En el cálculo del vector, la divergencia es un operador que mide la magnitud fuente o fregadero de s del campo vector de un 'en un punto dado; la divergencia de un campo de vector es escalar de a (firmada). Para un campo de vector que denota la velocidad del aire que se amplía mientras que es heated, la divergencia del campo de la velocidad tendría un valor positivo porque el aire se amplía. Si el aire se refresca y los contratos, la divergencia es negativa.

Un campo de vector que tiene divergencia cero por todas partes se llama el solenoidal.

Definición

Dejar el x, y, z sea un sistema de los coordenadas cartesianos en un espacio euclidiano de 3 dimensiones, y dejó el i,   j,   el k sea la base correspondiente de los vectores de unidad

La divergencia de un continuamente diferenciable F del campo de vector = el i del F₁ + el j del F₂ + el k del F₃ se define para ser el escalar - función valorada:

$\backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash ,\; del\; div\; \backslash \; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}$

del mathbf {F} \ frac {\ F_1 parcial} {\ x parcial}

+ \ frac {\ F_2 parcial} {\ y parcial} + \ frac {\ F_3 parcial} {\ z parcial}.

Aunque esté expresado en términos de coordenadas, el resultado sea invariante bajo transformaciones ortogonales pues la interpretación física sugiere.

La notación común para el &nabla del de la divergencia; · El F es una mnemónica conveniente, donde el punto denota una operación evocadora del producto de punto : tomar los componentes del ∇ (véase a Del ), aplicarlos a los componentes del F, y sumar los resultados. Consecuentemente, esto se considera un abuso de la notación .

Interpretación física

En términos físicos, la divergencia de un campo de vector tridimensional es el grado a el cual el flujo del campo de vector se comporta como una fuente o un fregadero en un punto dado. Es una medida local de su " outgoingness" — el grado a el cual hay más salida de una región infinitesimal de espacio que incorporándola. Si la divergencia es diferente a cero en un cierto punto entonces debe haber una fuente o un fregadero en esa posición. Una definición alterna pero equivalente, da la divergencia como el derivado del flujo de la red del campo de vector a través de la superficie de una pequeña esfera concerniente al volumen de la esfera. (La nota que nos estamos imaginando que fluye el campo de vector a ser como el campo de vector de la velocidad de un líquido (en el movimiento) cuando utilizamos los términos, se hunde y así sucesivamente.) Formalmente, $del$

l (\ operatorname {} \, \ mathbf {F} del div) (p) = \ lim_ {r \ rightarrow 0} \ iint_ {S (r)} {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} dS \ sobre \ frac {4} {3} \ pi r^3}

donde el S ( r ) denota la esfera del r del radio alrededor de un p del punto en el R ³, y el integral es una superficie integral tomada con respecto al n, el normal a esa esfera.

A la luz de la interpretación física, un campo de vector con divergencia del constante cero se llama &ndash incompresible del ; en este caso, ningún flujo neto puede ocurrir a través de cualquier superficie cerrada.

La intuición que la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los fregaderos debe dar el flujo neto hacia fuera de una región es hecha exacta por el teorema de la divergencia.

Características

Las características siguientes se pueden todos derivar de las reglas ordinarias de la diferenciación del cálculo . Más importante, la divergencia es operador linear, es decir. $del$

l \ operatorname {div} (a \ mathbf {F} + b \ mathbf {G})

a \; \ operatorname {div} (\ mathbf {F})

+ b \; \ operatorname {div} (\ mathbf {G})

para todo el F de los campos de vector y G y todo el de los números verdaderos un y b .

Hay una regla del producto del tipo siguiente: si φ es una función valorada escalar y el F es un campo de vector, entonces $del$

l \ operatorname {div} (\ varphi \ mathbf {F})

\ operatorname {graduado} (\) \ cdot \ mathbf {F} del varphi

+ \ varphi \; \ operatorname {div} (\ mathbf {F}),

o en una notación más sugestiva $\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; del$

l (\ varphi \ mathbf {F})

(\) \ cdot \ mathbf {F} del nabla \ del varphi

+ \ varphi \; (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}).

Otra regla del producto para el producto cruzado del F de dos campos de vector y del G en tres dimensiones implica el enrollamiento y lee como sigue: $del$

l \ operatorname {div} (\ mathbf {F} \ épocas \ mathbf {G})

\ operatorname {enrollamiento} (\) \ cdot \ mathbf {G} del mathbf {F}

\; - \; \ mathbf {} \ cdot \ operatorname {enrollamiento} (\ mathbf {G}), de F

o $\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; del$

l (\ mathbf {F} \ épocas \ mathbf {G})

(\ nabla \ épocas \) \ cdot \ mathbf {G} del mathbf {F}

- \ mathbf {} \ cdot de F (\ nabla \ épocas \ mathbf {G}).

El Laplacian de un campo escalar es la divergencia del gradiente de campo.

