En la teoría de las probabilidades y las estadísticas, la distribución gamma es una familia del dos-parámetro de las distribuciones de probabilidad continuas que tiene un &theta del del parámetro de la escala; y un forman el k del parámetro . Si el k es un número entero entonces la distribución representa la suma de variables al azar exponencial distribuidas del k, que tiene &theta del del parámetro; .

Caracterización

Que un X de la variable al azar gamma-está distribuido con &theta del de la escala; se denota y el k de la forma

$X\; \backslash \; sim\; \backslash \; gamma\; (,\; \backslash \; theta\; de\; k)\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{o\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; X\; \backslash \; sim\; \backslash ,\; \backslash \; theta\; del\; textrm\; \{gamma\}\; (k).$

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución gamma se puede expresar en términos de función gamma : $f\; (x\; del$

l ;, \ theta de k) =, \ gamma (k)} del x^ {k-1} \ del frac {e^ {- x \ theta}} {\ theta^k \ \ \ mathrm {para} \ x > 0 \, \, \ mathrm {y} \, \, \ theta > 0. de k

(Esta parametrización se utiliza en el infobox y los diagramas.)

Alternativo, la distribución gamma se puede dar parámetros en términos de $\backslash \; alfa\; =\; k$ del parámetro de la forma y $inverso\; del\; parámetro\; de\; la\; escala\; \backslash \; =\; 1\; beta\; \backslash \; theta$, llamado un parámetro de la tarifa: $g\; (x\; del$

l ; \ alfa, \ beta) = x^ {\ alpha-1} \ frac {\ beta^ {\} \, de la alfa e^ {- \ beta \, x}} {\ gamma (\ alfa)} \ \ mathrm {para} \ x > 0 \, \!.

si el $\backslash \; alpha$ es un número entero positivo, entonces $del\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alfa)\}¡=\; (\backslash \; alfa\; -\; 1)!$

Ambas parametrizaciones son comunes porque cualquiera puede ser más conveniente dependiendo de la situación.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa es la función gamma regularizada, que se puede expresar en términos de función gamma incompleta, $F\; (x\; del$

l ; k, \ = \ int_0^x f (u de la theta); k, \) \, de la theta du = \ frac {\ gamma (k, x \ theta)}¡{\ Gamma (k)} \, \!

Características

Adición

Si el X _i tiene un Γ (α _i, β) distribución para el   del i ; =  1,   2,   …,   N, entonces

$\backslash \; ^N\; X\_i\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; sim\; ¡\backslash \; Gamma\; \backslash \; ^N\; dejado\; (\backslash \; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; alpha\_i,\; \backslash )\; beta\; \backslash \; derecho\; \backslash ,\; \backslash !$

con tal que todo el X _i sea la independiente .

La distribución gamma exhibe la divisibilidad infinita .

Escalamiento

Para cualquier t > 0 sostiene que el tX del es &Gamma distribuido; ( k,   &theta del t ;), demostrando ese &theta del ; es un parámetro de la escala.

Familia exponencial

La distribución gamma es una familia exponencial del dos-parámetro con los parámetros naturales $k-1$ y $-1/\backslash \; theta$, y las estadísticas naturales $X$ y $\backslash \; el\; ln\; (X)$.

Entropía de información

La entropía de información se da cerca ¡

$\backslash \; frac\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; theta^k\; \backslash \; gamma\; (k)\}\; \backslash \; int\_0^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{x^\; \{k-1\}\}\; \{e^\; \{x\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; se\; fue\; (k-1)\; \backslash \; ln\; x\; -\; x\; \backslash \; theta\; -\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; gamma\; de\; k\; \backslash \; del\; ln\; \backslash \; de\; la\; theta\; (k)\; \backslash \; derecho\; \backslash ,\; dx\; \backslash !$ ¡

$=\; -\; \backslash \; se\; fue\; (k-1)\; (\backslash \; +\; \backslash \; PSI\; del\; ln\; \backslash \; de\; la\; theta\; (k))\; -\; k\; -\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; gamma\; de\; k\; \backslash \; del\; ln\; \backslash \; de\; la\; theta\; (k)\; \backslash \; derecho\; \backslash !$ ¡

$=\; k\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; gamma\; (k)\; +\; (1-k)\; \backslash \; PSI\; (k)\; \backslash !$

donde ψ ( k ) es la función de la digamma.

