Distribución uniforme (continua) - Enciclopedia España

En la teoría de las probabilidades y las estadísticas, la distribución uniforme continua es una familia de las distribuciones de probabilidad tales que para cada miembro de la familia, todos los intervalos de la misma longitud en la ayuda de la distribución son igualmente probables. La ayuda es definida por los dos parámetros, un y b, que son su mínimo y valores máximos. La distribución es a menudo el abreviado U ( un, b ).

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es:

$f (x)= \ ido \ {\ comenzar {matriz} \ frac {1} {b - a} y \ \ \ \ mathrm {para} \ a \ le x \ le b, \ \ \ \ 0 y \ \ \, \ extremo {matriz} del mathrm del mathrm {para} \ del x b \ derecho.$

Los valores en el de dos límites un y el b son generalmente poco importantes porque no alteran los valores de los integrales del del f ( x ); dx del sobre cualquie intervalo, ni del del x ; del f ( x ); dx o similares del . Se eligen a veces para ser cero, y se eligen a veces para ser 1 ( del b ; − un ). Este 3ultimo es apropiado en el contexto de la valoración por el método de la toda probabilidad . En el contexto del análisis de Fourier, uno puede tomar el valor del f ( un ) o del f ( b ) para ser 1 (2 ( del b ; − un )), lo contrario transforma desde entonces de muchos integral transforma de esta función uniforme rendirá detrás la función sí mismo, algo que una función que sea " igual; " casi por todas partes ;, es decir excepto encendido un sistema de puntos con la medida cero . También, es constante con la función de muestra que no tiene ninguna tal ambigüedad.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa es:

$F (x)= \ ido \ {\ comenzar {matriz} 0 y \ mbox {para} x < de a \ \ \ \ \ frac {XA} {b-a} y \ \ \ \ mbox {para} a \ le x < de b \ \ \ \ 1 y \ mbox {para} x \ GE b \ extremo {matriz} \ derecho. ¡\, \!$

Funciones de generación

Momento-generación de la función

La función de Momento-generación es

$= \ frac {e^ {TB} - e^ {TA}} {t (b-a) de M_x = de E (e^ {tx})} ¡\, \!$

de cuál podemos calcular el crudo k del _{del m de los momentos ¡}

$m_1= del \, \, \! del frac {a+b} {2}$ ¡

$m_2= del \, \, \! del frac {a^2+ab+b^2} {3}$ $m_k= del l \ frac {1} {k+1} \ a^ib^ del ^k del sum_ {i=0} {k-i}. ¡\, \!$

Para una variable al azar que sigue esta distribución, el el valor previsto es entonces el m ₁ = ( un de ; + el b ) /2 y la variación es m ₂ − m ₁² = ( del b ; − un ) ²/12.

Cumulante-generación de la función

Para el del n ; ≥ 2, el cumulante del th del n de la distribución uniforme en el intervalo es el n del b /del _{del b, donde está el número el n} del _{del b de Bernoulli del th del n .
Características
Generalización a los sistemas de Borel
Esta distribución se puede generalizar a sistemas más complicados que intervalos. Si el S es un sistema de Borel de la medida positiva, finita, la distribución de probabilidad uniforme en el S puede ser especificada definiendo el pdf para ser el exterior cero S y constantemente igual a 1 K en el S, donde está la medida el K de Lebesgue S .
Estadísticas ordinales
Dejar el X ₁,…, el n del _{del X sea una muestra I. Dejar el _{del X ( k )} sea la estadística de orden del th del k de esta muestra. Entonces la distribución de probabilidad del _{del X ( k )} es una distribución beta con el del k y del n de los parámetros; − del k ; + 1. El valor previsto es $del l \ operatorname {E} (X_ {(k)}) = {k \ sobre n+1}.$}
Este hecho es útil al hacer el Q-Q traza
Las variaciones son $del l \ operatorname {Var} (X_ {(k)}) = {k (n-k+1) \ encima (n+1)^2 (n+2)}.$

