l = m , del _{del q del q 2 del q 1…}

entonces el m = el n y allí existe un &phi bijective del mapa ; : {1,…, n } -> {1,…, n } tales que el i del _{del p es asociado al &phi del q ; ( i ) para el i = 1,…, n .}

La pieza de la unicidad es a veces dura de verificar, que es porqué la definición equivalente siguiente es útil: un dominio de facturización única es un R del dominio integral en el cual cada no-unidad diferente a cero se puede escribir como producto de elementos primeros del R .

Ejemplos

La mayoría llama a familiar de matemáticas elementales es UFDs:

todos los dominios de ideal principal por lo tanto todos los dominios euclidianos es UFDs. Particularmente, los números enteros (también ver el teorema fundamental del aritmético), los números enteros gausianos y los números enteros de Eisenstein son UFDs.
Cualquier campo es trivial un UFD, puesto que cada elemento diferente a cero es una unidad. Los ejemplos de campos incluyen los números verdaderos de los números racionales y los números complejos
Si el R es un UFD, después está tan el R, el anillo de los polinomios con coeficientes en el R . Un caso especial de esto, debido al antedicho, es que el anillo polinómico sobre cualquier campo es un UFD.

Otros ejemplos de UFDs son:

el _{formal '' n ''} '' X '' ₁,…, '' X '' del del K del anillo de la serie de energía sobre un K del campo.
El anillo de funciones en un número fijo olomorfo de las variables complejas en el origen es un UFD.
Por la inducción uno puede demostrar que el Z de los anillos polinómicos…, el _{'' n ''} ( K '' del _{'' n ''} así como el K …, '' X '' de '' X un campo) es UFDs. (Cualquier anillo polinómico con más que uno variable es un ejemplo de un UFD que no sea un dominio de ideal principal.)

Contraejemplos

A pesar de los ejemplos dados arriba, muy pocos dominios integrales son UFDs. Aquí está un contraejemplo:

l el $del\; anillo\; \backslash \; el\; mathbb\; Z$ de todos los números complejos de la forma $a+ib\; \backslash raíz\; cuadrada\{5\}$, donde están números enteros el un y el b . Entonces 6 factores como ambo (2) (3) y como $\backslash \; ido\; (1+i\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{5\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; (1-i\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{5\}\; \backslash \; derecho)$ dejado. Éstas son verdad diversas facturizaciones, porque las únicas unidades en este anillo son 1 y − 1; así, ninguna de 2, de 3, de $1+i\; \backslash \; de\; la\; raíz\; cuadrada\; \{5\}$, y de $1-i\; \backslash \; de\; la\; raíz\; cuadrada\; \{5\}$ es el asociado . No es duro demostrar que los cuatro factores son irreducibles también, aunque éste puede no ser obvio. Ver también el número entero algebraico .

La mayoría de los anillos de factor de un anillo polinómico no son UFDs. Aquí está un ejemplo: el

l dejó $R$ ser cualquier anillo comutativo. Entonces $R/(XY-ZW)$ no es un UFD. La prueba está en dos porciones. primero que debemos demostrar que $X$, $Y$, $Z$, y $W$ son todos irreducibles. Calificar $R/(XY-ZW)$ por grado. Asumir para una contradicción que $X$ tiene una facturización en dos no-unidades diferentes a cero. Puesto que es el grado uno, los dos factores deben ser un $del\; elemento\; del\; grado\; uno\; \backslash \; una\; alfa\; X\; +\; \backslash \; beta\; Y\; +\; \backslash \; +\; \backslash \; delta\; W$ y un elemento $r$ de la gamma Z del grado cero. Esto da el $X\; =\; r\; \backslash \; alfa\; X\; +\; r\; \backslash \; beta\; Y\; +\; r\; \backslash gammaZ\; +\; r\; \backslash \; delta\; W$. En $R$, entonces, el $del\; elemento\; del\; grado\; uno\; (r\; \backslash \; alpha-1)\; X\; +\; r\; \backslash \; beta\; Y\; +\; r\; \backslash \; gamma\; Z\; +\; r\; \backslash \; delta\; W$ debe ser un elemento del $ideal\; (XY-ZW)$, pero los elementos diferentes a cero de ese ideal son el grado dos y más alto. Por lo tanto, el $(r\; \backslash \; alpha-1)\; X\; +\; r\; \backslash \; beta\; Y\; +\; r\; \backslash \; gamma\; Z\; +\; r\; \backslash \; delta\; W$ debe ser pone a cero adentro $R$. Eso implica ese $r\; \backslash \; alfa\; =\; 1$, así que $r$ es una unidad, que es una contradicción. $Y$, $Z$, y $W$ son irreducibles por la misma discusión. el

l del
después, el elemento $XY$ iguala el elemento $ZW$ debido a el $XY\; dela\; relación-\; ZW\; =\; 0$. Eso significa que ese $XY$ y $ZW$ es dos diversas facturizaciones del mismo elemento en irreducibles, así que $R/(XY-ZW)$ no es un UFD.

Características

Algunos conceptos definidos para los números enteros se pueden generalizar a UFDs:

en UFDs, cada elemento irreducible es el primero. (En cualquier dominio integral, cada elemento primero es irreducible, pero el inverso no se sostiene siempre.) Observar que esto tiene un inverso parcial: cualquier que el dominio Noetherian sea un cada elemento irreducible de UFD iff es prima (ésta es una prueba del $\backslash \; Rightarrow$ UFD del PID de la implicación).

cualquier dos (o finito muchos) elementos de un UFD tiene un divisor común más grande y un menos múltiplo común . Aquí, un divisor común más grande del un y del b es un d del elemento que el divide el de un y el b, y tal que cada otro divisor común del un y del b divide el d . Todos los divisores comunes más grandes del un y del b son asociados.

cualquier UFD es el integralmente cerrado. Es decir si R es un dominio integral con el campo de cociente K, y si un elemento k en K es una raíz de un polinomio monic con los coeficientes en R, después k es un elemento del R.

Condiciones equivalentes para que un anillo sea un UFD

Bajo algunas circunstancias, es posible dar las condiciones equivalentes para que un anillo sea un UFD.
El dominio integral Noetherian del

A es un de UFD si y solamente si cada ideal primero de la altura 1 es principal.

un dominio integral es un UFD si y solamente si la condición de cadena ascendente se sostiene para los ideales principales, y cualquier dos elementos del A tienen un menos múltiplo común.

allí es un agradable ideal - caracterización teórica de UFDs, debido al Kaplansky . Si R es un dominio integral, después R es un UFD si y solamente si cada prima diferente a cero ideal de R tiene un elemento primero diferente a cero.

.