Divergencia de Kullback-Leibler

La divergencia dirigida de Kullback-Leibler entre el Γ (α ₀, β ₀) (distribución “verdadera”) y Γ (α, β) (“aproximando” la distribución) se da cerca

$D\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{kilolitro\}\}\; (\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta\; ||\; \backslash \; alpha\_0,\; \backslash \; beta\_0)\; =\; \backslash \; registro\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\{\backslash \; alpha\_0\})\; \backslash \; beta\_0^\; \{\backslash \; alpha\_0\}\}\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash )\; \backslash \; beta^\; de\; la\; alfa\; \{\backslash \; alpha\_0\}\}\; \backslash \; derecho)\; +\; (\backslash \; +\; \backslash \; alfa\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; beta\_0\})\; \backslash \; PSI\; de\; la\; alfa\; \{\backslash \; alpha\_0\}\; (\backslash \; alfa)\; \{\backslash \; beta\_0\}$

Laplace transforma

La transformación de Laplace de la distribución gamma es

$F=\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; beta^\; \backslash \; alfa\}\; \{(s+\; \backslash \; beta)\; ^\; \backslash \; alfa\}.$

Valoración del parámetro

Valoración de toda probabilidad

La función de probabilidad para el $de\; las\; observaciones\; del\; iid\; N\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_N)$ es $L\; del$

l (\ theta) = \ ^ N-F (x_i del prod_ {i=1}; ¡k, \) \, \! de la theta

de cuál calculamos la función de la registro-probabilidad $\backslash \; ana\; del$

l (\ theta) = (k-1) \ ^N \ ln del sum_ {i=1} {(x_i)} - \ suma x_i/\ theta - Nk \ ln {(\ theta)} - N \ ln {\ gamma (k)}.

Encontrar el máximo con respecto al $\backslash \; theta$ tomando el derivado y fijándolo igual a cero rinde a la estimación de la toda probabilidad del θ parámetro: = \ frac {1} {kN} \ x_i del $\backslash \; delsombrerodel$

l {\ theta} del ^N del sum_ {i=1}. ¡\, \!

Substituir esto en la función de la registro-probabilidad da $del$

l \ ell= (k-1) \ ^N \ ln del sum_ {i=1} {(x_i)}- Nk-Nk \ ln {\ dejado (\ frac {\ x_i} de la suma {kN} \ derecho)}- N \ ln {(\ gamma (k))}. ¡\, \!

Encontrando el máximo con respecto al k tomando el derivado y fijándolo igual a las producciones cero - \ PSI (k)= \ ln del $\backslash \; del\; ln\; del$

l {(k)} {\ dejado (\ frac {1} {N} \ x_i del ^N del sum_ {i=1} \ derechos)}- \ frac {1} {N} \ ^N \ ln del sum_ {i=1} {(x_i)} ¡\, \!

donde ¡

$\backslash \; PSI\; (k)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\text{'}(k)\}\; \{\backslash \; gamma\; (k)\}\; \backslash !$

es la función de la digamma.

No hay solución de la forma cerrada para el k . La función se comporta numéricamente muy bien, así que si se desea una solución numérica, puede ser encontrado usar, por ejemplo, el método de Newton. Un valor inicial del k se puede encontrar el usar del método de los momentos, o el usar de la aproximación

$\backslash \; ln\; (k)\; -\; \backslash \; PSI\; (k)\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; de\; k\; del\; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \{12k+2\}\; \backslash \; derecho).\; ¡\backslash ,\; \backslash !$

Si dejamos = \ ln de los $s\; del$

l {\ dejado (\ frac {1} {N} \ x_i del ^N del sum_ {i=1} \ derechos)} - \ frac {1} {N} \ ^N \ ln del sum_ {i=1} {(x_i)}¡, \, \!

entonces el k está aproximadamente $k\; del$

l \ aproximadamente \ frac {3-s+ \ raíz cuadrada {(s-3) ^2 + 24s}} {12s}

cuál es dentro de 1.5% del valor correcto. Una forma explícita para la actualización de Newton-Raphson de esta conjetura inicial es dada por Choi y Wette (1969) como la expresión siguiente:

$k\; \backslash \; leftarrow\; k\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; -\; \backslash \; PSI\; \backslash \; (k\; \backslash \; derecho)\; -\; s\; dejado\}\; \{1/k\; -\; \backslash \; psi\text{'}\backslash \; del\; ln\; k\; dejado\; (k\; \backslash \; derecho)\}$

donde el $\backslash \; (\backslash \; cdot\; \backslash \; derecho)$ dejado psi'\ denota la función del trigamma (el derivado de la función de la digamma).

