La distribución de Maxwell-Boltzmann del es una distribución de probabilidad con usos en la física y la química . El uso más común está en el campo de los mecánicos estadísticos . La temperatura de cualquier sistema físico (masivo) es el resultado de los movimientos de las moléculas y de los átomos que componen el sistema. Estas partículas tienen una gama de diversas velocidades, y la velocidad de cualquier sola partícula cambia constantemente debido a las colisiones con otras partículas. Sin embargo, la fracción de una gran cantidad de partículas dentro de una gama particular de la velocidad es casi constante. La distribución del maxwell de velocidades especifica esta fracción, para cualquier gama de la velocidad, como función de la temperatura del sistema. Se nombra después del maxwell del vendedor de James y Luis Boltzmann .

La distribución se puede pensar en como la magnitud de un vector de 3 dimensiones si sus componentes se distribuyen como de distribución normal con la desviación estándar a. Si X_i se distribuyen como el X \ sim N (0, a^2), entonces = \ raíz cuadrada {X_1^2+X_2^2+X_3^2} del Z del se distribuye como distribución de Maxwell-Boltzmann con el parámetro a.

Características

Las demostraciones de la curva del de la distribución de Maxwell-Boltzmann cómo las velocidades de partícula se distribuyen en una muestra media de partículas. En cualquier temperatura dada muy pocas partículas poseerán energía muy bajo o muy alta (poseerá más un nivel de energía en alguna parte entre los dos extremos); esto se llama la energía del medio del . La barrera de la energía de activación necesita ser superada si una reacción es ocurrir. Si aumentamos el número de partículas, es decir aumentar la concentración de los reactivo que producimos más partículas con la energía mayor que la energía de activación (véase la teoría de colisión ).

La distribución de Maxwell-Boltzmann con a=1 es equivalente a la distribución de la ji con tres grados de libertad. Además, si Z se distribuye como distribución de Maxwell-Boltzmann con el parámetro a, entonces = \ frac {Z} {a} del W del será distribuido como distribución de la ji con tres grados de libertad.

La media cuadrática de una distribución de Maxwell-Boltzmann es el \ raíz cuadrada {3} a. Desde < \ raíz cuadrada {3} del \ raíz cuadrada {2} < 2 \ raíz cuadrada {2 \ pi}, sigue que el modo es menos que el medio, que es siempre menos que la media cuadrática.

Usos físicos de la distribución de Maxwell-Boltzmann

La distribución de Maxwell-Boltzmann forma la base de la teoría cinética de los gases, que explica muchas características fundamentales del gas, incluyendo la presión y la difusión . La distribución de Maxwell-Boltzmann se piensa generalmente en como la distribución de velocidades moleculares en un gas, pero puede también referir a la distribución de velocidades, de ímpetus, y de la magnitud de los ímpetus de las moléculas, que tendrán una diversa función de distribución de probabilidad, que son relacionados.

La distribución de Maxwell-Boltzmann se puede derivar usar los mecánicos estadísticos (véase las estadísticas de Maxwell-Boltzmann). Corresponde a la distribución más probable de la velocidad de un sistema collisionally-dominado que consiste en una gran cantidad de partículas no-que obran recíprocamente en las cuales los efectos de quántum sean insignificantes. Puesto que las interacciones entre las moléculas en un gas son generalmente absolutamente pequeñas, la distribución de Maxwell-Boltzmann proporciona una aproximación muy buena de las condiciones en un gas.

Hay muchos casos (tales como colisiones elásticos donde estas condiciones no se aplican. Por ejemplo, la física de la ionosfera y de las plasmas del espacio donde están importantes la recombinación y la excitación colisional (es decir procesos radiativos): especialmente para los electrones. Si usted aplicara la distribución del maxwell y sus asunciones aquí, usted conseguiría los números incorrectos, y falta la física básica del problema. Otro ejemplo donde la aplicación de la distribución de Maxwell-Boltzmann daría resultados incorrectos está en caso de que la longitud de onda termal del quántum del gas no sea pequeña comparada a la distancia entre las partículas. Allí, la teoría no podría explicar efectos de quántum significativos. También, como se basa en asunciones no relativistas, la distribución de Maxwell-Boltzmann no predice la probabilidad cero para las velocidades moleculares superior a la velocidad de la luz.

