La distribución del semicírculo de Wigner del, nombrada después Eugene Wigner del físico, es la distribución de probabilidad apoyada en el intervalo '' R '' el gráfico en cuyo de f de la función de densidad de probabilidad está un semicírculo del R del radio centrado (0, 0) y entonces convenientemente normalizado (de modo que sea realmente una semi-elipse):

$f\; (x)=\; \{2\; \backslash \; sobre\; \backslash \; pi\; R^2\}\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{R^2-x^2\; \backslash ,\}\; \backslash ,$

para el − R < R del x < R, y f ( x ) = 0 si x > o x < − R .

Esta distribución se presenta como la distribución de limitación de valores propios de muchas matrices simétricas al azar mientras que el tamaño de la matriz se acerca a infinito.

En teoría libre de la probabilidad, el papel de la distribución del semicírculo de Wigner es análogo a el de distribución normal en teoría de las probabilidades clásica.

Los polinomios de Chebyshev de la segunda clase son los polinomios ortogonales con respecto a la distribución del semicírculo de Wigner.

Para el positivo n de los números enteros, 2 el momento del th del n de esta distribución está $E\; del$

l (X^ {2n}) = \ ({R \ sobre 2} \ derecho) ^ dejado {2n} C_n \,

donde está el X cualquier variable al azar con este n del _{de la distribución y del C es el del th del n catalán numera, \, del $C\_n=\; del$}

l {1 \ sobre n+1} {2n \ eligen n}

de modo que los momentos sean los números catalanes si el R = 2. (debido a simetría, todos los momentos de la impar-orden son cero.)

En teoría de las probabilidades libre, el papel de los cumulantes es ocupado por el " cumulants" libre;, cuya relación a los cumulantes ordinarios es simplemente que el papel del sistema de todas las particiones de un sistema finito en la teoría de cumulantes ordinarios es substituido por el sistema de todas las particiones de Noncrossing de un sistema finito. Apenas los cumulantes del grado más de 2 de una distribución de probabilidad son el cero si y solamente si la distribución es el normal, tan también, los cumulantes libres del del grado más de 2 de una distribución de probabilidad son el cero si y solamente si la distribución es distribución del semicírculo de Wigner.

Haciendo el $x=R\; \backslash \; la\; lechuga\; romana\; (\backslash \; theta)$ de la substitución en la ecuación de definición para la función de generación del momento puede ser visto eso:

$M\; (t)=\; \backslash \; frac\; \{2\}\}\; \backslash \; int\_0^\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; e^\; del\; pi\; \{Rt\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; theta)\}\backslash \; sin^2\; (\backslash )\; \backslash ,\; de\; la\; theta\; d\; \backslash \; theta$

cuál puede ser solucionado (véase el § de Abramowitz y de Stegun; 9.18) para rendir: $M\; del$

l (t)=2 \, \ frac {I_1 (Rt)}{Rt}

donde $I\_1\; (z)$ es la función de Bessel Modificada . Semejantemente, la función característica se da cerca: $del$

l \ varphi (t)=2 \, \ frac {J_1 (Rt)}{Rt}

donde $J\_1\; (z)$ es la función de Bessel Del . (Véase el § de Abramowitz y de Stegun; 9.20), observando que el $\backslash \; elpecadode\; participación\; integrales\; correspondientes\; (Rt\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; theta))$ es cero.)

En el límite de $R$ que se acerca a cero, la distribución del semicírculo de Wigner se convierte en una función de delta de Dirac .

Otros acoplamientos

el W. es el límite de las distribuciones de Kesten-McKay, pues el parámetro $d$ tiende al infinito.

en literatura número-teórica, la distribución de Wigner a veces se llama la distribución de Sato-Tate. Ver el Sato-Tate conjeturar .