Las funciones de la digamma y del trigamma pueden ser difíciles de calcular con la alta precisión. Sin embargo, las aproximaciones sabidas para ser buenas a varias figuras significativas se pueden computar usar las fórmulas siguientes de la aproximación del :

y

Para los detalles, ver a Choi y a Wette (1969).

Error medio cuadrático mínimo Bayesian

Con el sabido k y el $desconocido\; \backslash \; theta$, el pdf posterior para la theta (usar el escalar-invariante estándar anteriormente para el $\backslash \; theta$) está

$P\; (\backslash \; theta\; |\; k,\; x\_1,\dots ,)\; \backslash \; propto\; 1\; \backslash \; theta\; \backslash \; ^\; N-F\; (x\_i\; del\; x\_N\; del\; prod\_\; \{i=1\};,\; \backslash \; theta\; de\; k).\; ¡\backslash ,\; \backslash !$

Denotación $y\; del$

l \, equivalente \ del sum_ \ qquad P {i=1} del ^N del x_i (\ theta | k, x_1, \ puntea, x_N) = C () \ theta^ {- N k-1} e^ {-/\ theta del x_i de y}. ¡\!

Integración sobre θ se puede realizar usar un cambio de variables, revelar ese 1/θ gamma-se distribuye con el $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; la\; alfa\; =\; N\; k,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; los\; parámetros\; beta\; =\; y$.

$\backslash \; int\_0^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; theta^\; \{-\; N\; k-1+m\}\; e^\; \{-/\backslash \; theta\; de\; y\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; int\_0^\; \{\backslash \; infty\}\; x^\; \{\}\; \backslash ,\; de\; N\; k\; -1\; -\; m\}\; e^\; \{-\; x\; y\; dx\; =\; y^\; \{-\; (N\; k\; -\; m)\}\; \backslash \; Gamma\; (N\; k\; -\; m).\; ¡\backslash !$

Los momentos pueden ser computados tomando el cociente ( m por el m = 0)

$E\; (=\; \backslash \; frac\; del\; x^m)\; \{\backslash \; gamma\; (N\; k\; -\; m)\}\; ¡\{\backslash \; (N\; k)\},\; gamma\; \backslash !\; del\; y^m$

cuál demuestra que es la estimación de la desviación mala +/- estándar de la distribución posterior para la theta $del$

l \ frac {y} {N k -1} +/- $\backslash \; frac\; \{y^2\}\; \{(N\; k-1)\; ^2\; (N\; k-2)\}.$

Generación de variables al azar gamma-distribuidas

Dado la característica del escalamiento arriba, es bastante para generar variables gammas con &beta del ; = 1 como podemos convertir más adelante a cualquier valor del &beta del ; con la división simple.

Usar el hecho que un Γ (1, 1) distribución es igual que un Exp (1) distribución, y observación del método de que genera las variables exponenciales, concluimos que si el U es el uniformemente encendido distribuido (0,   1] , entonces − el ln ( U ) es &Gamma distribuido; (1, 1). Ahora, usar el " α - addition" característica de la distribución gamma, ampliamos este resultado:

$\backslash \; sum\_\; \{k=1\}\; ^n\; \{\}\; -\; \backslash \; de\; U\_k\; del\; ln\; \backslash \; sim\; \backslash \; gamma\; (n,\; 1),$

donde está todo el U_k distribuido uniformemente encendido (0,   1] y independiente .

Todo que ahora se deja es generar una variable distribuida como Γ (δ, 1) para 0 < δ < 1 y aplica el " α - addition" característica una vez más. Ésta es la partición más difícil.

Proporcionamos un algoritmo sin prueba. Es un caso del método del aceptación-rechazamiento:

jó el m ser 1.

Generar el $V\_\; \{los\; 3m\; -\; 2\}$, el $V\_\; \{los\; 3m\; -\; 1\}$ y el &mdash del $V\_\; \{los\; 3m\}$; independiente distribuida uniformemente encendido (0,   variables de 1] .