La derivación original por el maxwell asumió que las tres direcciones se comportarían en la misma manera, pero una derivación posterior por el Boltzmann cayó esta asunción usar la teoría cinética . La distribución de Maxwell-Boltzmann se puede ahora derivar lo más fácilmente posible de la distribución de Boltzmann para las energías:

\ = \ frac {g_i \ exp del frac {N_i} {N} \ ido (- E_i/kT \ derecho)} {\ g_j del ^ del sum_ {j} {} \, {\ exp \ se fue (- E_j/kT \ derecho)} } \ qquad \ qquad (1)

donde está el número el i del del N de moléculas en el T de la temperatura del equilibrio, en un i del estado que tenga el i del del E de la energía y gi de la degeneración, el N es el número total de moléculas en el sistema y el k es el Boltzmann constante. (Nota que la ecuación antedicha está escrita a veces sin el i del de g factor de la degeneración. En este caso el i del índice especificará un estado individual, algo que un sistema de estados del i del de g del que tienen el mismo i del del E de la energía.) Porque la velocidad y la velocidad se relacionan con la energía, la ecuación 1 se puede utilizar para derivar relaciones entre la temperatura y las velocidades de moléculas en un gas. El denominador en esta ecuación se conoce como la función de partición canónica .

Distribución del vector del ímpetu

Qué sigue es una derivación violentamente diferente de la derivación descrita por el maxwell del vendedor de James y descrita más adelante con pocas asunciones por el Luis Boltzmann . En lugar está cercano al acercamiento posterior de Boltzmann 1877 .

Para el caso de un " gas" ideal; consistiendo en los átomos no-que obran recíprocamente en el estado de tierra, toda la energía está bajo la forma de energía cinética. La relación entre la energía cinética y el ímpetu para las partículas masivas es

E= \ frac {p^2} {los 2m}

donde está el cuadrado el p ² del vector del ímpetu   del p ; = . Podemos por lo tanto reescribir la ecuación 1 como:

\ frac {N_i} {N} = \ frac {1} {Z} \ el exp \ se fue \ frac {- (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \ derecho] \ qquad \ qquad (3)

donde está la función el Z de partición, correspondiendo al denominador en la ecuación 1. Aquí el m es la masa molecular del gas, el T es la temperatura termodinámica y el k es el Boltzmann constante. Esta distribución del N del i /del del N es el proporcional al p del del f de la función de densidad de probabilidad para encontrar una molécula con estos valores de los componentes del ímpetu, tan:

f_ \ mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) = \ frac {c} {Z} \ el exp \ se fue \ frac {- (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \ derecho]. \ qquad \ qquad (4)

El que normaliza el constante c de, puede ser determinado reconociendo que la probabilidad de una molécula que tiene cualquier ímpetu de debe ser 1. Por lo tanto el integral de la ecuación 4 sobre todo el z del del y , y del p del del x , del p del del p debe ser 1.

Puede ser demostrado eso:

c = \ ^ 3 del frac {Z} {(\ raíz cuadrada {mkT de 2 \ pi})}. \ qquad \ qquad (5)

Substituir la ecuación 5 en la ecuación 4 da:

f_ \ mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) = \ raíz cuadrada {\ dejado (\ frac {1} {mkT de 2 \ pi} \ derecho) ^3} \ el exp \ se fue \ frac {- (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \ derecho]. \ qquad \ qquad (6)

La distribución se considera para ser el producto de tres variables normalmente distribuidas p_x p_y de la independiente, y p_z, con la variación mkT. Además, puede ser visto que la magnitud de ímpetu será distribuida como distribución de Maxwell-Boltzmann, con el a= \ raíz cuadrada {mkT} .

Distribución de la energía

Usar   del p ²; =  el 2 yo conseguimos la distribución de la energía:

f_E \, dE=f_p \ ido (\ frac {DP} {dE} \) derecho el ~ \ exp \, del dE =2 \ de la raíz cuadrada {\ frac {E} {\ pi (kT) ^3}} \ se fue \, dE. \ qquad \ qquad (7)

Puesto que la energía es proporcional a la suma de los cuadrados de los tres componentes normalmente distribuidos del ímpetu, esta distribución es una distribución del Ji-cuadrado con tres grados de libertad: f_E del

l (E) \, dE= \ chi^2 (x; 3) \, dx

donde x= del

l \ frac {2E} {kT}. \,

La distribución de Maxwell-Boltzmann puede también ser obtenida considerando el gas ser un gas del quántum.