“Uniformidad”
La probabilidad que las caídas uniformemente distribuidas de una variable al azar dentro de cualquier intervalo de la longitud fija son independiente de la localización del intervalo sí mismo (solamente él es dependiente en el tamaño del intervalo), siempre y cuando el intervalo es contenido por la ayuda de la distribución.
Para ver esto, si el ≈ U ( 0, b ) del X y '' x '' + '' d '' es un subintervalo con del > fijo del d ; 0, entonces
$\ derechos) = \ int_ {x} ^ {x+d} \ frac {\ mathrm {d} y} {} \, del b-a ¡= \ frac {d} {} \, \! del b-a$
cuál es independiente del x . Este hecho motiva el nombre de la distribución.

Uniforme del estándar
$a=0$ y $b=1$ de restricción, el resultante U (0.1) de la distribución se llama una distribución del uniforme del estándar del . Una característica interesante de la distribución uniforme estándar es que si u₁ tiene una distribución uniforme estándar, después hace tan 1 u₁.

Distribuciones relacionadas
Si el X tiene una distribución uniforme estándar,
Y = - ln ( X )/λ tiene una distribución exponencial con &lambda del parámetro (de la tarifa);.
Y = 1 - el n del X ^{1/tiene una distribución beta con los parámetros 1 y el n . (Observar esto implica que la distribución uniforme estándar es un caso especial de la distribución beta, con los parámetros 1 y 1.)
Relación a otras funciones
Mientras sigan a las mismas convenciones en los puntos de transición, la función de densidad de probabilidad se puede también expresar en términos de función de paso de Heaviside : $f del l (x)= \ frac {\ - \ operatorname {H} (x-b) del operatorname {H} (XA)}¡{b-a}, \, \!$ o en términos de función del rectángulo

$f (x)= \ frac {1} {b-a} \, \ operatorname {} \ dejado del rect (\ frac {x \ ido (\ frac {a+b} {2} \ derechos)}{b-a} \ derecho).$
No hay ambigüedad en el punto de transición de la función de muestra . Usar la convención del mitad-máximo en los puntos de transición, la distribución uniforme se puede expresar en términos de función de muestra como: $f del l (x)= \ frac {\ sgn {(XA)}- \ sgn {(x-b)}} {2 (b-a)}.$

Usos
En las estadísticas, cuando un P-valor se utiliza como estadística de prueba para una hipótesis nula simple, y la distribución de la estadística de prueba es continuo, después la estadística de prueba se distribuye uniformemente entre 0 y 1 si la hipótesis nula es verdad.
Muestreo de una distribución uniforme
Hay muchos usos en los cuales es útil funcionar experimentos de simulación. Muchos lenguajes de programación tienen la capacidad de generar los números pseudaleatorios que se distribuyen con eficacia según la distribución uniforme estándar. Si el u es un valor muestreado de la distribución uniforme estándar, entonces el del valor + (&minus del b ; el un u de ) sigue la distribución uniforme parametrised por el un y el b, como se describe anteriormente.

Muestreo de una distribución arbitraria
La distribución uniforme es útil para muestrear de distribuciones arbitrarias. Un método general es lo contrario transforma el método de muestreo, que utiliza la función de distribución acumulativa (CDF) de la variable al azar de la blanco. Este método es muy útil en trabajo teórico. Puesto que las simulaciones usar este método requieren la inversión del CDF de la variable de blanco, los métodos alternativos se han ideado para los casos donde el cdf no se sabe en forma cerrada. Un tal método es el muestreo del rechazamiento.
El de distribución normal es un ejemplo importante donde lo contrario transforma método no es eficiente. Sin embargo, hay un método exacto, la transformación de la Caja-Moleta, que utiliza lo contrario transforma para convertir dos variables al azar uniforme de la independiente en dos variables al azar normalmente distribuidas de la independiente.
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