En la teoría de las probabilidades, una distribución alfa-estable oblicua de Lévy del o apenas la distribución estable, desarrollada por el Paul Lévy, es realmente una familia de distribuciones de probabilidad que sean caracterizadas por cuatro parámetros: α, β, μ y   del c ;, así como el valor distribuido,   del x ;. El μ y   del c ; es el cambio y escala los parámetros que no determinan la forma de la distribución. La distribución estable tiene la característica importante de la estabilidad : Si un número de variables al azar idénticamente distribuidas de la independiente (iid) tienen una distribución estable, después una combinación linear de estas variables tendrá la misma distribución, a excepción de parámetros posiblemente diversos del cambio y de la escala. Para ser más exacto:

l si $X\_1$ y $X\_2$ se distribuyen según un $L\; de\; la\; distribución\; del\; establo\; (x;\; \backslash \; la\; alfa,\; \backslash ,\; beta\; \backslash \; MU,\; c)$, y si el $Y\; =\; AX\_1\; +\; BX\_2\; +\; C$ es una combinación linear de los dos, después allí existen los valores del   del D ; y   del E ; tales que $DY+E$ está distribuido según un $L\; de\; la\; distribución\; del\; establo\; (DY+E;\; \backslash \; la\; alfa,\; \backslash ,\; beta\; \backslash \; MU,\; c)$ o, equivalente, $Y$ se distribuye según un $L\; de\; la\; distribución\; del\; establo\; (Y;\; \backslash \; alfa,\; \backslash \; beta,\; (\backslash \; MU-e)\; /D,\; c/D)$. Si $E=0$ para todo el Y de $A$, de $B$, y de $C$ entonces se dice para tener una distribución estable del terminantemente . Desde el de distribución normal, la distribución de Cauchy, y la distribución todo de Lévy tiene la característica antedicha, sigue que son casos especiales de la distribución estable.

Las distribuciones estables deben su importancia en teoría y práctica a la generalización del teorema de límite central a las variables al azar sin los segundos (y posiblemente primero) momentos de la orden y la Uno mismo-semejanza concomitante de la familia estable. Era la demanda para la uno mismo-semejanza y la salida que parecía de la normalidad de datos financieros eso llevó el Benoît Mandelbrot para proponer que los precios del algodón siguieron una distribución alfa-estable oblicua de Lévy con el α igual a 1. Las distribuciones alfa-estables oblicuas de la recaudación se encuentran con frecuencia en análisis del comportamiento crítico y de los datos financieros. Las distribuciones alfa-estables oblicuas de Lévy también se encuentran en espectroscopia como expresión general para una línea espectral quasistatically presión-ensanchada . Todas las distribuciones estables son el infinitamente divisible y a excepción del de distribución normal para qué α=2, las distribuciones estables son las distribuciones Pesado-atadas

La distribución

Una distribución estable oblicua de Lévy es especificada por la escala $c$, $\backslash \; alpha$, $\backslash \; mu$ del exponente del cambio y el $\backslash \; beta$ del parámetro de la oblicuidad . El parámetro de la oblicuidad debe mentir en la gama y cuando es cero, la distribución es simétrica y se refiere como distribución alfa-estable simétrica de Lévy del . El $\backslash \; alpha$ del exponente debe mentir en la gama.

La distribución de probabilidad estable oblicua de Lévy es definida por el Fourier transforma de su $\backslash \; varphi\; (t)$ de la función característica

$f\; (x;\; \backslash \; alfa,\; \backslash \; beta,\; c,\; \backslash \; MU)\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \}\; infty\; \backslash \; varphi\; (t)\; e^\; \{-\}\; \backslash ,\; del\; itx\; despegue$

donde $\backslash \; varphi\; (t)$ se da cerca:

$\backslash \; varphi\; (t)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; t\; dejado|¡^\; \backslash \; alfa\; \backslash ,\; (1\; \backslash !\; ¡-\; \backslash !\; i\; \backslash \; beta\; \backslash ,\; \backslash \; textrm\; \{sgn\}\; (t)\; \backslash \; ~\; de\; la\; phi)\; \backslash \; derecho$

donde   del del sgn (t) ; es apenas la muestra t y el $\backslash \; Phi$ se da cerca $\backslash \; Phi=\; \backslash \; tan\; del$

l (\ pi \ alpha/2) \,

para todo el $\backslash \; alpha$ exceptuar el $\backslash \; la\; alfa\; =\; 1$ en este caso:

$\backslash \; Phi=-\; ()\; \backslash \; registro\; de\; 2\; \backslash \; pi|t|.\; \backslash ,$

el $\backslash \; mu$ es un parámetro del cambio, $\backslash \; beta$ es una medida de la asimetría, con el $\backslash \; beta$=0 rindiendo una distribución simétrica sobre el $\backslash \; mu$. $c$ es un factor de posicionamiento que es una medida de la anchura de la distribución y el $\backslash \; alpha$ es el exponente o el índice de la distribución y especifica el comportamiento asintótico de la distribución para el . Observar que éste es solamente uno de las parametrizaciones funcionando para las distribuciones estables; es el más común pero no es continuo en los parámetros.