Distribución del vector de la velocidad

Reconociendo que el v del del f de la densidad de la probabilidad de la velocidad es proporcional a la función de densidad de probabilidad del ímpetu cerca

f_ \ mathbf {v} d^3v = f_ \ mathbf {p} \ (\ frac {DP} {dv} \ derecho) ^3 dejado d^3v

y usando el p = el v m conseguimos

f_ \ mathbf {v} (v_x, v_y, v_z) = \ raíz cuadrada {\ dejado (\ frac {m} {2 \ pi kT} \ derecho) ^3} \ el exp \ se fue \ frac {- m (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} {2kT} \ derecho], \ qquad \ qquad (8)

cuál es la distribución de la velocidad de Maxwell-Boltzmann. La probabilidad de encontrar una partícula con velocidad en el elemento infinitesimal sobre   del v de la velocidad; =  es

f_ \ mathbf {v} \ se fue (v_x, v_y, v_z \) derecho \, dv_x \, dv_y \, dv_z.

Como el ímpetu, esta distribución se considera para ser el producto de tres variables normalmente distribuidas v_x v_y de la independiente, y v_z, pero con la variación kT/m. Puede también ser visto que la distribución de la velocidad de Maxwell-Boltzmann para la velocidad del vector es el producto de las distribuciones para cada uno de las tres direcciones:

el f_v \ se fue (v_x, v_y, v_z \ derecho) = f_v (v_y) del f_v del f_v (v_x) (el v_z)

donde está la distribución para una sola dirección

f_v (v_i) = \ raíz cuadrada {\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ el exp \ se fue \ frac {- mv_i^2} {2kT} \ derecho]. \ qquad \ qquad (9)

Esta distribución tiene la forma de un de distribución normal, con el \ el frac {kT} {m} de la variación . Según lo esperado para un gas en descanso, la velocidad media en cualquier dirección particular es cero.

Distribución de velocidades

Generalmente, estamos más interesados en las velocidades de moléculas algo que sus velocidades componentes. La distribución de Maxwell-Boltzmann de velocidades se escribe como

f (v) = 4 \ pi ¡\ ido (\ frac {m} {2 \ pi kT} \ derecho) ^ {3/2} \! ¡\! v^2 \ el exp \ se fue \ frac {- mv^2} {2kT} \ derecho] \ qquad (10)

donde se define la velocidad, v, como = \ raíz cuadrada {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} del v del

l

Observar que las unidades de f (v) en la ecuación (10) es probabilidad por velocidad, o apenas velocidad recíproca como en el gráfico en la derecha.

Puesto que la velocidad es la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de los tres independientes, los componentes normalmente distribuidos de la velocidad, esta distribución son una distribución de Maxwell-Boltzmann, con el a= \ raíz cuadrada {kT/m} .

Estamos a menudo más interesados en cantidades tales como la velocidad media de las partículas algo que la distribución real. La velocidad mala, la mayoría de la velocidad probable (modo), y la media cuadrática se pueden obtener de las características de la distribución de Maxwell-Boltzmann.

Velocidades típicas

Aunque la ecuación antedicha dé la distribución de velocidades o es decir la fracción de las moléculas que tienen una velocidad particular, estamos a menudo más interesados en cantidades tales como la velocidad media de las partículas algo que la distribución real.

El la mayoría de la velocidad probable, p del del v, es la velocidad muy probablemente que se poseerá por cualquier molécula en el sistema y corresponde al modo del valor máximo o f ( v ). Para encontrarlo, calculamos el df /el dv del, lo fijamos a cero y lo solucionamos para el v : del

l \ frac {df (v)} {dv} = 0

cuál rinde: = \ raíz cuadrada {\ frac {2RT} {M}} = \ raíz cuadrada del v_p del

l {\ frac {2kT} {m}}

La velocidad mala es el promedio matemático de la distribución de la velocidad = \ int_0^ {\ infin} v \, = \ raíz cuadrada {\ frac {8RT} {\ pi M}} de f (v) \, dv= \ raíz cuadrada del \ del langle v \ rangle del

l {\ frac {8kT} {\ pi m}}

La velocidad de la media cuadrada de la raíz, v rms es la raíz cuadrada de la velocidad ajustada media: = \ raíz cuadrada {\ frac {3RT} {M}} = \ raíz cuadrada del v_ \ del mathrm del

l {rms} {\ int_0^ {\ infin} v^2 \, = \ raíz cuadrada de f (v) \, dv} {\ frac {3kT} {m}}

Se relacionan las velocidades típicas como sigue: < \ langle v \ rangle < v_ \ mathrm {rms} del v_p del del .

Ver también


factor de Boltzmann
Distribución de Rayleigh
Ley de gas ideal
Maxwell del vendedor de James
Teoría cinética

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