el

l para otras aplicaciones, considera el Kumaraswamy (desambiguación) . En la probabilidad y las estadísticas, la distribución limitada doble del Kumaraswamy del es una familia de las distribuciones de probabilidad continuas definidas en el intervalo que diferencia en los valores de su dos no negativo de los parámetros de la forma un y del b .

Es similar a la distribución beta, pero mucho más simple utilizar especialmente en los estudios de la simulación debido a la forma cerrada simple de su función de densidad de probabilidad y de la función de distribución acumulativa . Esta distribución fue propuesta original por el Poondi Kumaraswamy para las variables que son más bajas y la parte superior limitó.

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Kumaraswamy es $f\; (x\; del$

l ; a, b) = un x^ de b {a-1} {(1-x^a)} ^ {b-1}.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa está por lo tanto $F\; del$

l (x; a, b)=1- (1-x^a)^b.

Generalización a la gama arbitraria

En su forma más simple, la distribución tiene una gama de. En una forma más general, podemos substituir el variable normalizado x por el variable unshifted y unscaled z donde:

$x\; =\; \backslash \; frac\; \{z-z\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}\}\; \{z\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{máximo\}\}\; -\; z\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{minuto\}\}\},\; \backslash \; qquad\; z\_\; \{\backslash \}\; \backslash \; le\; z\; \backslash \; le\; z\_\; del\; mathrm\; \{minuto\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{máximo\}\}.\; ¡\backslash ,\; \backslash !$

La distribución se combina a veces con un " probability" del lucio; o una función de delta de Dirac, e.: $g\; (x\; del$

l |a, b) = F_0 \ delta (x)+ (1-F_0) un x^ de b {a-1} {(1-x^a)} ^ {b-1}.

Características

Los momentos crudos de la distribución de Kumaraswamy se dan cerca: = del $m\_n\; del$

l \ frac {b \ gamma (1+n/a) \ gamma (b)} {\ gamma (1+b+n/a)} = bB (1+n/a, b) \,

donde está la función el B beta . La variación, la oblicuidad, y exceso de la curtosis se pueden calcular a partir de estos momentos crudos. Por ejemplo, la variación es: $\backslash \; sigma^2=m\_2-m\_1^2.$ del

l

Relación a la distribución beta

El Kuramaswamy distribuido es estrechamente vinculado a la distribución beta. Asumir que el _{a del X, b} es una variable al azar distribuida Kumaraswamy con el de los parámetros al y el b . Entonces el _{a del X, b} es el al - raíz del th de una variable al azar distribuida beta convenientemente definida. Más formalmente, dejar el Y _{1, b} denotan una variable al azar distribuida beta con el $\backslash \; alpha=1$ de los parámetros y el $\backslash \; beta=b$. Uno tiene la relación siguiente entre el _{a del X, b} y el Y _{1, b}. _ del =Y^ del $X\_\; del$

l {a, b} {1/a} {1, b},

con igualdad en la distribución.

$\backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash \; \{de\; P\; X\_\; \{a,\}\; \backslash \; le\; x\; de\; b\; \backslash \}\; t^\; =\; \backslash \; int\_0^x\; ab\; \{a-1\}\; (dt=\; 1-t^a)^\; \{b-1\}\; \backslash \; int\_0^\; \{x^a\}\; b\; (1-t)\; ^\; \{b-1\}\; dt=\; \backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash \; \{de\; P\; Y\_\; \{1,\}\; \backslash \; le\; x^a\; de\; b\; \backslash \}$

\ operatorname {P} \ {Y^ {1/a} _ {1,} \ le x de b \}

.

Uno puede introducir las distribuciones generalizadas de Kuramaswamy considerando las variables al azar de la forma _ del $Y^\; \{1\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta\}$, con el $\backslash \; gamma>0$ y donde $Y\_\; \{\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta\}$ denota una variable al azar distribuida beta con el $\backslash \; alpha$ de los parámetros y el $\backslash \; beta$. Los momentos crudos de esta distribución generalizada de Kumaraswamy se dan cerca:

$m\_n\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha+\; \backslash )\; beta\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha+n/\backslash \; gamma)\}\{\backslash \; Gamma\; (\backslash )\; \backslash \; gamma\; de\; la\; alfa\; (\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta+n/\backslash \; gamma)\}.$ Observar que podemos reobtain los momentos originales que fijan el $\backslash \; alpha=1$, el $\backslash \; beta=b$ y el $\backslash \; gamma=a$. Sin embargo, en general la función de distribución acumulativa no tiene una solución de la forma cerrada.

Ejemplo

Un buen ejemplo del uso de la distribución de Kumaraswamy es el volumen del almacenaje de un depósito del z _max de la capacidad cuyo límite superior es el z _max y un límite más bajo es 0 (Fletcher, 1996).

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