Si} \ le v_0 del $V\_\; \{los\; 3m\; -\; 2,\; donde$ v\_0\; =\; \backslash \; frac\; e\; \{e\; +\; \backslash \; delta\}$,\; entonces\; van\; alpaso4,\; ir\; al$

del paso 5. Dejar $\backslash \; xi\_m\; =\; V\_\; \{los\; 3m\; -\; 1\}\; ^\; \{1/\backslash \; delta\},\; \backslash \; \backslash \; eta\_m\; =\; V\_\; \{\_m^\}\; \backslash \; XI\; de\; los\; 3m\; \{\backslash \; delta\; -\; 1\}$. Ir al

del paso 6. Dejar el $\backslash \; el\; xi\_m\; =\; 1\; -\; \backslash \; ln\; \{V\_\; \{los\; 3m\; -\; 1\}\},\; \backslash \; \backslash \; eta\_m\; =\; e^\; de\; V\_\; \{los\; 3m\}\; \{-\; \backslash \; xi\_m\}$.

Si el $\backslash \; el\; eta\_m\; >\; \backslash \; el\; e^\; del\; xi\_m^\; \{\backslash \; delta\; -\; 1\}\; \{-\; \backslash \; xi\_m\}$, después incrementan el m y van al

del paso 2. Asumir el $\backslash \; XI\; =\; \backslash \; xi\_m$ para ser la realización del $\backslash \; de\; la\; gamma\; (\backslash \; delta,\; 1)$ Ahora, resumir,

$\backslash \; theta\; \backslash \; ido\; (\backslash \; XI\; -\; \backslash \; ^\; del\; \_\; de\; la\; suma\; \{i=1\}\; \{\}\; \{\backslash \; ln\; U\_i\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; sim\; \backslash \; gamma\; (,\; \backslash \; theta),$ de k donde es la parte integrante del k, y el &xi del ; se ha generado usar el algoritmo arriba con δ = { k } (la parte fraccionaria del k ), El U_k y el V_l se distribuyen según lo explicado arriba y son toda la independiente.

La biblioteca científica del GNU (que tiene puertos para el estudio visual) tiene rutinas robustas para muestrear muchas distribuciones incluyendo la distribución gamma.

Distribuciones relacionadas

Especializaciones

Si, \) \, de theta=1/del $X\; \backslash \; del\; sim\; \{\backslash \; gamma\}\; (k=1\; \backslash \; de\; lalambda$, entonces X tiene una distribución exponencial con &lambda del parámetro de la tarifa;.
Si, del $X\; \backslash \; del\; sim\; \{\backslash \; gamma\}\; (k=v/2\; \backslash \; theta=2)\; \backslash ,$, entonces X es idéntico al χ ² (&nu del ; ), la distribución del Ji-cuadrado con &nu del ; grados de de libertad.
Si $k$ es un número entero, la distribución gamma es una distribución del Erlang y es la distribución de probabilidad del tiempo de espera hasta el " de $k$-th; arrival" en un proceso de Poisson unidimensional con la intensidad 1/θ.
Si $X^2\; \backslash \; el\; sim\; \{\backslash \; gamma\}\; (3/2,\; 2a^2)\; \backslash ,$, entonces X tiene una distribución de Maxwell-Boltzmann con el del parámetro un .

¡ $Y\; \backslash \; sim\; N\; está\; un\; (\backslash \; MU\; =\; \backslash ,\; alfa\; \backslash \; beta\; \backslash \; sigma^2\; =\; \backslash \; alfa\; \backslash \; beta^2)$ de distribución normal como = \ lim_ {\ alfa \ \ infty} X del $Y\; donde$ X\; \backslash \; sim\; \backslash \; la\; gamma\; (\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)$.\; -->$
$X\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{SkewLogistic\}\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,$, entonces $\backslash \; mathrm\; \{registro\}\; (1\; +\; e^\; \{-\; X\})\; \backslash \; sim\; \backslash \; gamma\; (1,\; \backslash )\; \backslash ,\; de\; la\; theta$

Otros

Si el X tiene un Γ ( k, θ) la distribución, entonces 1 X tiene una distribución de la Inverso-gamma con el k de los parámetros y el θ ^-1.
Si el X y el Y son &Gamma independiente distribuido; (α, θ) y Γ (β, θ) respectivamente, entonces   del X ; /  (  del X ; +  El Y ) tiene una distribución beta con &alpha de los parámetros; y β.
Si el X_i es &Gamma independiente distribuido; (α i , &theta del _{;) respectivamente, entonces el vector ( X 1  /  S,   …,   Xn  /  S ), donde   del S ; =  X 1  +  …   +  El Xn, sigue una distribución de Dirichlet con &alpha de los parámetros; 1,   …,   α n} del .

Zenithic

Absolutely (Eurogliders album)

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