En la álgebra del extracto, un dominio es un anillo con 0 ≠ 1 tales que el ab = 0 implica que = 0 o el b = 0 (la característica del Cero-producto). Es decir, es un anillo no trivial sin los divisores izquierdos o correctos cero

Un dominio comutativo se llama un dominio integral .

los Cero-divisores tienen una interpretación geométrica, por lo menos en el caso de los anillos comutativos: un R del anillo es un dominio integral, si y solamente si es reducido y su espec. R espectro es un espacio topológico irreducible . La primera característica se considera a menudo codificar una cierta información infinitesimal, donde segunda está de naturaleza geométrica.

Un ejemplo: anillo ''/(de y de k el xy '' ), donde está un campo el k, no es un dominio, como las imágenes del x y el y en este anillo es cero-divisores. Geométrico, esto corresponde al hecho de que el espectro de este anillo, que es la unión de las líneas x = 0 y y = 0, no es irreducible. De hecho, estas dos líneas son sus componentes irreducibles.

Construcciones de dominios

Una forma de probar que un anillo es un dominio está exhibiendo una filtración con las características especiales.

Teorema del : si el R es un anillo filtrado cuyo asociado R de GR del anillo calificado es un dominio, después el R sí mismo es un dominio.

Este teorema necesita ser complementado por el análisis del R del anillo calificado GR.

Ejemplos

La forma de Quaternions un dominio no conmutativo. Más generalmente, cualquier álgebra de división es un dominio, puesto que todos sus elementos diferentes a cero son el inversible.
El sistema de todos los quaternions integrales es un anillo no conmutativo que es el subring de quaternions, por lo tanto un dominio no conmutativo.
El anillo de la matriz de la orden mayor de una nunca es un dominio, puesto que tiene divisores cero, e incluso elementos Nilpotent . Por ejemplo, el cuadrado del E 12 de la unidad de la matriz es cero.
tensor álgebra vector espacio, o equivalente, álgebra de polinomio en el noncommuting variable sobre campo, \ mathbb {} \ langle x_1, \ ldots, x_n \ rangle, de K es un dominio. Esto se puede probar usar ordenar en los monomios no conmutativos.
Si es el R un dominio y un S es una extensión del mineral S del R entonces es un dominio.
La álgebra de Weyl es un dominio no conmutativo. De hecho, tiene dos filtraciones naturales, por el grado del derivado y por el grado total, y el anillo calificado asociado para cualquiera uno es isomorfo al anillo de polinomios en dos variables. Por el teorema arriba, la álgebra de Weyl es un dominio.
El universal que envuelve la álgebra de cualquier álgebra de mentira sobre un campo es un dominio. La prueba utiliza la filtración estándar en la álgebra universal y el teorema de la envoltura de Poincaré-Birkhoff-Witt.

Problema cero del divisor

Suponer que el G es un grupo y el K es un campo . Es el   del R del anillo de grupo ; =  ¿ K un dominio? La identidad del

l (1-g) (1+g+ \ ldots+g^ {n-1}) =1-g^n,

demuestra que un g del elemento del finito n de la orden es un divisor cero en el R . El problema del divisor del cero pregunta si ésta es solamente obstrucción, es decir ¿

l dado un K del campo y un Torsión-libre G del grupo, es verdad que el K no contiene ningún divisor cero?

No se sabe ningunos countexamples, pero el problema sigue siendo abierto en general (en fecha 2007). Para muchas clases especiales de grupos, la respuesta es afirmativa. Farkas y Snider probados en 1976 que si el G es un   policíclico-por-finito del K del grupo y del carbón de leña torsión-libre ; =  0 entonces el K del anillo de grupo es un dominio. (an o 80) acantilados posterior quitaron la restricción en la característica del campo. En 1988, Kropholler, Linnell y cambiante generalizaron estos resultados al caso torsión-libre soluble y de los grupos soluble-por-finitos. (1965) trabajos anterior de Lazard, cuya importancia no fue apreciada por los especialistas en el campo por cerca de 20 años, habían tratado del caso donde está el K el anillo de los números enteros de P-adic y del G son el subgrupo de la congruencia del th del p del GL ( n, Z ).

Ver también


dominio integral
característica del Cero-producto

.

  • Zenithic
  • Damodar
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