División larga polinómica - Enciclopedia España

En la álgebra, la división larga polinómica es un algoritmo para dividir un polinómico por otro polinomio del mismo o un grado más bajo, una versión generalizada de la técnica aritmética familiar llamada la división larga . Puede ser hecha fácilmente a mano, porque separa un problema de otra manera complejo de la división en los más pequeños.

Para cualquier f ( x ) de los polinomios y el g ( x ) existen el único q ( x ) de los polinomios y el r ( x ) tales que $del \ el frac {f (x)} {=q de g (x)} (x) + \ frac {r (x)} {g (x)}$ con el r ( x ) teniendo grado más pequeño que el g ( x ).

La división sintética encontrará el q ( x ) del cociente y el r ( x ) del resto dado un f ( x ) del numerador y el g ( x ) del denominador. El problema se anota como un problema (no-algebraico) regular de la división larga: $g del (x) \ overline {\ vert f (x)}$ . Todos los términos con los exponentes menos que el más grande se deben poner en escrito explícitamente, incluso si sus coeficientes son cero.

Ejemplo

Hallazgo: $del \ frac {x^3 - 12x^2 - 42} {x-3}$

El problema se escribe como esto (nota que, según lo explicado arriba, el término del x está incluido explícitamente, sin importar el coeficiente):

$x-3 \ overline {\ vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}$ del

1. Dividir el primer término del numerador por el término más alto del denominador. Poner el resultado sobre la barra (÷ del x ³; x = x ²).

$x-3 \ overline {\ vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42} \ extremo {matriz}$

2. Multiplicar el denominador por el resultado que usted acaba de obtener (el primer término del cociente eventual). Escribir el resultado bajo primeros dos términos del numerador ( x ² · ( del x ; − 3) = x ³ − 3 x ²).

$\ comenzar {la matriz} x^2 \ \ \ qquad \ qquad \ patio x-3 \ del overline {\ vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42} \ \ \ qquad \; \; x^3 - 3x^2 \ extremo {matriz}$

3. Restar el producto que usted acaba de obtener de los términos apropiados del numerador original, y escribir el resultado debajo. Esto puede ser difícil ocasionalmente, debido a la muestra. (( x ³ − 12 del x ²); − ( x ³ − 3 x ²) = − 12 x ² + 3 x ² = − 9 x ²) entonces, " tirar del down" el término siguiente del numerador.

${x^3 - 3x^2} \ \ \ qquad \ qquad \ qquad \ patio \; -9x^2 + 0x \ extremo {matriz}$

4. Repetir los tres pasos anteriores, a menos que este uso del vez los dos términos que usted acaba de escribir como el numerador.

$\ comenzar {la matriz} \; x^2 - 9x \ \ \ qquad \ patio x-3 \ del overline {\ vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42} \ \ \; \; \ raya {\; \; x^3 - \; \; 3x^2} \ \ \ qquad \ qquad \ patio \; -9x^2 + 0x \ \ \ qquad \ qquad \ patio \; \ de la raya {- 9x^2 + 27x} \ \ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad -27x - 42 \ extremo {matriz}$

5. Esta vez, no hay nada al " tirar del down".

$\ comenzar {la matriz} \ qquad \ patio \; \, x^2 \; - 9x \ patio - 27 \ \ \ qquad \ patio x-3 \ del overline {\ vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42} \ \ \; \; \ raya {\; \; x^3 - \; \; 3x^2} \ \ \ qquad \ qquad \ patio \; -9x^2 + 0x \ \ \ qquad \ qquad \ patio \; \ de la raya {- 9x^2 + 27x} \ \ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad -27x - 42 \ \ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ del qquad \ de la raya {- 27x + 81} \ \ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \; \; -123 \ extremo {matriz}$

El polinomio sobre la barra es el cociente, y el número dejado encima (− 123) es el resto. $del l \ frac {x^3 - 12x^2 - 42} {x-3} = x^2 - 9x - 27 - \ frac {123} {x-3}$

Este método es enteramente evocador de la división larga aprendida en clases aritméticas elementales.

División sintética

La división sintética es un método de realizar la división larga polinómica sin tener que mantener los expedientes largos del proceso de la división larga como arriba, aunque los procesos siguen siendo iguales., Sin embargo, se ocupa solamente de la división por polinomios lineares monic -- es decir, binomios de la forma ( x - b ), donde está cualquier número el b racional.