La divergencia del enrollamiento de cualquier campo de vector (en tres dimensiones) es constante e igual a cero. Si un F del campo de vector con la divergencia cero se define en una bola en el R ³, después existe un cierto G del campo de vector en la bola con el F = enrollamiento ( G ). Para las regiones en el R ³ complicadas que bolas, esta 3ultima declaración pudo ser falsa (véase el lema de Poincaré). El grado de la falta del de la verdad de la declaración, medida por la homología de la cadena complejo

$\backslash \; \{\backslash \; mbox\; \{campos\; escalares\; encendido\}\; U\; \backslash \}\; \backslash ;$

$\backslash \; a\; \backslash \; \{\backslash \; mbox\; \{campos\; de\; vector\; encendido\}\; U\; \backslash \}\; \backslash ;$

$\backslash \; a\; \backslash \; \{\backslash \; mbox\; \{campos\; de\; vector\; encendido\}\; U\; \backslash \}\; \backslash ;$

$\backslash \; a\; \backslash \; \{\backslash \; mbox\; \{campos\; escalares\; encendido\}\; U\; \backslash \}\; \backslash ;$

(donde está el gradiente el primer mapa, el segundo es el enrollamiento, el tercero es la divergencia) los servicios como cuantificación agradable del complicatedness del subyacente U de la región. Éstas son los principios y las motivaciones principales del cohomology de De Rham.

Relación con el derivado exterior

Uno puede establecer un paralelo entre la divergencia y un caso particular del derivado exterior, cuando lleva una forma 2 una forma 3 en el R ³. Si definimos: $\backslash \; alpha=F\_1\; \backslash \; dy\; \backslash \; cuña\; del\; DZ\; +\; F\_2\; \backslash \; dx\; de\; DZ\; \backslash \; de\; la\; cuña\; +\; F\_3\; \backslash \; dx\; \backslash \; cuña\; dy$ su $d\; exterior\; \backslash \; alpha$ del derivado es dado por = \ a la izquierda del $d\; \backslash \; de\; la\; alfa\; del\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; F\_1\; parcial\}\; \{\backslash \; x\; parcial\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; F\_2\; parcial\}\; \{\backslash \; y\; parcial\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; F\_3\; parcial\}\; \{\backslash \; z\; parcial\}\; \backslash )\; dy\; derecho\; del\; dx\; \backslash \; de\; la\; cuña\; \backslash \; cuña\; dz$

Ver también a operador de la estrella de Hodge.

Generalizaciones

La divergencia de un campo de vector se puede definir en cualquier número de dimensiones. Si $del\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; (F\_1,\; F\_2,\; \backslash \; puntea,\; F\_n),$

definir

$\backslash \; operatorname\; \{\}\; \backslash ,\; del\; div\; \backslash \; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}$

del mathbf {F} \ frac {\ F_1 parcial} {\ x_1 parciales}

+ \ frac {\ F_2 parcial} {\ x_2 parcial} + \ cdots + \ frac {\ F_n parcial} {\ x_n parcial}.

Para cualquier n, la divergencia es operador linear, y satisface el " rule" del producto; $\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; del$

l (\ varphi \ mathbf {F})

(\) \ cdot \ mathbf {F} del nabla \ del varphi

+ \ varphi \; (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}).

para cualquie &phi escalar-valorado de la función;.

La divergencia se puede definir en cualquier múltiple del n de la dimensión con un $\backslash \; mu$ de la forma del volumen (o densidad) e. un el múltiple Riemannian de Lorentzian de o. Generalizando la construcción de una forma dos para un vectorfield en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^3$, en tal múltiple un X del vectorfield define un $j\; =\; un\; i\_X\; \backslash \; mu$ de la forma del n-1 obtenidos contratando el X con el $\backslash \; mu$. La divergencia es entonces la función definida cerca = del $d\; del$

l j \ operatorname {div} (x) \ mu

Las fórmulas estándar para el derivado de la mentira permiten que reformulemos esto como $del$

l \ _X mathcal {L} \ MU = \ operatorname {div} (x) \ MU

Esto significa que la divergencia mide el índice de extensión de un elemento de volumen como lo dejamos flujo con el vectorfield.

En un múltiple Riemannian o de Lorentzian la divergencia con respecto al volumen métrico forma puede ser computado en términos de $\backslash \; nabla$ de la conexión de Levi Civita = \ nabla \ cdot X del $\backslash \; del\; operatorname\; del$

l {div} (x) = X^a_ {; a}

donde está la contracción la segunda expresión del vectorfield valoró 1 - formar el $\backslash \; el\; nabla\; X$ consigo mismo y la expresión pasada es la expresión coordinada tradicional usada por los físicos.

Ver también

Teorema de la divergencia
Enrollamiento
Gradiente
Nabla en los coordenadas cilíndricos y esféricos

.

Zenithic

Africangus

Random links:

Parque del valle, Missouri | Helen Liddell | Montaña del embaucamiento | Advertencia | Características de Allgreen