf I. La solución aproximada entonces se convierte:

$\backslash \; mathbf\; x\; \backslash \; aproximadamente\; (\backslash \; +\; \backslash \; mathbf\; del\; mathbf\; I\; EN)\; \backslash \; mathbf\; x\; +\; (\backslash \; mathbf\; I\; T\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; A\; T^2)\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u$ cuál puede más lejos ser aproximado si $\backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; A\; T^2$ es pequeño; rindiendo

$\backslash \; mathbf\; x\; \backslash \; aproximadamente\; (\backslash \; +\; \backslash \; mathbf\; del\; mathbf\; I\; EN)\; \backslash \; mathbf\; x\; +\; T\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u$

Otro posible aproximación son $e^\; \{\backslash \; mathbf\; EN\}\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; mathbf\; I\; -\; \backslash \; mathbf\; A\; T\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{-\; 1\}$ y $e^\; \{\backslash \; mathbf\; EN\}\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; mathbf\; I\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; A\; T\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; mathbf\; I\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; A\; T\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{-\; 1\}$. Cada uno de ellos tiene diversas características de la estabilidad. El pasado se conoce como el bilineario transforma, o Tustin transforma, y los cotos la estabilidad (la O.U) del sistema del continuo-tiempo.

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