El cambio de la muestra del b al dividir cerca ( del x ; + b ) (es decir − el b se escribe a la izquierda de la barra algo que el b ) permite que hagamos adiciones algo que las substracciones que se encuentran en la división larga regular. Esto reduce la ocasión para el error cuando la división se hace a mano.

La división sintética también se llama división con la regla de Ruffini y fue descrita por el Pablo Ruffini en el 1809 .

Realizando el mismo ejemplo que antes:
$x-3 \ overline {\ vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}$ del

Nos referimos básicamente a los coeficientes. Escribimos el ${matriz} 3 y | y 1 y -12& 0 y -42 \ extremo {matriz}$

Observar el cambio de la muestra del − 3 a 3, la muestra no cambia realmente, el valor que usted está utilizando (3 en este caso) es el valor que x tendría que estar para que el polinomio iguale 0. Caer el primer coeficiente después de la barra. el $del \ comienza {matriz} 3 y | y 1 y -12& 0 y -42 \ \ y | y y y y \ \ y | y 1 y y y \ \ \ extremo {matriz}$

Multiplicar el número caído por el número antes de la barra, y ponerlo en la columna siguiente. el $del \ comienza {matriz} 3 y | y 1 y -12& 0 y -42 \ \ y | y y 3 y y \ \ y | y 1 y y y \ \ \ extremo {matriz}$

Realizar una adición en esa columna. el $del \ comienza {matriz} 3 y | y 1 y -12& 0 y -42 \ \ y | y y 3 y y \ \ y | y 1 y -9 y y \ \ \ extremo {matriz}$

Repetir los dos pasos anteriores, el siguiente es $obtenido del \ comienza {matriz} 3 y | y 1 y -12& 0 y -42 \ \ y | y y 3 y -27 y -81 \ \ y | y 1 y -9 y -27 y -123 \ \ \ extremo {matriz}$

Todos los números en la fila pasada además de la derecha más lejana corresponden a los coeficientes en el cociente; el número pasado indica un resto. Los términos se escriben con el aumento de grado de la derecha hacia la izquierda, comenzando a la izquierda del resto con el grado 0.

El resultado de nuestra división es:

$\ frac {x^3 - 12x^2 - 42} {x - 3} = x^2 - 9x - 27 - \ frac {123} {x - 3}$

División sintética de un grado más alto

La técnica de la división sintética descrita sobre trabajos solamente con denominadores lineares. Un método similar del atajo existe para dividir por un polinomio monic del grado cuadrático o más alto.

Por ejemplo, intentemos realizar la división siguiente: $del \ frac {x^3 - 12x^2 - 42} {x^2 + x - 3}$

Crear la tabla como con la división sintética ordinaria, usar los coeficientes negativos del denominador que sigue el término principal. Escribimos el $del l \ comienza {matriz} -1 y 3 y | y 1 y -12& 0 y -42 \ extremo {matriz}$

Después, subrayar el coeficiente principal del lado derecho, multiplicarlo por los coeficientes izquierdos y escribir los productos debajo de las columnas siguientes a la derecha. el $del l \ comienza {matriz} -1 y 3 y | y \ raya {1} y -12& 0 y -42 \ \ y y | y y -1& 3 y \ \ \ extremo {matriz}$

Ahora realizar una adición: el $del l \ comienza {matriz} -1 y 3 y | y \ raya {1} y -12& 0 y -42 \ \ y y | y y -1& 3 y \ \ y y | y y -13& 3 y -42 \ \ \ extremo {matriz}$

Repetir los dos pasos anteriores sobre la fila inferior del lado derecho. el $del \ comienza {matriz} -1 y 3 y | y \ raya {1} y -12& 0 y -42 \ \ y y | y y -1& 3 y \ \ y y | y \ y \ raya {- 13} y 3 y -42 \ y y | y y y 13 y -39 \ \ y y | y y y 16 y -81 \ \ \ extremo {matriz}$

Los números subrayados corresponden a los coeficientes del cociente, los números restantes en la fila inferior corresponden a los coeficientes del resto. Los términos se escriben con el aumento de grado de la derecha hacia la izquierda, con los últimos períodos del cociente y del resto cada uno que tiene grado 0.

El resultado de nuestra división es $del \ el frac {x^3 - 12x^2 - 42} {x^2 + x - 3} = x - 13 + \ frac {16x - 81} {x^2 + x - 3}.$

Ver también

Teorema polinómico del resto
Base de Gröbner
El divisor común más grande de dos polinomios
Gradualmente de largo división polinómica WebGraphing.com

Zenithic

List of civil parishes in Worcestershire

Random links:

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