El comportamiento asintótico se describe, para α<2, cerca:

$$

de f (x) \ sim \ frac {\ alfa c^ \ alfa (1+ \) beta \ pecado (\/\ pi del pi \ de la alfa/2) \ gamma (\ alfa)} Casos especiales

No hay solución analítica general para la forma del $p\; (x)$. Hay, no obstante tres casos especiales que puedan ser expresados analítico como puede ser visto por la inspección de la función característica .

para el $\backslash \; alpha=2$ que la distribución reduce a una distribución gausiana con el $\backslash \; sigma^2=2c^2$ de la variación y el $malo\; \backslash \; mu$ y el $\backslash \; beta$ del parámetro de la oblicuidad no tiene ningún efecto.
Para el $\backslash \; alpha=1$ y el $\backslash \; beta=0$ la distribución reduce a una distribución de Cauchy con el parámetro $c$ de la escala y el $\backslash \; mu$ del parámetro del cambio.
Para el $\backslash \; alpha=1/2$ y el $\backslash \; beta=1$ la distribución reduce a una distribución de Lévy con el parámetro $c$ de la escala y el $\backslash \; mu$ del parámetro del cambio.

Observar que las tres distribuciones antedichas también están conectadas, así: Una variable al azar estándar de Cauchy se puede ver como mezcla de las variables al azar gausianas (todas con el medio cero), con la variación siendo extraído de una distribución estándar de Lévy. Y de hecho éste es un caso especial de un teorema más general que permita que cualquier distribución alfa-estable simétrica sea vista de esta manera (con el parámetro alfa de la distribución de la mezcla igual dos veces al parámetro alfa de la mezcla distribución-y al parámetro beta de la distribución de mezcla siempre igual a la unidad).

Otros casos especiales son:

en el límite como $c$ se acerca a cero o como los acercamientos del $\backslash \; alpha$ ponen a cero la distribución se acercará a un $\backslash \; a\; un\; delta\; (x\; \backslash \; MU)\; de\; lafunción\; de\; delta\; de\; Dirac$.

Una clase particular interactiva de leyes estables se puede encontrar en http://www.com/tools/Financial/map/Overview.html

Característica de la estabilidad

(Véase y

Las distribuciones alfa-estables de Lévy tienen el " stability" característica que si las variantes aleatorias alfa-estables $X\_i$ de $N$ se extraen de la distribución $X\_i\; del$

l \ sim f (x; \ alfa, \) beta, de c \, \ MU

entonces la suma

$Y\; =\; \backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^N\; k\_i\; ()\; \backslash ,\; de\; X\_i-\; \backslash \; MU$

también será distribuido como variante aleatoria alfa-estable,

$Y\; \backslash \; sim\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; de\; s\; f\; (y/s;\; \backslash \; alfa,\; \backslash \; beta,\; c,\; 0).\; \backslash ,$

donde $s=\; del$

l \ ^N dejado (\ del sum_ {i=1} |k_i|^ \) ^ alfa \ correcto {1 \ alfa}. \,

Esto se puede probar fácilmente usar las características de las funciones características

El teorema de límite central generalizado

Otra característica importante de las distribuciones de Lévy es el papel que desempeñan adentro un teorema de límite central generalizado . El teorema de límite central indica que la suma de un número de variables al azar con variaciones finitas tenderá a un de distribución normal como el número de variables crece. Una generalización debido al Gnedenko y al Kolmogorov indica que la suma de un número de variables al azar con las distribuciones de la cola de la energía-ley que disminuyen como $1/|x|el\; ^\; \{\backslash \; alpha+1\}$ (y por lo tanto tener variación infinita) tenderá a un $f\; de\; la\; distribución\; de\; la\; recaudación\; del\; establo\; (x;\; \backslash \; la\; alfa,\; 0,\; c,\; 0)$ como el número de variables crece.

Representación de la serie

La distribución estable se puede exponer en forma modificada como la parte real de un integral más simple: $f\; del$

l (x; \ alfa, \ beta, c, \ MU) = \ frac {1}} \ con referencia a {\ pi \ se fue \ int_0^ \ e^ infty {él (x \ MU)}e^ {- ^ (ct) \ alfa (1-i \ beta \ phi)}\, despegue \] derecho

Expresando el segundo exponencial como serie de Taylor, tenemos: $f\; del$

l (x; \ alfa, \ beta, c, \ MU) = \ frac {1}} \ con referencia a {\ pi \ se fue \ int_0^ \ e^ infty {él (x \ MU)}\ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {(- qt^ \ alfa) ^n} {n!}\] derecho

donde $q=c^\; \backslash \; alfa\; (1-i\; \backslash \; beta\; \backslash \; phi)$. Invirtiendo la orden de la integración y de la adición, y la realización de las producciones de la integración: $f\; del$

l (x; \ alfa, \ beta, c, \ MU) = \ frac {1}} \ con referencia a {\ pi \ se fue \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {(-) ^n q} {n!}\ ido (\ frac {1} {i (x \ MU)}\ derecho) ^ {\} \ gamma (\ alfa n+1) \ correcta] de la alfa n+1

cuál será válido para el $x\; \backslash \; ne\; \backslash \; mu$ y convergerá para los valores apropiados de los parámetros. (Nota que el término n=0 que rinde una función de delta en el $x-\; \backslash \; mu$ por lo tanto se ha caído.) Expresión del primer exponencial pues una serie rendirá otra serie en energías positivas del $x-\; \backslash \; mu$ que es generalmente menos útil.

Ver también

vuelo de Lévy
Lévy de proceso
El otro " law" de la energía; distribuciones Distribución de Cauchy
Distribución de Pareto
Distribución de la zeta
Distribución de Zipf
Distribución de Zipf-Mandelbrot

.

Zenithic

George Rock

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